139
Bab 6 Transformasi Geometri
Dari gambar tersebut, kalian dapat mengatakan bahw a: •
Lingkaran
Q
kongruen dengan bayangannya, yaitu lingkaran Qc
. •
Jarak setiap titik pada lingkaran
Q
ke cermin sama dengan jarak setiap titik bayangannya ke cermin, yaitu
QA
Q A c
dan
PB
P B c
. •
Sudut yang dibentuk oleh cermin dengan garis yang menghubungkan setiap titik ke bayangannya adalah sudut siku-siku.
Sifat-sifat tersebut merupakan
sifat-sifat refleksi.
D eng an m eng g unakan sifat-sifat ini, kalian d ap at m enentukan bayangan sebuah titik yang dicerminkan terhadap suatu garis atau terhadap
suatu titik lain. Perhatikan gambar berikut
Dari gambar tampak bahw a: •
Pencerminan titik
A a
,
b
terhadap sumbu-
x
menghasilkan bayangan titik
B a
c
,
b c
dengan
a c
a
dan
b c
b
.
a c
a
a c
1
a
b, b
c b
b
c
a
1
b
Gambar 6.5
Lingkaran
Q
yang dicerminkan terhadap sumbu–
y. O
x y
Q
c
Q A
B P
c
P
2
k b
H a,
2
k b
D b, a
y x
k a
b O
b a
b a
h
2
h a
b a
B a,
b E
b, a C
a, b x
y
A a, b
Aa, b B
a
,
b
Gambar 6.6
Bayangan sebuah titik yang dicerminkan terhadap garis atau titik lainnya
b O
b y
x A
a
,
b B
a
,
b a
Gambar 6.7
Pencerminan titik
A
ter- hadap sumbu-
x
140
140
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Matriks transformasi untuk pencerminan ini adalah §
· ¨
¸ ©
¹ 1
1 , sehingga
B
a b
c § ·
¨ ¸ c
© ¹ a
b 1
1 §
· § · ¨
¸ ¨ ¸ ©
¹ © ¹ •
Pencerminan titik
A a
,
b
terhadap sumbu-
y
menghasilkan bayangan titik C
ac
,
b c
dengan
a c a
dan
b c
b.
Sumbu-
y A
a
,
b C
a
,
b a
c a
a c
1
a b
b c b
b
c a
1
b
Matriks transformasi untuk pencerminan ini adalah 1
1 §
· ¨
¸ ©
¹ , sehingga
C
a a
b b
1 0 0 1
c § · §
· § · ¨ ¸ ¨
¸ ¨ ¸ c
© ¹ © ¹
© ¹ •
Pencerminan titik
A a
,
b
terhadap garis
y x
menghasilkan bayangan titik
D a
c
,
b c
dengan
a c
b
dan
b c
a
. Garis
y x
A a, b
D b, a
a c b
a
c a
1
b b
c a
b c
1
a b
Matriks transformasi untuk pencerminan ini adalah 0 1
1 0 §
· ¨
¸ ©
¹ , sehingga
D
c § ·
§ · § ·
¨ ¸ ¨
¸ ¨ ¸ c
© ¹ © ¹
© ¹ 1
1 a
a b
b •
Pencerminan titik
A a
,
b
terhadap garis
y x
menghasilkan bayangan titik
E a
c
,
b c
dengan
a c
b
dan
b c
a
. Garis
y x
A a
,
b E
b
,
a a
c b
a c
a
1
b b
c a
b c
1
a b
Matriks transformasi untuk pencerminan ini adalah 1
1 §
· ¨
¸ ©
¹ , sehingga
E
a a
b b
1 1
c § · §
· § · ¨ ¸ ¨
¸ ¨ ¸ c
© ¹ © ¹
© ¹
Gambar 6.8
Pencerminan titik
A
ter- hadap sumbu-
y
Gambar 6.9
Pencerminan titik
A
ter- hadap garis
y x
Gambar 6.10
Pencerminan titik
A
ter- hadap garis
y x
b y
x A
a
,
b D
b
,
a
b a
a
y x
O b
y
x A
a
,
b C
a
,
b a
a O
b y
x A
a
,
b a
y x
b a
E b
,
a O
141
Bab 6 Transformasi Geometri
O
0, 0
A a
,
b
Titik asal
F a
,
b
• Pencerminan titik
A a
,
b
terhadap titik asal menghasilkan bayangan titik
F a
c
,
b c
dengan
a c
a
dan
b c
b
.
