Koneksi Matematika 1. Hakekat Matematika
bangga akan tumbuh. Matematika mengajarkan pentingnya sikap percaya diri. Inilah mutiara yang berguna dalam kehidupan sehari-hari.
3 That they become mathematical problem-solvers, artinya bahwa siswa menjadi mampu untuk memecahkan masalah. Pembelajaran matematika di kelas
dimaksudkan tidak hanya mentranfer pengetahuan guru kepada siswa, tetapi siswa dapat mengerti materi yang mereka pelajari. Siswa dapat mengerjakan
soal yang berbeda dengan yang dicontohkan guru, maka siswa dilatih untuk mengaplikasikan materi yang dipelajari dengan soal yang mereka kerjakan
untuk memecahkan masalah. 4 That they learn to communicate mathematically, artinya bahwa siswa belajar
untuk berkomunikasi secara matematika. Penggunaan simbol sebagai alat komunikasi dalam matematika, untuk menyatakan “unsur x merupakan anggota
himpunan A” digunakan dengan simbol “ ݔ א ܣ”. Menyatakan bahwa simbol
bermanfaat untuk
penghematan intelektual,
karena simbol
dapat mengkomunikasikan ide secara efektif dan efisien.
5 That they learn to reason mathematically, artinya bahwa siswa belajar untuk memperoleh alasan-alasan atau berpikir secara matematis, maka matematika
pada umumnya
berkaitan dengan
usaha mencari
penyelesaian suatu
permasalahan matematika. Tetapi, bukan penyelesaian yang menjadi fokus. Justru bagaimana metode mencari penyelesaian yang diutamakan. Sebagai
contoh, ada soal berikut: “Tentukanlah hasil dari 134 x 85”. Beberapa siswa mungkin akan menjawabnya dengan perkalian bersusun
berikut: 125
75 625
875 9375
+ ݔ
Tetapi, siswa lain mungkin akan menjawabnya sebagai berikut. 125 x 75 = 10000 – 625 = 9375.
Cara kedua ini adalah cara tercepat dan tepat. Inilah menghitung dengan cara yang hemat. Cara kedua menggunakan rumus:
ܽ ܾܽ െ ܾ ൌ ܽ
ଶ
െ ܾ
ଶ
Cara kedua ini dilakukan karena mengetahui bahwa: 25 = 100 + 25
75 = 100 – 25 Jadi, 125 x 75 = 100 + 25 x 100 - 25 = 10
2
– 25
2
= 10000 – 625 = 9375. Dalam matematika terdapat topik atau konsep prasyarat sebagai dasar untuk
memahami topik atau konsep selanjutnya. Pembelajaran matematika tidak bisa disampaikan secara acak harus berurutan secara tahap demi tahap, penjelasan
dimulai dari pemahaman ide dan konsep dasar selanjutnya sampai jenjang yang lebih kompleks.
Sekalipun abstrak, berbagai konsep atatu teori matematika timbul atau disusun berdasarkan berbagai fenomena nyata, atau dipicu oleh kebutuhan dalam
memecahkan permasalahan situasi nyata. Ini mendasari mengapa matematika seringkali berperan besar dalam pengembangan berbagai bidang ilmu lain,
ataupun secara langsung menyelesaikan permasalahan nyata. Dalam pembelajaran matematika terdapat dua aspek yang berkaitan erat, yaitu: aspek teori dan aspek
terapan
28
. Aspek teori, didasarkan pada karakteristik utama matematika, yaitu
disiplin atau pola berpikir. Pola berpikir yang konsisten inilah yang diterapkan secara konsisten dan menyebabkan matematika mempunyai struktur ilmu yang
kokoh. Dalam matematika tidak akan pernah ada konsep-konsep yang bertentangan kontradiksi. Dalam struktur matematika yang dibangun dengan
pola berpikir ini, dalam setiap teori matematika terdapat rantai-rantai hierarki konsep yang tidak dapat dihilangkan salah satu matarantainya begitu saja. Dengan
kata lain perlu terdapat kesinambungan tertentu dalam pengajaran setiap mata kuliah.
28
Tim Penulis PKERTI Bidang MIPA. Hakikat Pembelajarn MIPA dan Kiat Pembelajaran Matematika Perguruan Tinggi. Pusat Antar Universitas. Universitas Terbuka. Jakarta. Juli 2011.
