tepat. Dalam proses ini dapat terjadi negosiasi. Guru perlu memberikan penekanan kepada selesaian benar yang dipilih.
8 Bila masih tidak ada selesaian yang benar, guru minta agar siswa memikirkan cara lain.
F. Materi Ajar
Materi mengenai Teorema Pythagoras berdasarkan standar isi untuk satuan pendidikan dasar dan menengah matematika yang disusn oleh Badan Standar
Nasional Pendidikan tahun 2006.
Tabel 2.1. Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar SMP
Standar Kompetesi Kompetensi Dasar
Geometri dan Pengukuran 3.
Menggunakan Teorema Pythagoras dalam pemecahan masalah
3.1 Menggunakan Teorema
Pythagoras untuk menentukan panjang segitiga siku-
siku 3.2 Memecahkan masalah pada bangun
datar yang berkaitan dengan Teorema Pythagoras
1. Teorema Pythagoras Menurut Dewi Nurharini dan Tri Wahyuni 2008 : 120, Teorema
Pythagoras berbunyi “Untuk setiap segitiga siku-siku, berlaku kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi siku-siku.“
Menurut Nuniek Avianti Agus 2007 : 92 menyatakan bahwa Teorema Pythagoras berbunyi “Kuadrat sisi miring suatu segitiga siku-
siku adalah sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi-sisi yang lain.” Menurut Sukino dan Wilson Simangunsong 2007 : 174 Teorema
Pythagoras berbunyi “Pada sebuah segitiga siku-siku selalu berlaku
kuadrat dari sisi terpanjang sama dengan jumlah kuadrat dari dua sisi lainnya.”
Dari ketiga pernyataan tersebut dapat ditarik garis besar bahwa Teorema Pythagoras berbunyi : “Pada setiap segitiga siku-siku berlaku
kuadrat sisi terpanjang atau sisi miring hypotenusa sama dengan jumlah kuadrat dari dua sisi lainnya yang membentuk sudut siku-siku.”
2. Membuktikan Teorema Pythagoras Ada banyak cara untuk membuktikan Teorema Pythagoras. Berikut ini
adalah dua cara pembuktian Teorema Pythagoras Sukino dan Wilson Simangunsong, 2007.
Bukti 1 Perhatikan gambar berikut ini.
Gambar 2.1 Bukti I Teorema Pythagoras
Dari gambar di atas, dengan menghitung banyak persegi kecil nampak bahwa luas persegi merah adalah jumlah dari luas persegi biru dan luas
persegi hijau, sehingga terdapat hubungan antara sisi-sisi segitiga dengan luas persegi. Dengan demikian ada pula hubungan antara sisi-sisi segitiga
dengan sisi persegi biru, sisi persegi hijau, dan sisi persegi merah. Secara matematis dapat ditulis :
25 = 9 + 16 ⇔ 5 = 3 + 4
Bukti 2 Perhatikan gambar berikut.
i ii
Gambar 2.2 Bukti II Teorema Pythagoras
Dari persegi dengan panjang sisi + dibuat empat segitiga siku-siku
yang identik seperti pada gambar 2.2 i. = 4 ×
+ Dari persamaan luas persegi luar di atas yang dimaksud dengan persegi
dalam merupakan bangun belah ketupat yang masing-masing panjang sisinya sama, yaitu .
Berikut ini merupakan bukti bahwa belah ketupat dengan masing-masing sisi
merupakan persegi dengan panjang masing-masing sisi :
Perhatikan gambar 2.2 ii. Berdasarkan sifat segitiga, maka
+ + = 180° Karena sudut
merupakan sudut siku-siku, sehingga = 90°. Dengan
demikian + + 90° = 180° ⇔ + = 180° − 90° ⇔ + = 90°.
