1. Didasarkan atas simpangan saat leleh pertama terjadi seperti yang dapat dilihat pada Gambar 2.9.a.
2. Didasarkan atas perpotongan kekakuan elastik terhadap beban ekivalen saat beban maksimum seperti yang diperlihatkan pada Gambar 2.9.b.
3. Simpangan leleh yang didasarkan pada kapasitas disipasi energi yang sama equal energy
seperti yang dapat dilihat pada Gambar 2.9.c.
2.6 Energi Histeresis
Hal terpenting pada material baja yang dikenai beban siklik-inelastik adalah kemampuannya untuk mendisipasi menyerap energy hysteresis. Energi ini
diperlukan untuk perpanjangan dan perpendekan plastis dari material baja, dan dapat dihitung sebagai hasil kali gaya plastis dan perpindahan plastis usaha pada daerah
plastis. Tidak seperti energy kinetic atau energy regangan, energi histeretik ini terdisipasi dan tidak dapat dikembalikan. Sebagaimana diperlihatkan pada gambar
2.11.a. Di bawah pembebanan beban yang diikuti oleh pengurangan beban secara berurutan, energy histeretik, E
h
�
ℎ
= �
�
. �
����
− �
�
2.14 , dapat diekspresikan sebagai:
Yaitu, daerah yang diarsir pada Gambar 2.10.a, dan untuk pembebanan siklik penuh, energy histeresis adalah luas daerah yang dibatasi oleh kurva beban
perpindahan sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 2.10.b. Pada pengulangan beban siklik, energi yang terdisipasi pada setiap siklik dijumlahkan untuk
mendapatkan total energi disipasi. Jumlah kumulatif energi disipasi ini merupakan
Universitas Sumatera Utara
hal terpenting yang memungkinkan struktur baja tetap bertahan pada kondisi pembebanan yang merusakkan seperti yang diakibatkan oleh gempa.
Gambar 2.10 Energi Histeresis : a Sklik Sebagian dan b Sklik Penuh
2.7 Metode Elemen Hingga
Teori mekanika benda pejal yang ditentukan oleh hubungan tiga persamaan diferensial adalah sebagai dasar. Persamaan diferensial yang dimaksud adalah sebagai
berikut: a. Dengan
σ
ij
adalah komponen tensor tegangan, b
i
adalah gaya badan, dan x
j
��
��
��
�
+ �
�
= 0 2.15
adalah koordinat ruang:
b. Hubungan konstitutif linier elastis yang diwakili oleh hubungan tegangan- regangan:
�
��
= �
����
�
��
2.16
δ
min
P P
y
δ
y
δ
max
δ
δ
max
E
h
E
h
P
y
- P
y
δ
y
P P
P
δ
a b
δ
i+1
- δi
δ
i+1
- δi
Universitas Sumatera Utara
dengan ɛ
kl
adalah komponen tensor regangan dan D
ijkl
c. Syarat kompatibilitas yang diwakili oleh hubungan regangan-perpindahan: adalah konstanta
elastis.
�
��
=
1 2
�
�
��
�
��
+
�
��
�
��
� 2.17
dengan, u
i
Setiap persamaan diferensial tersebut harus terpenuhi untuk setiap elemen infinitesimal pada seluruh bagian benda kontinum. Variabel keadaan yaitu
perpindahan ditentukan dengan menyelesaikan system persamaan tersebut dengan menerapkan syarat-syarat batas. Untuk masalah non-linier, persamaan dasar harus
dipenuhi sepanjang riwayat pembebanan. Nonlinieritas material dimanifestasikan dalam hubungan kontitutif sedangkan nonlinieritas geometri muncul juga
mempengaruhi persamaan keseimbangan dengan perubahan beban. adalah perpindahan.
2.7.1 Penyelesaian Masalah Nonlinier
Suatu proses iterasi dan penentuan inkremen adalah bagian yang sangat penting untuk menghasilkan solusi persamaan nonlinier. Keakuratan perhitungan
sangat dipengaruhi oleh ukuran incremental beban terutama untuk masalah yang tergantung kepada riwayat pembebanan. Hal yang diperlukan dalam proses iterasi
sangat dipengaruhi oleh riwayat pembebanan dan sebaliknya penambahan beban juga sangat dipengaruhi oleh proses iterasi dalam menentukan kekonvergenan analisis.
Inkremen penambahan beban yang terlalu besar akan membutuhkan iterasi yang lebih banyak, pada beberpa kasus hal tersebut akan menimbulkan divergen. Di sisi lain
Universitas Sumatera Utara
penambahan beban yang terlalu kecil akan mengurangi efisiensi perhitungan tanpa ada perbaikan akurasi yang signifikan.