Hal 5
Aspek terapan didasari oleh berbagai konsep matematika, terutama konsep-konsep awal yang mencakup juga berbagai aksioma, ada yang berasal dari
pengamatan dalam situasi atau peristiwa sehari-hari, dan adapula yang dirangsang tumbuhnya oleh situasi tersebut. Sebagai contoh, misalnya teori matriks yang
pada saat ini digunakan oleh hampir semua bidang ilmu, termasuk berbagai ilmu- ilmu sosial. Hal ini menunjukkan bahwa terdapat kaitan yang erat sekali antara
berbagai konsep matematika dengan permasalahan dunia nyata, yang memberikan aspek penerapan matematika, yaitu kemampuan matematika untuk membantu
menyelesaikan permasalahan sehari-hari, maupun dalam pengembangan berbagai bidang ilmu lainnya.
B.2. Koneksi Matematika
Dalam matematika terdapat beberapa kemampuan yang diharapkan dapat dikuasai oleh siswa atau yang sering disebut “daya matematika” meliputi
29
: 1. Kemampuan pemecahan masalah problem solving
2. Kemampuan berargumentasi reasonning 3. Kemampuan berkomunikasi communication
4. Kemampuan membuat koneksi connection 5. Kemampuan representasi representation
Salah satu diantara kelima daya matematika ialah kemampuan membuat koneksi matematika. Koneksi matematika mengacu pada pemahaman yang
mengharuskan siswa dapat memperlihatkan hubungan internal dan kesternal matematika. Hubungan internal matematika meliputi hubungan antar topik
matematika, sedangkan hubungan eksternal matematika meliputi hubungan matematika dengan disiplin ilmu lain dalam kehidupan sehari-hari. Dapat
diketahui betapa pentingnya koneksi matematika sebagaimana diungkapkan
29
Tim Penulis PKERTI Bidang MIPA. Hakikat Pembelajarn MIPA dan Kiat Pembelajaran Matematika Perguruan Tinggi. Pusat Antar Universitas. Universitas Terbuka. Jakarta. Juli 2011.
Hal 11
NCTM “ketika siswa dapat mengetahui antara konten matematika yang berbeda. Mereka
mengembangkan pandangan
matematika sebagai
sesuatu yang
menyeluruh. Sejak mereka lebih memahami hubungan antar topik matematika. Russeffendi menyatakan bahwa dalam matematika setiap konsep itu
berkaitan satu sama lain seperti dalil dengan dalil, antara teori dengan teori, antara topik dengan topik, antara cabang matematika
30
. Oleh karena itu agar siswa berhasil dalam belajar matematika, siswa harus lebih banyak diberi kesempatan
untuk melihat kaitan-kaitan itu. Koneksi erat kaitannya dengan masalah pengertian understanding, comprehension. Menurut Fisher, membuat koneksi
adalah cara kita menciptakan pengertian
31
. Untuk bisa melakukan koneksi terlebih dahulu siswa harus mengerti permasalahannya, sebaliknya untuk bisa mengerti
permasalahan siswa harus mampu membuat koneksi dengan topik-topik yang terkait.
Dalam melakukan koneksi, siswa harus mengerti informasi yang baru diperoleh untuk diarahkan ke informasi yang diterima terdahulu. Dengan
pengertian itu, siswa akan menangkap arah penyelesaian, langkah apa yang seharusnya dilakukan. Ada dua hal pokok yang berkaitan dengan mengerti dan
koneksi
32
: 1. Mengerti penting artinya agar prinsip dan fakta bisa dihubungkan
dikoneksikan dengan
yang lain secara
keseluruhan dari
materi matematika yang telah dipelajari.
2. Adanya koneksi antara matematika dengan cabang ilmu pengetahuan yang lain seperti yang dipelajari di sekolah.
Diketahui bahwa koneksi matematika tidak hanya mencangkup masalah- masalah yang berhubungan dengan matematika saja, namun juga dengan mata
30
Ruspiani. Kemampuan siswa dalam melakukan koneksi matematika.Tesis Program Pascasarjana UPI Bandung. 2000. Hal 19
31
Ruspiani. Kemampuan siswa dalam melakukan koneksi matematika.Tesis Program Pascasarjana UPI Bandung. 2000. Hal 21
32
Ruspiani. Kemampuan siswa dalam melakukan koneksi matematika.Tesis Program Pascasarjana UPI Bandung. 2000. Hal 24
pelajaran lain serta kehidupan sehari-hari. Koneksi matematika memberi gambaran tentang bagaimana sifat materi matematika yang diberikan dalam
kegiatan pembelajaran. Pertanyaan ini muncul karena topik-topik dalam matematika banyak memiliki keterkaitan dan juga banyak memiliki relevansi yang
bermanfaat dengan bidang lain, baik di dalam sekolah dengan mata pelajaran lain maupun di luar sekolah dalam kehidupan dunia nyata.