a c a
a
c
1
a b
b c b
b
c a
1
b
Matriks transformasi untuk pencerminan ini adalah 1
1 §
· ¨
¸ ©
¹ , sehingga
F
a a
b b
1 1
c § · §
· § · ¨ ¸ ¨
¸ ¨ ¸ c
© ¹ © ¹
© ¹ •
Pencerminan titik
A a
,
b
terhadap garis
x h
menghasilkan bayangan titik
G a
c
,
b c
dengan
a c
2
h a
dan
b c
b
.
a c
2
h a
a c
1
a b
2
h b
c b
b c
a
1
b
Jika ditulis dalam matriks transformasi sebagai berikut.
G
c § · §
· § · § ·
¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨
¸ c
© ¹ © ¹ ©
¹ © ¹
1 2
1 a
a h
b b
• Pencerminan titik
A a, b
terhadap garis
y k
menghasilkan bayangan titik
H a
c
,
b c
dengan
a c
a
dan
b c
2
k b
.
a c a
a
c
1
a b
b c
2
k b
b c
a
1
b
2
k
Jika ditulis dalam matriks transformasi sebagai berikut.
H
c § · §
· § · § ·
¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨
¸ c
© ¹ © ¹ ©
¹ © ¹
1 1
2 a
a b
k b
Bagaimana jika dua refleksi dikomposisikan? Misalnya, titik
A a
,
b
dicerminkan terhadap garis
x h
. Kemudian, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis
x k
. Untuk mengetahui pencerminan ini, amatilah gambar berikut
Garis
x h
A a, b
G
2
h a
,
b
Garis
y k
Aa
,
b H
a
, 2
k b
Gambar 6.11
Pencerminan titik
A
ter- hadap titik asal
Gambar 6.12
Pencerminan titik
A
ter- hadap garis
x h
Gambar 6.13
Pencerminan titik
A
ter- hadap garis
y k
b y
x y
k A
a
,
b a
H a, 2k
b 2k
b
O b
y
x x
h A
a
,
b a
2h a
G 2h
a
,
b O
y
x A
a
,
b
F a
,
b a
b a
b O
142
142
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Dari gambar, tampak bahw a: Garis
x h
Garis
x k
A a, b
Ac 2
h a, b
Acc 2
k h
a, b
Dengan cara yang sama, kalian dapat menentukan bayangan titik
A a
,
b
yang dicerminkan terhadap garis
y m
, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis
y n
sebagai berikut.
Aa
,
b
Garis
y m
Ac
a
, 2
m b
Garis
y n
Acc
a
, 2
n m
b
Sekarang, jika titik
A a
,
b
dicerminkan terhadap dua garis yang saling berpo to ngan tegak lurus, misalnya pencerminan terhadap garis
x h
, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis
y m
. Diperoleh bayangan Accc
sebagai berikut.
A a
,
b
Garis
x h
A c
2
h a
,
b
Garis
y m
Accc 2
h a,
2
m b
1.
Tentukan bayangan jajargenjang
ABCD
dengan titik sudut
A
2, 4,
B
0, 5,
C
3, 2, dan
D
1, 11 jika
a.
dicerminkan terhadap sumbu-
x
b.
dicerminkan terhadap sumbu-
y
c.
d icerminkan terhad ap sumbu-
x
. Kemud ian, d ilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-
y
d.
d icerminkan terhad ap sumbu-
y
. Kemud ian, d ilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-
x
.
C
ontoh
ccc 2
, 2 A
h a
m b
cc 2
, A
k h
a b
y m
k h
a O
x h
x k
x b
m y
A a, b
Ac
2
h a, b
Gambar 6.14
Pencerminan titik
A a
,
b
terhadap garis
x
=
h
dan
x
=
k
143
Bab 6 Transformasi Geometri
Jawab: a.
