Kegiatan Pembelajaran 8
108
nyata sumbu- Contoh
Diberikan hiperbola dengan persamaan tentukan puncak,
fokus, asimptot dan buatlah sketsanya. Jawab.
Persamaan hiperbola dapat ditulis menjadi
. Dari persamaan terakhir diperoleh
, sehingga √ √ dan memiliki karakteristik sebagai berikut.
a. Berpusat di
b. Hiperbola membuka ke atas dan ke bawah
c. Puncak
1
dan
2
d. Asimptot
x y
3 4
dan
x y
3 4
e. Fokus
1
dan
2
. Persamaan hiperbola yang pusatnya di titik
dan sumbu nyatanya sejajar dengan sumbu-
analog dengan ellips adalah
Hiperbola ini mempunyai sifat : Pusat hiperbola :
Puncak hiperbola :
1
dan
2
– Fokus hiperbola :
1
dan
2
– Asimptot
:
h x
a b
k y
dan
h x
a b
k y
Jika sumbu nyata sejajar dengan sumbu- , menyatakan panjang setengah sumbu
nyata hiperbola, dan persamaannya adalah
Modul Pelatihan Matematika SMA
109
D. AKTIVITAS PEMBELAJARAN
Untuk pengembangan dan menambah wawasan tentang materi ini, Anda dapat mengerjakan aktivitas berikut.
1. Dari mana munculnya definisi ellips, parabola, dan hiperbola? Bagaimana
kerucut diiris oleh bidang sehingga menghasilkan kurva-kurva tersebut? Proses kerucut diiris bidang sehingga menghasilkan definisi kurva tersebut
dapat dijelaskan dengan menggunakan bola Dandelin. Carilah referensi tentang Bola Dandelin. Buatlah ringkasan tentang proses mendapatkan kerucut diiris
sehingga menghasilkan definisi parabola, hiperbola dan ellips. 2.
Carilah aplikasi parabola pada permasalahan nyata, misalnya pada alat-alat seperti antenna parabola. Carilah penjelasan tentang sifat parabola yang
diaplikasikan pada peralatan tersebut. 3.
Bandingkan persamaan yang Anda peroleh pada aktivitas 1 di atas dengan persamaan parabola yang dipelajari di SMP, yaitu
. Apa hubungan kedua persamaan parabola tersebut ?
4. Bumi mengelilingi matahari menurut lintasan yang berbentuk ellips, di mana
matahari berada di salah satu fokusnya ditemukan oleh Keppler pada tahun 1610. Nilai dari eksentrisitas
orbit bumi adalah . Carilah referensi tentang jarak terjauh dan jarak terdekat bumi ke matahari aphelium dan
perihelium. Selanjutnya susunlah persamaan orbit bumi. 5.
Persamaan ellips juga dapat diturunkan dari definisi tempat kedudukan titik- titik yang jumlah jaraknya ke dua titik tertentu tetap. Tunjukkan bahwa
persamaan ellips yang berpusat di dan jumlah jaraknya ke dua titik
tertentu, yaitu titik dan
adalah dengan mengikuti
langkah-langkah berikut. Misalkan jumlah jarak yang tetap tersebut .
a. Ambil sembarang titik pada ellips.
b. Jumlah jarak ke dan tetap sebesar , maka memenuhi
. Dengan menggunakan jarak rumus jarak antara dua titik dan pengkuadratan sebanyak dua kali, jabarkan dan sederhanakan persamaan
yang diperoleh.
Kegiatan Pembelajaran 8
110
c. Setelah diperoleh persamaan yang memuat
, tuliskan .
d. Sederhanakan sampai diperoleh persamaan
. 6.
Hiperbola yang paling sederhana, yaitu adalah hiperbola siku. Jika dibandingkan dengan
hiperbola yang sudah dibahas, hiperbola ini diperoleh dengan memutar sebesar 45° terhadap
titik asal. Selidikilah sifat-sifat hiperbola ini. 7.
Sebelum ditemukannya sistim GPS, untuk menentukan posisi kapal di laut digunakan sistem
LORAN. Sistem ini melibatkan kurva-kurva hiperbola. Carilah referensi tentang bagaimana prinsip kerja sistem ini.
E. LATIHANKASUSTUGAS
Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut. 1.
Apa hubungan antara hiperbola dan dua garis berpotongan ? 2.
Apakah mungkin eksentrisitas bernilai negatif ? Jelaskan. 3.
Tentukan fokus, persamaan direktriks, dan latus rectum dari parabola berikut. a.
2
b.
2
c.
2
d.