Sehubungan dengan hal tersebut, maka dalam pembelajaran matematika perlu adanya penekanan kepada materi yang mengarah kepada adanya keterkaitan
baik dengan matematika sendiri maupun dengan bidang lain. Matematika terdiri atas beberapa cabang dan setiap cabang tidak bersifat tertutup yang masing-
masing berdiri sendiri namun merupakan kesatuan padu yang menyeluruh. Melalui
koneksi matematika
diupayakan agar
bagian-bagian itu
saling berhubungan sehingga siswa tidak memandang sempit terhadap matematika.
Indikator Koneksi Matematika
33
: a.
Mencari hubungan berbagai representasi konsep dan prosedur. b.
Memahami hubungan antar topik matematika c.
Menggunakan matematika dalam bidang studi lain atau kehidupan sehari- hari.
d. Memahami representasi ekuivalen konsep yang sama.
e. Mencari koneksi suatu prosedur ke prosedur lain dalam repreentasi yang
ekuivalen. f.
Menggunakan koneksi antara topik matematika dengan topik matematika lainnya dan antara topik matematika dengan topik bidang ilmu lain.
Dan standar proses yang harus dicapai dalam mengkoneksikan matematika adalah:
1. Memperdalam dan memperkokoh pemahaman siswa
33
Jihap, Asep. Pengembangan Kurikulum Matematika. Yogyakarta: Multi Pressindo. 2008. Hal 56
2. Menggunakan matematika di luar konteks bidang matematika, dalam hal ini dibagi 2 yaitu:
a Memberikan kesempatan untuk mengalami konteks matematika.
b Menganalisis data statistik yang digunakan siswa untuk mengklasifikasi
isu yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari. 3. Mengerti bagaimana menghubungkan ide-ide matematika dan membangun
hasil yang koheren satu sama lain. Hal ini juga bercabang menjadi 2 macam, yaitu:
a Mengintegrasikan langkah-langkah dan dapat memfokuskan konsep-
konsep matematika sekolah. b
Dapat meningkatkan kemampuan untuk melihat struktur yang sama dengan pengaturan yang terlihat berbeda.
4. Mengakui dan menggunakan keterkaitan antara ide-ide dalam matematika, hal ini dapat bercabang menjadi 3, yaitu:
a Mempercayai bahwa materi dalam matematika sekolah semua level
memiliki keterkaitan. b
Membangun kepercayaan bahwa keterkaitan matematika dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah.
c Memperluas dengan menemukan ide baru dari materi yang sudah
dipelajari dari dahulu. Adapun
tujuan kehadiran
koneksi matematika
di sekolah
yang dikemukakan oleh Nationnal Council of Teachers Mathematics NCTM, yaitu
34
: 1. Memperluas wawasan pengetahuan siswa,
2. Memandang matematika sebagai suatu keseluruhan yang padu, bukan sebagai materi yang berdiri sendiri,
3. Menyatakan relevansi dan manfaat matematika baik di sekolah maupun di luar sekolah
34
Ruspiani. Kemampuan siswa dalam melakukan koneksi matematika.Tesis Program Pascasarjana UPI Bandung. 2000. Hal 26
Kemampuan Koneksi Matematika adalah kemampuan seseorang dalam memperlihatkan hubungan internal dan eksternal matematika. Ada dua tipe umum
koneksi matematika
menurut NCTM,
yaitu modeling
connections dan
mathematical connections. Modeling connections merupakan hubungan antara situasi masalah yang muncul di dalam dunia nyata atau di dalam disiplin ilmu
lain dengan representasi matematiknya, sedangkan mathematical connections adalah hubungan antara dua representasi yang ekuivalen, dan antara proses
penyelesaian masing-masing representasi
35
. Keterangan NCTM mengenai dua tipe umum koneksi matematika mengindikasikan bahwa koneksi matematika terbagi
kedalam tiga aspek, yaitu
36
: 1
Koneksi antar topik matematika, Banyak diantara topik-topik dalam berbagai bidang dalam matematika
yang sebenarnya memiliki koneksi satu sama lain. Adanya koneksi antar topik matematika bermaksud untuk membantu siswa dapat menghubungkan berbagai
topik tersebut. Sebagai contoh dalam phytagoras. Topik ini memiliki koneksi dengan trigonometri dan garis singgung lingkaran.
