Bab 1 Integral
5
Jika
f
dan
g
fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka
f x g x
dx
³
f x dx g x dx
³ ³
Jika
f
dan
g
fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka
f x g x
dx f x dx
g x dx
³ ³
³
A turan integral substitusi Jika
u
suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan
r
suatu bilangan rasional tak nol, maka
c
³
1
1 1
r r
u x u x dx
u x r
c
, di mana
c
adalah konstanta dan
r
z 1.
A turan integral parsial Jika
u
dan
v
fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka
u dv uv
v du
³ ³
Teorema 3
Teorema 4
Teorema 5
Teorema 6
A turan integral trigonometri •
cos sin
x dx x
c
³
•
sin cos
x dx x
c
³
•
2
1 tan
cos dx
x c
x
³
di mana
c
adalah konstanta
Teorema 7
6
6
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Untuk membuktikan Teorema 1, kalian dapat mendiferensialkan
x
n
1
c
yang terdapat pada ruas kanan seperti berikut.
1 n
d x
c dx
n
1
x
n 1
1 1
n
d x
c n
dx ª
º
¬ ¼
1 1
1
n
n x
n
1
1
n
d x
c dx n
ª º
« »
¬ ¼
x
n
Sehingga
1
1 1
n n
x dx x
c n
³
Pembuktian Teorema 1
1
Untuk membuktikan Teorema 4, kalian dapat mendiferensialkan
r
³ ³
f x dx g x dx
yang terdapat pada ruas kanan seperti berikut.
ª º
ª º
ª º
r r
r ¬
¼ ¬
¼ ¬
¼
³ ³
³ ³
d d
d f x dx
g x dx f x dx
g x dx f x
g x dx
dx dx
ª º
r r
¬ ¼
³ ³
d f x dx
g x dx f x
g x dx
Sehingga didapat:
r r
³ ³
³
f x g x
dx f x dx
g x dx
. . . kalikan kedua ruas dengan 1
1 n
Hitunglah integral dari
³
2
3 3
7
x x
dx
Jawab:
2 2
3 3
7 3
3 7
x x
dx x dx
x dx dx
³ ³
³ ³
Teorema 2, 3, dan 4
2 1
3 3
7 2
1 1
1 x
x x
c Teorema 1
3 2
3 7
2 x
x x
c
³
2 3
2
3 Jadi, 3
3 7
7 .
2
x x
dx x
x x
c
C
ontoh
Pembuktian Teorema 3 dan 4
Bab 1 Integral
7
Di kelas XI, kalian telah mengetahui turunan hasil kali dua fungsi
fx ux
vx
adalah
d u x v x
u x v x
v x u x
dx
c c
A kan d ibuktikan aturan integral parsial d engan rumus tersebut. Caranya ad alah d engan mengintegralkan ked ua ruas persamaan
seperti berikut.
c
c ª
º ¬
¼
³ ³
³
d u x
v x u x
v x dx
v x u x dx
dx
u x v x
u x v x dx
v x u x dx
c
c
³ ³
c
c
³ ³
u x v x dx
u x v x
v x u x dx
Karena
v
c
x dx
dv
dan
u’ x
dx du
Maka persamaan dapat ditulis
u dv uv
v du
³ ³
Pembuktian Teorema 6
B. 1. Aturan Integral Substitusi
A turan integral substitusi seperti yang tertulis di Teorema 5. A turan ini digunakan untuk memecahkan masalah pengintegralan yang tidak dapat
diselesaikan dengan rumus-rumus dasar yang sudah dipelajari. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.
Hitunglah integral dari:
a.
2
9
x x
dx
³
b.
³
sin
x dx
x
c.
2
4 1 2
x dx
x
³
Jawab: a.
Misalkan
u
9
x
2
, maka
du
2
x dx
2
du x dx
1 1
2 2 2
2
9 9
2
du x
x dx x
x dx u
§ ·
¨ ¸
© ¹
³ ³
³
u
³
3 1
2 2
2 1
1 2
2 3
u u
du c
2 3
1 2
1 2
3 3
u c
u u c
u u
2 2
1 9 9
3
x x
c
Jadi,
2 2
2
1 9
9 9
3
x x dx
x x
c
³
.
C
ontoh
8
8
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Pembuktian Teorema 7
Di Kelas XI, kalian telah mempelajari turunan fungsi trigonometri, yaitu
d dx
sin
x
cos
x
,
d dx
cos
x
sin
x
, dan
d dx
tan
x
sec
2
x
.
Berikut ini akan d ibuktikan aturan integral trigonometri m eng g unakan rum us tersebut. Carany a ad alah d eng an
mengintegralkan kedua ruas seperti berikut.
• Dari
d dx
sin
x
cos
x
diperoleh cos x dx
³
sin
x c
• Dari
d dx
cos
x
sin
x
diperoleh sin x dx
³
cos
x c
• Dari
d dx
tan
x
sec
2
x
diperoleh
2
sec
x
³
tan
x c
b.
Misalkan
u
1 2
x x
du dx
1 2
1 1
2 2
x x
dx 2 x du
, sehingga
³
sin sin
x u
dx x
x
2 x
³ ³
2 sin 2 cos
2 cos du
u du u
c x
c
c
. Misalkan
u
1 2
x
2
, maka
du
4
x dx
dx 4
du x
sehingga integral tersebut dapat ditulis sebagai berikut.
4 2
1 2
x dx
x
³
³
4
4
x du
u x
Teorema 5
4
1 4
u du
³
3
1 1
4 3
u c
§ ·§
· ¨
¸¨ ¸
© ¹©
¹
1 12
u
3
c
Substitusi
u
1 2
x
2
ke persamaan 12
u
3
c
4 2
1 2
x dx
x
³
1 12
u
3
c 1
12
1 2
x
2 3
c
Jadi,
2 4
1 2
x dx
x
³
1 12
1 2
x
2 3
c
2 3
1 .
121 2
c x
Kategori