2
4. Tentukan persamaan parabola yang puncaknya di titik asal dan sumbunya
adalah salah satu sumbu koordinat, dan memenuhi kondisi yang diberikan. a.
Ruas garis yang kedua titik ujungnya dan merupakan salah satu tali busurnya.
b. Ruas garis yang kedua titik ujungnya dan merupakan salah
satu tali busurnya. c.
Fokusnya d.
Fokusnya terletak pada garis . 5.
Tentukan persamaan parabola yang memenuhi kondisi berikut. a.
Direktriksnya garis dan fokusnya titik b.
Direktriksnya garis dan fokusnya titik
Modul Pelatihan Matematika SMA
111
6. Tentukan puncak, fokus, dan direktriks dari parabola berikut.
a.
2
b.
2
c.
2
d. 7.
Tunjukkan bahwa puncak kedua parabola
2
dan
2
sama, dan tentukan titik perpotongan kedua parabola. 8.
Suatu antenna penerima berbentuk parabola dengan lebar penampang 12m dan kedalaman 2m. Di manakah penerima sinyal harus ditempatkan agar
penerimaan optimal ? 9.
Tentukan fokus, direktriks, dan panjang latus rectum ellips berikut. a.
2 2
b.
2 2
c.
2 2
d.
2 2
10. Tentukan persamaan ellips yang sumbu-sumbunya adalah sumbu koordinat
dan memenuhi kondisi berikut : a.
Fokus ; puncaknya
b. Fokus
; direktriks c.
Panjang sumbu minor 6; fokus d.
Puncak ; eksentrisitas
11. Tentukan pusat, eksentrisitas, dan fokusnya.
a.
2 2
b.
2 2
c.
2 2
12. Tentukan persamaan ellips yang sumbu-sumbunya sejajar dengan sumbu
kordinat dan memenuhi kondisi berikut. a.
Berpusat di , eksentrisitas
, sumbu utama sejajar sumbu- dan
panjangnya 12.
Kegiatan Pembelajaran 8
112
b. Fokus di
dan , dan panjang sumbu utama dua kali
panjang sumbu minor.
c. Berpusat di
dan melalui titik dan
13. Tentukan fokus, eksentrisitas, panjang latus rectum, dan direktriks dari
hiperbola-hiperbola berikut. a.
2
–
2
b.
2
–
2
14. Tentukan persamaan hiperbola yang sumbu-sumbunya sepanjang sumbu
koordinat dan memenuhi kondisi berikut. a.
Salah satu titik puncaknya dan fokusnya b.
Salah satu titik puncaknya dan eksentrisitasnya 2 c.
Salah satu asimptotnya , dan fokusnya 15.
Tentukan eksentrisitas, fokus, dan titik puncaknya. a.
2
–
2
b.
2
–
2
F. RANGKUMAN
Irisan kerucut merupakan irisan antara kerucut ganda dan bidang. Jenis irisan kerucut ditentukan oleh sudut antara garis pelukis kerucut dan sudut antara bidang
dengan sumbu kerucut. Irisan kerucut juga didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik yang
perbandingan jaraknya ke suatu titik tertentu dan jaraknya ke suatu garis tertentu tetap. Bilangan perbandingan ini dinamakah eksentrisitas
. a.
Jika , irisan kerucut berupa parabola.
b.
Jika , irisan kerucut berupa ellips.
c.
Jika , irisan kerucut berupa hiperbola.
Definisi lain : a.
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.
Modul Pelatihan Matematika SMA
113
b. Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya ke suatu titik
tertentu dan jaraknya ke suatu garis tertentu sama. c.
Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya ke dua titik tertentu tetap.
d. Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya ke dua
titik tertentu tetap. Persamaan parabola yang puncaknya di
dan sumbunya pada sumbu- adalah
dan .
Persamaan parabola yang puncaknya di dan sumbunya pada sumbu-
adalah dan
. Persamaan parabola yang puncaknya di
dan sumbunya sejajar sumbu- adalah
dan .
Persamaan parabola yang puncaknya di dan sumbunya pada sumbu- adalah
dan .
Persamaan ellips yang berpusat di dan sumbu mayornya sumbu- adalah
dan mempunyai sifat-sifat berikut. a.
Pusat di b.
Sumbu simetri : sumbu mayor adalah sumbu- dan sumbu minor adalah sumbu-
. c.
Panjang sumbu mayor dan panjang sumbu minor . d.
Fokus di dan e.
Puncak di dan f.
Direktriks garis .
g. Panjang latus rectum adalah
. Persamaan ellips yang berpusat di
dan sumbu mayornya sumbu- adalah .
Persamaan ellips yang berpusat di dan sumbu mayornya sejajar dengan
sumbu- adalah
.