Menurut Ruspiani, koneksi antar topik matematika terbagi atas 3 jenis, yaitu
37
: 1.
Koneksi matematika seperti yang digambarkan NCTM, yaitu satu permasalahan yang diselesaikan dengan dua cara berbeda.
Contoh : Selesaikan persamaan berikut: 2x + y = 3
x – 3y = 5
35
http:herdy.wordpress.com20100527kemampuan-koneksi-matematik-siswa
36
Gusni Satriawati dan Lia Kurniawati. ALGORITMA Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Menggunakan Fungsi-fungsi Untuk Membuat Koneksi-Koneksi Matematika.
Jakarta: CEMED, 2008.
37
Ruspiani. Kemampuan siswa dalam melakukan koneksi matematika.Tesis Program Pascasarjana UPI Bandung. 2000. Hal 13
Penyelesaian: a Penyelesaian dengan cara eliminasi
2x + y = 3 6x + 3y = 9
x – 3y = 5 x – 3y = 5
+ 7x = 14
x = 2 2x + y = 3
2x + y = 3 x – 3y = 5
2x - 6y = 10 +
7y = -7 y = -1,
►sehingga penyelesaiannya : x = 2, y = -1 b Penyelesaian dengan cara grafik
2x +y = 3 x = 0, y = 3
y = 0, x = 32 x – 3y = 5
x = 0, y = -53 y = 0, x = 5
Titik potong kedua garis pada 2, -1. Sehingga penyelesaiannya x = 2 dan y = -1
Gambar .4. Penyelesaian dari persamaan 2x + y = 3 dan x – 3y = 5
2. Koneksi bebas, topik-topik yang berhubungan dengan persoalan tidak ada hubungannya satu sama lain, namun topik-topik itu menyatu dalam satu
persoalan.
Contoh:
Jika
} 3
4 4
1 2
{ lim
2
y y
y a
y
maka untuk
2
x
deret ....
sin log
sin log
sin log
1
3 2
x x
x
a a
a
konvergen hanya pada selang:
2, -1 32
x - 3y = 5 3
-53
2x + y = 3
2 3
2 4
3 4
4 6
2 6
x e
x d
x c
x b
x a
Topik-topik yang terikat dalam soal di atas adalah :
Konsep limit mendekati tak hingga
Trigonometri
Logaritma
Deret geometri tak hingga
Harga mutlak Pada soal di atas topik utamanya adalah deret geometri tak
berhingga. Masing-masing topik lepas satu sama lain dalam arti topik yang satu tidak bergantung kepada topik yang lain terkecuali antara deret geometri
tak hingga
dengan harga
mutlak. Dalam
penyelesaian terdapat
x s
sin log
1 1
2
. 3. Koneksi
terikat, antara
topik-topik yang
terlibat koneksi
saling bergantungan satu sama lain.
A
1
B
1
C
1
D
1
adalah suatu persegi dengan panjang sisi 10 cm. Titik A
2
, B
2
, C
2
, dan D
2
adalah titik-titik tengah A
1
B
1
, B
1
C
1
, C
1
D
1
, dan D
1
A
1
sehingga A
2
B
2
C
2
D
2
membentuk persegi. Titik A
3
, B
3
, C
3
, dan D
3
adalah titik-titik tengah A
2
B
2
, B
2
C
2
, C
2
D
2
, dan D
2
A
2
sehingga A
3
B
3
C
3
D
3
membentuk persegi, …; demikian seterusnya. Hitunglah limit jumlah luas persegi itu
Gambar.5. Deret Persegi
Topik-topik yang terlibat dalam soal di atas adalah:
Sifat-sifat dalam persegi
Teorema phytagoras atau sifat segitiga siku-siku sama kaki
Deret geometri tak hingga Dari soal di atas sifat persegi menentukan penggunaan teorema
phytagoras. Teorema phytagoras menentukan luas persegi berikutnya sehingga akan membentuk konsep deret geometri tak hingga. Pokok persoalan adalah deret
geometri tak hingga. Elemen-elemen seperti rasio, suku awal tidak nampak secara eksplisit. Jadi, untuk mendapatkannya siswa harus mampu membuat koneksi
tentang sifat persegi dan teorema phytagoras. Bila ditelaah lebih lanjut, soal ini tidaklah terlalu sukar karena yang akan dicari adalah jumlah deret tak hingga.