Pencerminan terhadap sumbu-
x
1 2
3 4
1 2
3 4
1 2
3 1
1 4
5 2
11 2
3 1
4 5
2 11
x x
x x
y y
y y
§ ·
c c
c c
§ · §
· ¨
¸ ¨ ¸ ¨
¸ ¨
¸ c
c c
c ©
¹ © ¹
© ¹
§ ·
¨ ¸
© ¹
Jadi, bayangan jajargenjang
ABCD
oleh pencerminan terhadap sumbu-
x
adalah jajargenjang
A B C D c c c c
dengan titik sudut 2, 4
Ac
,
c
0, 5
B
,
c
3, 2
C
, dan
c
1, 11
D
.
b.
Pencerminan terhadap sumbu-
y
§ ·
c c
c c
§ · §
· ¨
¸ ¨ ¸ ¨
¸ ¨
¸ c
c c
c ©
¹ © ¹
© ¹
1 2
3 4
1 2
3 4
1 2
3 1
1 4
5 2
11 x
x x
x y
y y
y Jadi, bayangan jajargenjang
ABCD
oleh pencerminan terhadap sumbu-
y
ad alah jajarg enjang
A’B’C’D’
d eng an titik sud ut
c
2, 4
A
,
c
0, 5
B
,
c
3, 2
C
, dan
c
1, 11
D
.
c.
Pencerm inan terhad ap sum bu-
x
, d ilanjutkan d eng an pencerminan terhadap sumbu-
y
. Pada jaw aban a, kalian telah menemukan bayangan jajargenjang
ABCD
yang d icerminkan terhad ap sumbu-
x
. Sekarang hasil pencerminan tersebut, cerminkan lagi terhadap sumbu-
y
sehingga diperoleh
1 2
3 4
1 2
3 4
1 0 2 0 3 1
0 1 4 5
2 1
x x
x x
y y
y y
§ ·
cc cc
cc cc
§ ·§
· ¨
¸ ¨ ¸¨
¸ ¨
¸ cc
cc cc
cc ©
¹© ¹
© ¹
2 0 3
1 4 5
2 11
§ ·
¨ ¸
© ¹
Jadi, bayangan jajargenjang
ABCD
oleh pencerminan terhadap sumbu-
x
, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-
y
ad alah jajargenjang
cc cc cc cc A B C D
d engan titik sud ut
cc
2, 4
A
,
cc
0, 5
B
,
cc
3, 2
C
, dan
cc
1, 11
D
. Bayangan jajargenjang
ABCD
ini d apat pula kalian tentukan dengan terlebih dahulu menentukan matriks komposisi refleksi
terhadap sumbu-
x
dilanjutkan refleksi terhadap sumbu-
y
sebagai berikut.
1 2
3 4
1 2
3 4
1 2
3 1
1 1
1 4
5 2
11 1
2 3
1 1
4 5
2 1
2 3
1 4
5 2
11
§ ·
cc cc
cc cc
§ ·
§ ·
§ ·
¨ ¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ©
¹ cc
cc cc cc
© ¹
© ¹
© ¹
§ · §
· ¨
¸ ¨ ¸
© ¹ ©
¹ §
· ¨
¸ ©
¹ x
x x
x y
y y
y
144
144
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Jadi, bayangan jajargenjang
ABCD
oleh pencerminan terhadap sumbu-
x
, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu–
y
ad alah jajargenjang
cc cc cc cc A B C D
dengan titik sudut
cc
2, 4
A
,
cc
0,
B
,
cc
3,
C
, dan
cc
1,
D
.
d.