Sedangkan berdasarkan definisi sudut pelurus maka + +
= 180° ⇔ + 90° = 180° ⇔ = 90°
Berdasarkan sifat belah ketupat, karena salah satu sudutnya 90° maka belah ketupat pada gambar 2.2 adalah persegi dengan masing-masing sisi
adalah . Kembali pada bukti II Teorema Pythagoras, dengan menjabarkan luas
persegi, diperoleh : =
ℎ ×
= 4 × +
+ + = 4 +
+ 2 +
= 2 +
+ =
Teorema Pythagoras Dari persamaan di atas diperoleh hubungan antara
, , dan
yang merupakan sisi-sisi segitiga siku-siku, dengan c sebagai sisi miring serta a
dan b merupakan sisi-sisi tegak segitiga. 3. Kebalikan Teorema Pythagoras
Menurut Sukino dan Wilson Simangunsong 2007 : 192 Kebalikan Teorema Pythagoras berbunyi “Apabila kuadrat sisi terpanjang
dalam sebuah segitiga sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya maka segitiga itu disebut segitiga siku-siku, dengan sudut siku-siku berada di
hadapan sisi terpanjang sisi miring hypotenusa.” Menurut Dewi Nurharini dan Tri Wahyuni 2008 : 123, Kebalikan
Teorema Pythagoras menyatakan bahwa “Untuk setiap segitiga jika jumlah kuadrat panjang dua sisi yang saling tegak lurus sama dengan
kuadrat panjang sisi miring maka segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku.”
Dalam notasi matematika, sebuah segitiga dapat pula dicirikan sebagai berikut Sukino dan Wilson Simangunsong, 2007 : 193 :
i. Jika pada
∆ berlaku
= +
maka ∆
segitiga siku-siku di
ii. Jika pada ∆
berlaku =
+ maka
∆ segitiga siku-siku
di iii. Jika pada
∆ berlaku
= +
maka ∆
segitiga siku-siku di
iv. Jika pada ∆
berlaku +
maka ∆
segitiga lancip v. Jika pada
∆ berlaku
+ maka
∆ segitiga tumpul
4. Tripel Pythagoras Tripel Pythagoras adalah kelompok tiga bilangan bulat positif yang
memenuhi kuadrat bilangan terbesar sama dengan jumlah kuadrat dua bilangan lainnya Dewi Nurharini dan Tri Wahyuni, 2008 : 126.
Secara umum terdapat dua jenis Tripel Pythagoras Al. Krismanto dan Sumardyono, 2009 : 10. Pertama, Tripel Pythagoras Primitif atau
Tripel Pythagoras Dasar yaitu Tripel Pythagoras yang semua bilangannya memiliki FPB faktor persekutuan terbesar sama dengan 1. Ini artinya
Tripel Pythagoras Primitif tidak dapat disederhanakan lagi menjadi bilangan-bilangan bulat yang lebih kecil dengan perbandingan yang sama.
Jenis kedua adalah Tripel Pythagoras yang bukan termasuk Tripel
Pythagoras Primitif yang disebut Tripel Pythagoras Non-Primitif. Tripel Pythagoras Non-Primitif dapat diperoleh antara lain dengan mengalikan
setiap unsur pada Tripel Pythagoras Primitif dengan bilangan asli ≥ 2.
Untuk memperoleh Tripel Pythagoras dapat digunakan aturan : i.
Tetapkan dua bilangan asli m dan n yang memenuhi m n ii. Hitunglah masing-masing nilai-nilai :
− ,
2 , dan
+ iii. Hasil dari perhitungan nilai :
− ,
2 , dan
+ merupakan
Tripel Pythagoras. 5. Penerapan Teorema Pythagoras
Dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali masalah-masalah yang dapat dipecahkan menggunakan
Teorema Pythagoras. Berikut ini
merupakan contoh penerapan Teorema Pythagoras dalam kehidupan sehari-hari Nuniek Avianti Agus, 2008 : 102 :
Perhatikan gambar di samping. Sebuah tangga bersandar pada tembok dengan posisi seperti
pada gambar. Jarak antara kaki tangga dengan tembok 2 meter dan jarak antara tanah dan
ujung atas tangga 8 meter. Hitunglah panjang tangga
Jawab : Langkah pertama adalah dengan menggambarkan apa yang diceritakan
dalam soal. Gambar 2.3 menunjukkan sebuah segitiga siku-siku yang
memiliki panjang jarak antara tanah ke ujung atas tangga 8 meter,
Gambar 2.3 Tangga
panjang jarak dari kaki tangga ke tembok 2 meter, dan
dimisalkan tangga yang hendak dicari panjangnya.
Gambar 2.4 Sketsa tangga
Langkah kedua, menggunakan Teorema Pythagoras sehingga berlaku hubungan :
= +
= 2 + 8 = 4 + 64
= 68 = √68
= √4 × 17 = √4 × √17
= 2√17 Jadi panjang tangga adalah
2√17 meter.
G. Kerangka Berpikir
