Irisan Kerucut URAIAN MATERI

Modul Pelatihan Matematika SMA 97 Berikut akan dicari persamaan parabola yang paling sederhana, yaitu jika garis yang melalui fokus tegak lurus terhadap direktriks adalah sumbu- dan titik asal merupakan titik tengah antara fokus dan direktriks. Berdasarkan definisi, titik-titik pada parabola memenuhi . Misalkan adalah notasi untuk jarak tetap dari ke . Maka , titik tengah , berjarak sama dari dan , yaitu suatu titik pada parabola. Gambar 101. Parabola dengan puncak di Dengan mengambil titik puncak di titik asal dan sumbu- sepanjang , titik tertentu ; dan jika sebarang titik pada parabola, maka persamaan parabola ditentukan dari kondisi ; yaitu, √ . Dengan demikian diperoleh persamaan parabola yang dicari, yaitu Parabola memiliki fokus di titik , dan direktriksnya adalah garis . Sumbu- merupakan sumbu simetri parabola. Perpotongan antara sumbu simetri dan parabola dinamakan titik puncak parabola, dalam hal ini adalah titik . Contoh Parabola memiliki titik sebagai fokusnya dan garis sebagai direktriksnya. Secara umum, suatu garis yang menghubungkan sebarang dua titik pada irisan kerucut dinamakan tali busur chord. Suatu tali busur yang melalui focus dinamakan tali busur fokus focal chord. Suatu ruas garis yang menghubungkan focus dan sebarang titik pada kurva dinamakan jari-jari fokus focal radius. Tali busur fokus yang tegak lurus sumbu simetri disebut latus rectum focal width. Kegiatan Pembelajaran 8 98 Pada gambar di samping, ruas garis , , dan merupakan tali busur parabola. Tali busur dan merupakan tali busur fokus. Tali busur fokus merupakan latus rectum, karena merupakan tali busur fokus yang tegak lurus sumbu simetri parabola . Gambar 102. Tali busur parabola Parabola dengan persamaan terletak di sebelah kanan sumbu- . Jika kurva terletak di sebelah kiri sumbu- , maka persamaan parabola adalah . Contoh Buatlah sketsa kurva dan tentukan fokus dan titik ujung latus rectum dari parabola . Jawab. Persamaan memiliki dan membuka ke kiri. Fokusnya adalah , sedangkan titik ujung latus rectumnya adalah dan . Persamaan parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu- dan puncaknya di titik asal adalah dan Parabola ini berturut-turut membuka ke atas atau membuka ke bawah. Fokusnya terletak pada sumbu- yaitu atau . sedangkan direktriksnya adalah garis atau . y x direktriks y direktriks x F F � O O � Gambar 103. Parabola dengan sumbu simetri sumbu- Modul Pelatihan Matematika SMA 99 Contoh Parabola dengan persamaan mempunyai fokus di titik . Berikutnya akan dicari persamaan parabola yang sumbu simetrinya sejajar dengan sumbu- dan puncaknya di titik . Jika garis-garis yang melalui dan sejajar dengan sumbu- dan sumbu- diambil sebagai sumbu-sumbu koordinat yang baru, maka terhadap system koordinat yang baru ini parabola mempunyai persamaan 2 . Jika menjadi titik asal pada sistem koordinat yang baru, maka koordinat menjadi . Jika titik asal baru ini digerakkan ke , maka menjadi dan menjadi dalam persamaan , sehingga persamaan parabola yang dicari adalah . Persamaan ini merupakan persamaan parabola yang puncaknya di , fokus di titik , direktriks , dan sumbu simetri sejajar sumbu- , yaitu garis . Contoh Persamaan dapat ditulis menjadi atau atau . Parabola ini sumbu simetrinya sejajar sumbu- , yaitu garis dan puncaknya di titik . Gambar 104. Parabola yang puncaknya di � � Kegiatan Pembelajaran 8 100

3. Persamaan Ellips

Dalam ilmu fisika, dikenal hukum Keppler pertama yang berbunyi : orbit planet mengelilingi matahari berbentuk ellips dengan matahari terletak di salah satu fokusnya. Orbit planet merupakan salah satu contoh aplikasi dari ellips. Oleh karena itu perlu dipelajari tentang ellips. Berikut akan dicari persamaan ellips yang diturunkan dari definisi ellips dengan menggunakan eksentrisitas. Diberikan titik tertentu dan garis tertentu . Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik yang memenuhi syarat perbandingan jaraknya ke titik dan jaraknya ke garis tetap, kurang dari 1, yaitu . Gambar 105. Definisi ellips Dengan menggambar tegak lurus terhadap , terdapat titik pada sedemikian sehingga , dan terdapat titik pada dengan . Maka dan pada ellips. Misalkan , dan titik titik tengah , maka . Akan ditentukan dan dalam suku-suku dan . Karena , dan , diperoleh . Akan tetapi – , dan . Maka ; di mana . Diperoleh juga, – – ; yaitu – ; di mana . Gambar 106. Ellips dengan pusat