Pencerm inan terhad ap sum bu-
y
, d ilanjutkan d eng an pencerminan terhadap sumbu-
x
. Pada jaw aban b, kalian telah menemukan bayangan jajargenjang
ABCD
yang d icerminkan terhad ap sumbu-
y
. Sekarang hasil pencerminan tersebut, cerminkan lagi terhadap sumbu-
x
sehingga diperoleh
§ ·
cc cc
cc cc
§ · §
· ¨
¸ ¨ ¸ ¨
¸ ¨
¸ cc
cc cc
cc ©
¹ © ¹
© ¹
1 2
3 4
1 2
3 4
1 2
3 1
1 4
5 2
1
x x
x x
y y
y y
2 3
1 4
5 2
11 §
· ¨
¸ ©
¹ Jadi, bayangan jajargenjang
ABCD
oleh pencerminan terhadap sumbu-
y
, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-
x
adalah jajargenjang
cc cc cc cc A B C D
dengan titik sudut
cc
2, 4
A
,
cc
0,
B
,
cc
3,
C
, dan
cc
1,
D
. Bayangan jajargenjang
ABCD
ini d apat pula kalian tentukan dengan terlebih dahulu menentukan matriks komposisi refleksi
terhadap sumbu-
y
dilanjutkan refleksi terhadap sumbu-
x
sebagai berikut.
1 2
3 4
1 2
3 4
1 1
2 3
1 1
1 4
5 2
11 1
2 3
1 1
4 5
2 11
x x
x x
y y
y y
§ ·
cc cc
cc cc
§ · §
· § ·
¨ ¸ ¨
¸ ¨ ¸ ¨
¸ ¨
¸ cc
cc cc
cc ©
¹ © ¹ ©
¹ ©
¹ §
· § ·
¨ ¸ ¨
¸ ©
¹ © ¹
2 3
1 4
5 2
11 §
· ¨
¸ ©
¹ Jadi, bayangan jajargenjang
ABCD
oleh pencerminan terhadap sumbu-
y
, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-
x
adalah jajargenjang
cc cc cc cc A B C D
dengan titik sudut
cc
2, 4
A
,
cc
0,
B
,
cc
3,
C
,dan
cc
1,
D
.
2.
Tentukan bayangan parabola
y x
2
2
x
1 yang dicerminkan terhadap garis
y
3.
Jawab:
A mbil sembarang titik
P a, b
pad a
y x
2
2
x
1, sehingga
b a
2
2
a
1 . Refleksikan titik
P
terhad ap g aris
y
3 sehing g a kalian memperoleh titik
P a b
,
c c c .
145
Bab 6 Transformasi Geometri
Dengan mencerminkan titik
P a, b
terhad ap garis
y
3, kalian memperoleh titik
, A a b
c c c Garis
y
3
P a, b
, 2 3 , 6
P a b
P a b
c c
Jadi, titik , 6
.
P a b
c
Perhatikan bahw a:
ac a
b c
6
b
. Dari persamaan ini, didapat
b
6
c
.
b
Dengan mensubstitusi nilai
a
d an
b
ini ke persamaan , kalian memperoleh:
6
bc ac
2
2
ac
1
bc ac
2
2
ac
5 Jadi, bayangan parabola
y x
2
2
x
1 yang dicerminkan terhadap garis
y
3 adalah
y x
2
2
x
5.
Asah Kompetensi
2
1.
Titik-titik sudut segitiga
ABC
adalah
A
1, 2,
B
3, 4, dan
C
5, 6. Tentukan bayangan segitiga
ABC
tersebut jika:
a.
dicerminkan terhadap sumbu-
x
b.
dicerminkan terhadap sumbu-
y
c.
dicerminkan terhadap garis
y x
d.
dicerminkan terhadap garis
y x
e.
dicerminkan terhadap titik
O
f.
dicerminkan terhadap sumbu-
x
, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis
y x
g.
dicerminkan terhadap sumbu-
y
, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap titik
O
h.
dicerminkan terhadap titik
O
, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis
x
2
i.
dicerminkan terhadap garis
y
2, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis
x
1
j.
dicerminkan terhadap sumbu-
x
, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis
y
2
x
.
2.
Tentukanlah bayangan titik
A
3, 2 oleh:
a.
pencerminan terhadap garis
x
1, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis
x
4
b.
pencerminan terhadap garis
x
4, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis
x
1
c.
pencerminan terhadap garis
y
1, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis
y
3
d.
pencerminan terhadap garis
y
3, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis
y
1.
3.
