Tegangan-tegangan Utama Pada suatu bidang ruang yang terdapat suatu tegangan resultan T

� 1 2 + � 2 2 − � 1 � 2 = � 2 2.34 sehingga: � = �� 1 2 + � 2 2 − � 1 � 2 2.35 Perpotongan kriteria ini dengan � � − � �� plane juga merupakan elipse. 1 2 �� � − � � 2 + � � − � � 2 + � � − � � 2 + 6 � �� 2 + � �� 2 + � �� 2 � = � 2 2.36 Sehingga jika � � = � � = � �� = � �� = 0 � � 2 + 3 � �� 2 = � 2 2.37

2.9 Tegangan-tegangan Utama Pada suatu bidang ruang yang terdapat suatu tegangan resultan T

n di mana garis tegangan tersebut berimpitan dengan normal bidang sehingga tegangan geser, σ ns tidak ada atau sama dengan nol. Arah yang dibentuk oleh T n adalah arah utama sehingga bidang yang dibentuk juga merupakan bidang utama principal plane. Gambar 2.13. T n Berimpit σ nn Teori Elastisitas, Amrinsyah Nasution Universitas Sumatera Utara Tegangan normal yang bekerja pada bidang utama disebut dengan tegangan utama principal stress, tegangan utama terdiri dari tiga bidang utama yang saling tegak lurus yaitu σ nx, σ ny, σ nz, Hubungan antara tegangan bidang dengan normal dapat dituliskan sebagai berikut: seperti pada Gambar 2.13. σ nx, = σ xx. n 1, + σ yx n 2 + σ zx n 3 σ 2.38a ny = σ xy. n 1, + σ yy n 2 + σ zy σ n2.38b nz = σ xz. n 1, + σ yz n 2 + σ zz n 3 dimana: 2.38c n 1 n = cos n,x 2.39a 2 n = cos n,y 2.39b 3 atau persamaan di atas dapat dituliskan dalam notasi tensor sebagai berikut: = cos n,z2.39c σ ni = σ ji. n j dengan memproyeksikan σ , i =1,2,32.40 nn terhadapsetiapσ nx, σ ny, σ nz σ maka diperoleh persamaan, nn. cos n,x = σ xx. n,x+ σ yx n,y+ σ zx σ cos n,z2.41a nn .cos n,y = σ xy. n,x+ σ yy n,y+ σ zy σ cos n,z 2.41b nn. cos n,z = σ xz. n,x+ σ yz n,y+ σ zz secara matriks persamaan diatas dapat ditulis sebagai berikut: cos n,z 2.41c � σ xx − σ nn σ yx σ zx σ xy σ yy − σ nn σ zy σ xz σ yz σ zz − σ nn � � cos n, x cos n, y cos n, z � =� � 2.42 Universitas Sumatera Utara Persamaan di atas merupakan persamaan linear homogen dan solusi trivial cos n,x = cos n,y = cos n,z = 0 adalah tidak mungkin mengingat aturan kosinus cos 2 n,x + cos 2 n,y +cos 2 Sehingga dari persamaan di atas dengan melakukan determinasi maka di dapat: � �� 3 − �� �� + � �� + � �� �� �� 2 + � �� . � �� + � �� . � �� + � �� . � �� − � �� 2 − � �� 2 − � �� 2 � �� − � �� . � �� . � �� + � �� . � �� 2 + � �� . � �� 2 − n,z = 1. Maka solusi yang memungkinkan adalah: � σ xx − σ nn σ yx σ zx σ xy σ yy − σ nn σ zy σ xz σ yz σ zz − σ nn � = 0 � �� . � �� 2 + 2 � �� . � �� . � �� = 02.43 Nilai akar-akar pangkat tiga dari persamaan 2.43 merupakan nilai dari tegangan utama. Dengan mengisikan nilai keenam komponen tegangan kartesian ke dalam persamaan maka akan diperoleh tiga nilai akar persamaan: a. Bila σ nn R 1 , σ nn R 2 dan σ nn R 3 merupakan bilangan real maka n � R 1 ,n � R 2 dann � R 3 b. Bila σ nn R 1 merupakan bilangan unik dan saling tegak lurus. = σ nn R 2 ≠ σ nn R 3 maka n � R 3 unik dan setiap arah tegak lurus pada n � R 3. dann � R 3 adalah arah utama yang berhungan dengan σ nn R 1 c. Bila σ nn R 1 = σ nn R 2. = σ nn R 2 = σ nn R 3 Hubungan tegangan invariant dengan tegangan principal dapat dituliskan sebagai berikut: makategangan merupakan tegangan hidrostatis dan setiap arah adalah arah utama. I 1 = σ xx + σ yy + σ zz 2.44a Universitas Sumatera Utara I 2 I = σ xx . σ yy + σ yy . σ zz + σ zz . σ xx - σ 2 xy - σ 2 yz - σ 2 zx 2.44b 3 Di mana I = σ xx . σ yy . σ zz - σ xx σ 2 yz - σ yy . σ 2 zx - σ zz . σ 2 xy +2. σ xy . σ yz . σ zx 2.44c 1, I 2 , I 3 I merupakan tegangan invariant pertama, kedua dan ketiga, dengan menyamakan sistem koordinat ke dalam arah-arah utama maka, tegangan invariant dapat dituliskan ke dalam persamaan berikut: 1 = σ nn R 1 + σ nn R 2 + σ nn R 3 I 2.45a 2 = σ nn R 1 . σ nn R 2 + σ nn R 2 . σ nn R 3 + σ nn R 3 . σ nn R 1 I 2.45b 3 = σ nn R 1. σ nn R 2 . σ nn R 3

2.10 Regangan