Bab 3 Matriks
77
1
6 4
1 38
5 3
A §
· ¨
¸ ¨
¸ ©
¹
§ ·
¨ ¸
§ ·
§ · §
· ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸ ¨
¸ ¨ ¸
© ¹
© ¹ ©
¹ ¨
¸ ©
¹
17 6
4 5
19 1
38 5
3 1
11 19
x y
X A
1
B
Jadi,
x
17 19
dan
y
11 19
.
Selain d engan cara d i atas, sistem p ersamaan linear d ap at juga diselesaikan dengan menggunakan aturan Cramer berikut.
Jika
AX B
maka
x
1
1
A A
,
x
2
2
A A
, …,
x
j
j
A A
.
A
j
adalah matriks yang didapat dengan mengganti elemen-elemen pada kolom-
j
dari matriks
A
dengan elemen-elemen matriks
B
.
Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan aturan Cramer
3
x
4
y
5 5
x
6
y
1
Jawab:
Terlebih dahulu, tentukan
A
,
1
A , dan
2
A
3 4
38 5
6 A
1
5 4
34 1
6 A
2
3 5
22 5
1 A
Jadi,
x
1
A A
34 17
38 19
dan
y
2
A A
22 11
38 19
. Dengan demikian, penyelesaian sistem persamaan linear tersebut
adalah
x
17 19
dan
y
11 19
.
C ontoh
78
78
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
1.
Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan invers matriks dan aturan Cramer.
a.
®
¯ x
y x
y
e.
®
¯ 3
6 14
y x
x y
b.
®
¯ 4
3 3
4 12
x y
y x
f.
®
¯ 5
9 x
x
c.
®
¯ 3
2 6
3 y
x x
g.
®
¯ 2
1 3
8 x
y x
y
d.
®
¯ 3
5 y
x y
h.
°
® °¯
1 2
1 5
3
x y
x y
x y
2.
Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan invers matriks dan aturan Cramer.
a.
°
® °
¯
2 9
2 4
3 1
3 6
5
x y
z x
y z
x y
b.
°
® °
¯
1 2
1 2
2
x z
y z
x y
c.
°
® °
¯
1 2
3 2
4
x z
x y
z y
z
d.
°
® °
¯
2 9
2 4
3 1
3 6
5
x y
x x
y z
x y
z
e.
°
® °
¯
2 8
2 3
1 3
7 4
10
x y
z x
y z
x y
z
f.
°
® °
¯
2 3
2 5
9 3
6 9
6
x y
z x
y z
x y
z
4
A
SAH
K
EMAMPUAN
W aktu : 60 menit
Bobot soal: 40
Bobot soal: 60
Bab 3 Matriks
79 1.
Matriks adalah susunan suatu kumpulan bilangan dalam bentuk persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom.
2.
Baris suatu matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam matriks.
3.
Kolom suatu matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak dalam matriks.
4.
Jenis-jenis matriks berdasarkan ordo dan elemen-elemen matriks •
Matriks baris, yaitu matriks yang terdiri dari satu baris. •
Matriks kolom, yaitu matriks yang terdiri dari satu kolom. •
Matriks persegi, yaitu matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya. •
Matriks nol, yaitu matriks yang semua elemennya nol. •
Matriks identitas, yaitu matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama dengan 1, sedangkan elemen-elemen lainnya sama dengan 0.
• Matriks skalar, yaitu matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama, sedangkan
elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol. •
Matriks diagonal, yaitu matriks persegi yang elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol.
• Matriks segitiga atas, yaitu matriks persegi yang elemen-elemen di baw ah diagonal
utamanya bernilai nol. •
Matriks segitiga baw ah, yaitu matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.
5.
Matriks
A
transpos
A
t
adalah sebuah matriks yang disusun dengan cara menuliskan baris ke-
i
matriks
A
menjadi kolom ke–
i
dan sebaliknya. Beberapa sifat matriks adalah sebagai berikut.
a.
A B
t
A
t
B
t
b.
A
t t
A
c.
cA
t
cA
t
,
c
adalah konstanta
d.
AB
t
B
t
A
t
6.
Jika
A
a b
c d
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
, maka determinan matriks
A
adalah:
A
a b c d
ad bc
.
7.
Jika
A
a b
c d
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
, maka invers matriks
A
adalah:
1
1 d
b A
ad bc c
a §
· ¨
¸ ¨
¸ ©
¹
R
angkuman
R
angkuman
80
80
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
I. Pilihlah jaw aban y ang paling tepat
1.