2.7.2 Metode Iterasi
Selain metode inkremen, juga metode iterasi sering digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah non-linier. Semakin berkembangnya perengkat
penghitung yang mempunyai kemampuan lebih tinggi, sehingga dapat memberikan efisiensi dan hasil yang lebih akurat. Dalam prakteknya, analisis non-linier pada
dasarnya menggunakan persamaam kesetimbangan system linier dengan cara membuat bagian-bagian kecil. Persamaam tersebut dapat diekspresikan sebagai
berikut: [
�]{�} = {�} 2.18
dengan, [ �] = Matrik Kekakuan.
{ �} = Perpindahan.
{ �} = Beban Luar.
Persamaan di atas diselesaikan secara berulang sampai dicapai kekonvergensian. Dapat dijelaskan beberapa metode iterasi yang digunakan dalam
studi analisis seperti berikut: Pada perangkat lunak MSCNASTRAN, proses iterasi yang tersedia adalah:
1. Full Newton-Raphson. 2. Modified Newton-Raphson.
3. Newton-Raphson with Strain Correlation. 4. Secant Method.
Universitas Sumatera Utara
Default proses iterasi yang dilakukan perangkat lunak MSCNASTRAN adalah
Metode Full Newton-Raphson. Serta metode untuk mempercepat konvergensi dan memperbaiki efektifitas iterasi yaitu dengan strategi perubahan matriks kekakuan
secara adaptif. Dalam mengubah matriks kekakuan, perangkat lunak MSCNASTRAN secara otomatis dapat mengevaluasi dan menentukan matriks
kekakuan berdasarkan laju konvergensi. Pada setiap iterasi dapat ditentukan perlu tidaknya merubah matriks kekakuan berdasarkan estimasi waktu yang dibutuhkan.
Selain Metode Full Newton-Raphson, penyelesaian masalah non-linier yang lain adalah Metode Newton Modifikasi. Beberapa metode perhitungan untuk analisis
non-linier telah dikembangkan untuk memperoleh solusi konvergen secara cepat. Pembahasan secara ringkas dua metode yaitu Metode Full Newton-Raphson dan
Metode Newton Modifikasi, pada dasarnya kedua metode ini dianggap sebagai dua metode ekstrim dalam hal pengubahan matriks kekakuan untuk mendapatkan solusi.
2.7.3 Metode Full Newton-Raphson
Secara konsep metode ini menggunakan kekakuan yang selalu berubah setiap iterasi. Teknik solusinya akan diuraikan berikut ini. Tinjau satu titik kesetimbangan O
yang disajikan dalam Gambar 2.11 dengan persamaan: �
� − �� = 0
2.19 dimana λ
adalah parameter penambahan beban, p adalah vector beban dan f vector gaya dalam yang merupakan fungsi perpindahan q
. Untuk kasus dimana persamaan
Universitas Sumatera Utara
2.18 tidak seimbang, maka akan terdapat gaya sisa rq
i
��
�
= �
�
� − ��
�
2.20 pada iterasi yang ke-I dan
beban ke-n sebesar:
Gambar 2.11 Metode Full Newton-Raphson kemudian persamaan 2.19 diturunkan terhadap q maka diperoleh:
� ��
��
�
= −
�� �
�
��
= −��
�
2.21 Dimana Kqi adalah kekakuan tangen pada perpindahan q
i
, jika solusi pendekatan q = q
i
��
�+1
= ��
�
+
� ��
��
�
��
�
= 0 2.22
, maka persamaan dapat dituliskan sebagai kerucut terpancung taylor.
dimana: ��
�
= ∆�
�+1
− ∆�
�
2.23 Sehingga residu rq
i
��
�
= ��
�
��
�
2.24 menjadi:
λ
1
λ fq
fq1 rq
rq rq
O C
q q
1
q
2
q Δq
Δq
2
Displace Beb
an
Universitas Sumatera Utara
dengan mensubsitusikan persamaan 2.19 kedalam persamaan 2.23 akan diperoleh persamaan sebagai berikut:
��
�
= ��
� −1
�
�
� − ��
�
2.25 bila variabel
��
� −1
dalam penulisan diganti dengan �
� �−1
maka persamaan 2.25 menjadi:
��
�
= �
� �−1
�
�
� − ��
�
2.26 Proses iterasi ini berulang sampai kekonvergensian pada satu titik yang
diinginkan, pada Gambar 2.11 adalah titik C. Setiap langkah pada interval ��
�
diselesaikan dengan system persamaan linier dimana matrik kekakuannya selalu berubah.