Tentukanlah bayangan titik
A
4, 3 oleh:
a.
pencerminan terhadap garis
y
2
x
, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis
y x
b.
pencerminan terhadap garis
y x
, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis
y
2
x
c.
pencerminan terhadap sumbu-
x
, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis
y x
146
146
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
d.
pencerminan terhadap garis
y x
, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-
x
e.
pencerminan terhadap garis
y x
, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-
y
f.
pencerminan terhadap sumbu-
y,
dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis
y x
.
4.
Tentukanlah bayangan kurva berikut
a.
Garis
x
2
y
2 0 dicerminkan terhadap garis
x
9.
b.
Parabola
y x
2
2 dicerminkan terhadap sumbu-
y
, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis
x
1.
c.
Lingkaran
x
2
y
2
2
x
4
y
3 0 dicerminkan terhadap garis
y x
, dan dilanjutkan dengan dua kali pencerminan terhadap sumbu-
x.
Deng an meng g unakan jang ka, A nako ta membuat sebuah busur lingkaran. Ia menusukkan jarum jangka pada titik
O
, kemudian memutar jangka dengan sudut putar
D berlaw anan dengan arah perputaran jarum
jam. Melalui peragaan ini, A nako ta telah melakukan ro tasi sebesar
a
dengan pusat titik
O
. Misalkan, posisi aw al pensil jangka pada titik
A a, b
. Setelah dirotasi sebesar
D dengan pusat titik
O
, posisi pensil jangka ini berada pada titik
A a
c, bc
seperti pada gambar berikut.
Posisi aw al pensil jangka ini dapat pula ditulis dalam koordinat kutub,
A r
cos
T
,
r
sin
T
. A dapun posisi pensil jangka setelah diputar sebesar D
dengan arah berlaw anan dengan arah perputaran jarum dapat ditulis sebagai
c cos
A r
T D
. Jad i, d inyatakan d alam bentuk matriks, persamaan tersebut menjad i
matriks berikut. cos
sin
a r
A b
r T D
T D c
§ ·
§ · c
¨ ¸
¨ ¸ c
© ¹ ©
¹
C. Rotasi
Gambar 6.15
Rotasi titik
A a
,
b
sebesar
D
dengan pusat titik
O y
x r
r
D
A c
a c, bc
A a, b
O T
B c
B
147
Bab 6 Transformasi Geometri
cos sin
a a
A b
b
D D
c § · §
· § · c
¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸
c ©
¹ © ¹ © ¹
cos cos
sin sin cos
sin sin cos
r r
r r
T D
T D
T D
T D
§ ·
¨ ¸
© ¹
cos sin
sin cos
a b
a b
D D
D D
§ ·
¨ ¸
© ¹
cos sin
sin cos
a b
D D
D D
§ · § ·
¨ ¸ ¨ ¸
© ¹ ©
¹ Jadi, posisi pensil jangka setelah diputar sebesar
D tersebut adalah
§ · § ·
¨ ¸ ¨ ¸
© ¹ © ¹
cos sin
sin cos
a b
D D
D D
Uraian ini menggambarkan rumus rotasi sebesar D
dengan pusat titik
O
0, 0 sebagai berikut.
Adapun untuk rotasi sebesar D
dengan pusat titik
P m
,
n
dapat ditentukan sebagai berikut.
Nilai D
bertanda positif jika arah putaran sudut berlaw anan dengan arah perputaran jarum jam dan bertanda negatif jika arah putaran sudut searah
dengan arah perputaran jarum jam. Bagaimana jika titik
A a, b
dirotasi sebesar
D
dengan pusat titik
O
0, 0. Kemudian, rotasi lagi sebesar
E
dengan pusat yang sama? Perhatikan gambar berikut
Aa, b
O
D
A cc
a cc, bcc
A c
a c, bc
E
cos sin
sin cos
a a
m m
A b
n n
b
D D
D D
c § · §
· § · § ·
c ¨ ¸ ¨
¸ ¨ ¸ ¨ ¸
c ©
¹ © ¹ © ¹
© ¹
Gambar 6.16
Rotasi titik
