8
8
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Pembuktian Teorema 7
Di Kelas XI, kalian telah mempelajari turunan fungsi trigonometri, yaitu
d dx
sin
x
cos
x
,
d dx
cos
x
sin
x
, dan
d dx
tan
x
sec
2
x
.
Berikut ini akan d ibuktikan aturan integral trigonometri m eng g unakan rum us tersebut. Carany a ad alah d eng an
mengintegralkan kedua ruas seperti berikut.
• Dari
d dx
sin
x
cos
x
diperoleh cos x dx
³
sin
x c
• Dari
d dx
cos
x
sin
x
diperoleh sin x dx
³
cos
x c
• Dari
d dx
tan
x
sec
2
x
diperoleh
2
sec
x
³
tan
x c
b.
Misalkan
u
1 2
x x
du dx
1 2
1 1
2 2
x x
dx 2 x du
, sehingga
³
sin sin
x u
dx x
x
2 x
³ ³
2 sin 2 cos
2 cos du
u du u
c x
c
c
. Misalkan
u
1 2
x
2
, maka
du
4
x dx
dx 4
du x
sehingga integral tersebut dapat ditulis sebagai berikut.
4 2
1 2
x dx
x
³
³
4
4
x du
u x
Teorema 5
4
1 4
u du
³
3
1 1
4 3
u c
§ ·§
· ¨
¸¨ ¸
© ¹©
¹
1 12
u
3
c
Substitusi
u
1 2
x
2
ke persamaan 12
u
3
c
4 2
1 2
x dx
x
³
1 12
u
3
c 1
12
1 2
x
2 3
c
Jadi,
2 4
1 2
x dx
x
³
1 12
1 2
x
2 3
c
2 3
1 .
121 2
c x
Bab 1 Integral
9
B. 2. Integral dengan Bentuk
,
2 2
2 2
a x
a x
, dan
2 2
x a
Pengintegralan bentuk-bentuk
2 2
2 2
,
a x
a x
, dan
2 2
x a
dapat dilakukan dengan menggunakan subtisusi dengan
x a
sin
t
,
x a
tan
t
,
x a
sec
t
. Sehingga diperoleh bentuk-bentuk seperti ini.
1.
Hitunglah setiap integral berikut
a.
sin 3 1 cos 3
1
x x
dx
³
b.
2 2
9 x
dx x
Jawab: a.
Untuk mengerjakan integral ini, terlebih dahulu kalian harus mengubah sin 3
x
1 cos 3
x
1 ke dalam rumus trigonometri sudut rangkap, yaitu
C
ontoh
x
2 2
a x
2 2
2 2
2
sin 1
sin
a a
t a
t
2 2
cos cos
a t
a t
x
2 2
a x
2 2
2 2
2
tan 1
tan
a a
t a
t
2 2
sec sec
a t
a t
x
2 2
x a
2 2
2 2
2
sec sec
1
a t
a a
t
2 2
tan tan
a t
a t
Ingat
1 1
2 1
a a
a
ax b dx
ax b
c ax
b dx ax
b c
ax b dx
ax b
c
³ ³
³
cos sin
sin cos
sec tan
Gambar 1.1
Segitiga siku-siku untuk integral substitusi trigonometri: i
2 2
cos a
x a
t
, ii
2 2
sec a
x a
t
,
iii
2 2
tan x
a a
t
x a
t
2 2
a x
x
a t
2 2
x a
a x
t
2 2
x a
i ii
iii
10
10
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
sin
D
cos
D
1 2
sin 2
D
. Dengan rumus ini, kalian mendapatkan:
§ ·
¨ ¸
© ¹
³ ³
³
1 sin 3
1 cos 3 1
sin 6 2
2 1
sin 6 2
2 1
1 cos 6
2 2
6 1
cos 6 2
12 x
x dx
x dx
x dx
x c
x c
Jadi,
³
1 sin 3
1 cos 3 1
cos 6 2
12
x x
dx x
c
b. Misalkan,
x
3 sin
t,
maka sin
t 3
x
dan
dx
3 cos
t dt
. Sekarang, perhatikan segitiga berikut ini
Dari segitiga di samping,
cos
t
2
9 3
x
2
9
x
3 cos
t
2 2
9 x
dx x
³
2
3 sin 3 cos
3 cos
t t dt
t
³
9
2
sin
t
³
1 1 cos 2
2 t dt
³
2 2
9 x
dx x
³
9 1 cos 2
2 t dt
³
9 1
sin 2 2
2 t
t c
§ ·
¨ ¸
© ¹
9 9
sin 2 2
4 t
t c
9 9
sin cos 2
2 t
t t
c
2 1
9 9
9 sin
2 3
2 3 3
x x
x c
§ ·
¨
¸ ¨
¸ ©
¹
1 2
9 sin
9 2
3 2
x x
x c
Jadi,
2 1
2 2
9 sin 9
2 3
2 9
x x
x dx
x c
x
³
Ingat
Integral bentuk:
•
2 2
a x
diubah menjadi x
a sin t •
2 2
a x
diubah menjadi x
a tan t •
2 2
x a
diubah menjadi x
a sec t 3
t
2
9 x
x
Ingat, rumus kosinus sudut rangkap cos 2t
1 2 sin
2
t
x
a