2.7.4 Metode Modified Newton-Raphson
Dalam efisien waktu metode Newton Raphson dirasakan kurang efisien yang disebabkan pada setiap iterasi dimulai menyusun system kekakuan dan persamaan
yang baru. Untuk mengurangi kelemahan ini maka dibuat modifikasi dengan memberikan kekakuan yang konstan pada setiap iterasi. Pada persamaan 2.25
kekakuan �
� �
diberikan sama dengan �
�
untuk setiap iterasi sehingga persamaan menjadi:
��
�
= �
� �−0
�
�
� − ��
�
2.27 ini berarti kekakuan pada iterasi yang ke-I
�
� �
adalah sama dengan kekakuan awal sebagai ilustrasi dapat dilihat pada Gambar 2.12.
2.8 Kriteria Kelelehan
Universitas Sumatera Utara
Untuk kasus tegangan uniaksial, terjadinya leleh pertama diketahui pada saat material mulai berdeformasi plastis. Jika kondisi tegangan pada suatu titik bukan berupa
tegangan uniaksial, tetapi terdiri dari beberapa komponen tegangan yang berbeda arahnya, maka suatu kriteria diperlukan untuk menentukan kombinasi tegangan yang
menyebabkan terjadinya leleh. Kriteria tersebut dinamakan kriteria leleh. Tahapan pertama dalam analisis plastis adalah menentukan kriteria leleh yang akan digunakan.
Gambar 2.12 Metode Modified Newton-Raphson Program perangkat lunak MSCNASTRAN menyediakan empat macam kriteria leleh
yaitu Von Mises, Tresca, Mohr-Coulomb, dan Drucker Prager. Dalam penelitian ini digunakan kriteria von Mises karena merupakan kriteria yang paling cocok untuk
analisis plastis material baja dan paling sesuai dengan hasil eksperimental. Menurut von Mises, kelelehan material ditentukan oleh besarnya tegangan geser
rq λ
1
p λ
p fq
2
fq
1
rq
2
rq
1
O C
q q
1
q
2
q Δq
1
Δq
2
Displaceme Be
ba n
δq
1
δq
2
Universitas Sumatera Utara
octahedral atau energi regangan distorsi yang bekerja pada material. Kelelehan mulai
terjadi ketika tegangan geser octahedral mencapai nilai kritis yang ditentukan oleh: �
���
= �
2 3
. �
2
= �
2 3
� 2.28
Dimana ��
2
= �, sehingga persamaan kriteria leleh von Mises akan berbentuk:
��
2
= �
2
− �
2
= 0 2.29
dengan, k = suatu konstanta matrial yang besarnya adalah =
� √3
. σ
J = tegangan leleh material yang diperoleh dari hasil pengujian
tarik uniaksial dan.
2
Persamaan ini menggambarkan silinder yang perpotongannya dengan bidang deviatorik merupakan lingkaran dengan radius
√2� dalam bentuk tegangan utama, persamaan 2.28 dapat ditulis:
= invariant dari tensor tegangan deviatorik.
�
1
− �
2 2
+ �
2
− �
3 2
+ �
3
− �
1 2
= 6 �
2
2.30 Sebagai contoh tinjau pengujian tarik sederhana, dimana
�
1
= �
, �
2
= �
3
= 0 dengan mensubsitusikan harga-harga tegangan utama ini pada persamaan 2.29 di atas,
diperoleh: 2
�
2
= 6 �
2
2.31 � =
� √3
2.32 �
= √3� = �3�
2
2.33 Kriteria von Mises untuk kondisi tegangan biaksial bisa didapat dari perpotongan
silinder dengan koordinat �
3
= 0, yaitu:
Universitas Sumatera Utara
�
1 2
+ �
2 2
− �
1
�
2
= �
2
2.34 sehingga:
� =
��
1 2
+ �
2 2
− �
1
�
2
2.35 Perpotongan kriteria ini dengan
�
�
− �
��
plane juga merupakan elipse.
1 2
��
�
− �
� 2
+ �
�
− �
� 2
+ �
�
− �
� 2
+ 6 �
�� 2
+ �
�� 2
+ �
�� 2
� = �
2
2.36 Sehingga jika
�
�
= �
�
= �
��
= �
��
= 0 �
� 2
+ 3 �
�� 2
= �
2
2.37
2.9 Tegangan-tegangan Utama Pada suatu bidang ruang yang terdapat suatu tegangan resultan T