Jika
§ · §
· § ·
¨ ¸ ¨
¸ ¨ ¸
¨ ¸ ¨
¸ ¨ ¸
© ¹ ©
¹ © ¹
5 4
4 1
2 5
2 2
1 16
5 x
y
, maka . . . .
A .
y
= 3
x
D .
y
=
3 x
B.
y
= 2
x
E. 1
2 y
x C.
y
=
x
2.
Invers dari matriks
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
1 1
2 2
1 1
2 2
a b a b
a b a b
adalah . . . . A .
a b a b
a b a b
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
B. a b
a b a b
a b §
· ¨
¸ ¨
¸ ©
¹ C.
a b a b
a b a b
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
D . a b
a b a b
a b §
· ¨
¸ ¨
¸ ©
¹ E.
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
a b a b
a b a b
3.
Jika §
· § · §
· ¨
¸ ¨ ¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨ ¸ ¨
¸ ©
¹ © ¹ ©
¹ 1
5 13
4 6
24 x
y , maka
x
dan
y
berturut-turut adalah . . . . A . 3 dan 2
D . 4 dan 5 B.
3 dan 2
E. 2 dan 4
C. .
3 dan 2
4.
Diketahui §
· ¨
¸ ¨
¸ ©
¹ 1
, a b
A b
c §
· ¨
¸ ¨
¸ ©
¹ 1
a B
c d
, d an 1
1 1
C §
· ¨
¸ ¨
¸ ©
¹ . Jika
A
+
B
t
=
C
t
, di mana
B
t
transpos dari
B
, maka nilai
d
adalah . . . . A .
1 D .
2 B. 0
E. 4
C. 1
5.
A, B
, dan
C
adalah matriks persegi ordo dua dengan
A
=
2 1
1 3
, 1
1 1
4 B
§ ·
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
© ¹
,
dan
AC
=
B.
Maka matriks
C
adalah . . . . A .
1 1
11 §
· ¨
¸ ©
¹
D .
1 1
5 §
· ¨
¸ ©
¹
B.
1 3
5 §
· ¨
¸ ©
¹
E.
1 5 1
§ ·
¨ ¸
© ¹
C.
1 1
5 §
· ¨
¸ ©
¹
6.
Invers matriks
A
=
3 4
2 1
§ ·
¨ ¸
© ¹
adalah . . . .
A .
1 4
5 5
2 3
5 5
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
D .
1 4
5 5
2 3
5 5
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
B.
3 2
5 5
4 1
5 5
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
E.
2 1
5 5
3 4
5 5
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
C.
1 4
11 11
2 3
11 11
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
Ulangan Bab 3 Ulangan Bab 3
○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○○○○○○○○
Bab 3 Matriks
81 7.
Jika §
· §
· § ·
¨ ¸
¨ ¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨ ¸
© ¹
© ¹ ©
¹ 3
2 1
1 x
a y
b dan
§ ·
§ · §
· ¨
¸ ¨
¸ ¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸ ¨
¸ ©
¹ ©
¹ © ¹
2 3
5 1
a p
b q
, maka x
y §
· ¨
¸ ¨
¸ ©
¹ adalah . . . .
A . §
· § ·
¨ ¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨ ¸
© ¹ ©
¹ 4
11 7
2 p
q B.
§ · §
· ¨
¸ ¨ ¸
¨ ¸ ¨
¸ ©
¹ © ¹
1 5
4 3
p q
C. §
· § ·
¨ ¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨ ¸
© ¹ ©
¹ 9
1 13
12 p
q D .
§ · §
· ¨
¸ ¨ ¸
¨ ¸ ¨
¸ ©
¹ © ¹
5 1
6 1
p q
E. §
· § ·
¨ ¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨ ¸
© ¹ ©
¹ 6
13 5
9 p
q
8.
Nilai determinan
2 3
2 4
3 4
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
adalah . . . . A . 3
D . 0 B. 2
E. 1
2 C. 1
9.
Diketahui
2 3
5 4
4 8
3 11
a K
b c
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
, §
· ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ©
¹
2 3
2 7
3 4
L Kalau
K
=
L
t
, maka
c
adalah . . . . A . 16
D . 13 B.
7 3
E. 12 C. 14
10.
Diketahui
1 2
1 2
3 3
4 3
1 2
3 4
2 1
2 §
· §
· §
· §
· ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ©
¹ ©
¹ ©
¹ ©
¹ a
, maka nilai
a
adalah . . . . A . 4
D . 4
B. 2 E.
6 C.
2
11.