Unsur-unsur yang diperlukan hanyalah suku awal dan rasionya saja. Namun, untuk dapat menentukan nilai rasio dan suku awal memerlukan aktivitas
intelektual yang tinggi meliputi pemahaman konsep, wawasan pemikiran, kebebasan berfikir dan percaya diri.
D
1
A
1
D
2
D
3
C
4
C
3
B
4
D
4
A
3
A
4
B
3
C
2
C
2
B
2
B
1
A
2
2 Koneksi dengan disiplin ilmu yang lain,
Matematika sebagai suatu disiplin ilmu dapat bermanfaat baik bagi pengembangan disiplin ilmu lain, maupun dalam memecahkan permasalahan
dalam kehidupan sehari-hari, seperti yang dikatakan oleh Johanes bahwa matematika berperan sebagai ilmu pengetahuan pembantu yang ampuh bagi ilmu
pengetahuan lain terutama ilmu pengetahuan eksak. Sementara itu Hartanto juga mengatakan bahwa matematika merupakan
dasar semua ilmu pengetahuan. Dari kedua pendapat di atas nampak bahwa matematika merupakan dasar bagi pengembangan berbagai ilmu pengetahuan lain.
3 Koneksi dengan kehidupan sehari-hari.
Penerapan ilmu matematika dalam disiplin ilmu lain baik di sekolah maupun di luar sekolah. Selkirk berpendapat bahwa matematika bukan hanya
bermanfaat di luar sekolah namun juga bermanfaat di dalam sekolah karena keterkaitannya dengan mata pelajaran lain. Ibarat sebuah pohon, matematika
sebagai akar tunggang dari pohon tersebut. Menurut Sumarno, kemampuan koneksi matematika siswa dapat dilihat
dari indikator-indikator berikut
38
: 1 Mengenali representasi ekuivalen dari konsep yang sama.
2 Mengenali hubungan prosedur matematika suatu representasi ke prosedur representasi yang ekuivalen.
3 Menggunakan dan menilai keterkaitan antar topik matematika dengan keterkaitan di luar matematika.
4 Menggunakan matematika dalam kehidupan sehari-hari.
Di tingkat-tingkat kelas 10-12 kurikulum matematika hendaknya meliputi investigasi koneksi-koneksi matematis siswa sehingga siswa mampu
39
:
38
http:herdy.wordpress.com20100527kemampuan-koneksi-matematik-siswa
39
Wahyudin. Pembelajaran Dan Model-Model Pembelajaran. CV IPA ABONG. 2008
a. Memandang matematika sebagai keutuhan yang terintegrasi. b. Mengeksplorasi permasalahan dan mendeskripsikan hasil-hasil dengan
menggunkan model atatu represenatsi matematika yang bersifat grafik, numerik, aljabar, atau verbal.
c. Menggunakan suatu idea matematis untuk memecahkan masalah yang muncul dalam bidang-bbidang keilmuan lain, misalnya seni, psikologi,
sains, dan bisnis. d. Menghargai peran matematika dalam kebudayaan dan masyarakat.
Dari pernyataan di atas dapat disimpulkan, terdapat tiga tujuan koneksi matematika,
yaitu memperdalam
pamahaman siswa,
melihat hubungan
matematika pada interaksi yang kaya dan dapat menghubungkan antar topik, pelajaran lain dan kehidupan sehari-hari. Melalui instruksi yang menekankan
keterkaitan ide-ide matematika, siswa tidak hanya belajar matematika, mereka juga belajar tentang kegunaan matematika. Sehingga dalam penelitian ini
kemampuan koneksi yang akan diukur meliputi kemampuan koneksi diantara topik matematika, kemampuan koneksi antara topik matematika dengan bidang
studi ilmu lain, kemampuan koneksi matematika dengan permasalahan kehidupan sehari-hari.