Jika 2 1
1 3 2 3 2 dan
4 2 1 1 3
A B
§ ·
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
¨ ¸
© ¹
, maka
A
u
B
= . . . . A .
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
6 8 5
11 13 8 13
9 5
D .
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
6 9 3
11 12 8 13
8 3
B.
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
2 4 9 4
2 3 E.
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
8 5 11
13 8 13 9
5 6
C.
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
4 2 3 9
4 2
12.
Jika §
· ¨
¸ ©
¹ 2 3
4 5 A
, maka
A
1
= . . . .
A . §
· ¨
¸ ¨
¸ ©
¹ 1
1 2
1 2
2 2
1 D .
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
1 1
2 1
2 2
2 1
B. §
· ¨
¸ ©
¹ 2
4 3
5 E.
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
1 1
2 3
1 1
4 5
C. §
· ¨
¸ ©
¹ 5
3 4
2
13.
Jika
§ ·
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
¨ ¸
© ¹
1 4
,
A Ƥ
, d an §
· ¨
¸ ©
¹ 1
C maka
AB C
= . . . . A .
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
8 5
20 13 2
1 D .
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
18 16
46 38
4 4
B. §
· ¨
¸ ©
¹ 10 9
4 3
E.
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
8 6
20 14 2
2
C.
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
18 15
46 39
4 3
○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○
82
82
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
14.
Diketahui 1 2
3 2 dan
1 3 2 2
A B
§ ·
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
© ¹
. Nilai
AB
1
= . . . . A .
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
4 3
9 7
2 2
D . §
· ¨
¸ ¨
¸ ©
¹ 1
1 3
1 2
B. §
· ¨
¸ ¨
¸ ©
¹ 4
3 9
7 2
2 E.
§ ·
¨ ¸
© ¹
3 2
1 1
C. §
· ¨
¸ ©
¹ 7 6
9 8
15.
Misalkan
A
adalah matriks §
· ¨
¸ ©
¹ 1 0
2 3 . Nilai dari
A
2
2
A
+
I
adalah . . . . . A .
§ ·
¨ ¸
© ¹
1 26 27
D . §
· ¨
¸ ©
¹ 4
4
B. §
· ¨
¸ ¨
¸ ©
¹ 1
26 1
27 27
E. §
· ¨
¸ ©
¹ 2
3 1
4
C. 4
4 §
· ¨
¸ ©
¹
II. Jaw ablah pertany aan berikut dengan jelas dan tepat
1.
x
dan
y
memenuhi persamaan matriks. §
· § · §
· ¨
¸ ¨ ¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨ ¸ ¨
¸ ©
¹ © ¹ ©
¹ 1
1 3
6 3
2 2
2 x
x y Tentukanlah nilai
x
+
y
.
2.
Jika diketahui
A
= 1
2 3
4 §
· ¨
¸ ¨
¸ ©
¹ dan
B
= 6
5 5
4 §
· ¨
¸ ¨
¸ ©
¹ Tentukanlah
AB
–1
A
t
.
3.
Jika
x
memenuhi log
1 log
log 2 log
1 log
2 1
x
b a
a b a
b §
· §
· ¨
¸ ¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
© ¹
maka tentukanlah nilai
x
.
4.
Jika
a
,
b
,
c
d an
d
memenuhi persamaan 2
1 1
2 2
1 1
a b
d c
c d
b a
§ · §
· § ·
¨ ¸ ¨
¸ ¨ ¸
¨ ¸ ¨
¸ ¨ ¸
© ¹ ©
¹ © ¹
maka tentukanlah
a
+
b
+
c
+
d
.
5.
Hitunglah determinan dari:
a.
P
= 3
1 4
2 §
· ¨
¸ ¨
¸ ©
¹
b
.
Q
= 1
2 3
4 5
6 7
8 9
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○
Bab 4 Vektor
83
B A
B
Pernahkah kalian melihat lembing yang meluncur di udara saat dilempar oleh atlet lempar lembing? Lembing tersebut meluncur
dengan kecepatan dan arah tertentu sesuai dengan keinginan sang atlet. Dalam matematika, lembing yang meluncur ini mewakili
sebuah vektor, yaitu suatu besaran yang memiliki besar dan arah. Agar kalian lebih memahami tentang vektor ini, pelajarilah bab
berikut.
4 4
Vektor Vektor
Sumber: http:images.encarta.msn.com
A. Pengertian Vektor
B. Operasi pada Vektor
C. Perbandingan Vektor
D. Perkalian Skalar Dua Vektor
dan Proyeksi Vektor
84
84
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
A. Pengertian Vektor
