Materi Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

F. Materi Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Pada kurikulum 2013 disebutkan bahwa mata pelajaran matematika pada satuan pendidikan SMPMTs kelas VII meliputi aspek bilangan, aljabar, geometri dan pengukuran, statistika dan peluang. Aljabar untuk SMP kelas VII membahas tentang persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel yang berkaitan dengan kalimat tertutup, kalimat terbuka, konsep persamaan linear satu variabel, konsep pertidaksamaan linear satu variabel. Materi aljabar yang dipelajari oleh siswa kelas VII SMP mengenai persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel, meliputi: 1. Kalimat a Kalimat tertutup Kalimat tertutup atau pernyataan menurut Haningki 1989: 9 adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Kalimat yang bernilai benar adalah kalimat yang sesuai dengan keadaan sebenarnya atau kenyataan. Kalimat yang bernilai salah adalah kalimat yang tidak sesuai dengan keadaan yang sebenarnya atau kenyataan. Contoh kalimat bernilai benar: 1 Hasil penjumlahan dari delapan dan enam adalah empatbelas. 2 1 jam adalah 60 menit. Contoh kalimat bernilai salah: 1 Hasil perkalian bilangan ganjil dengan bilangan genap adalah bilangan ganjil. 2 Bilangan prima selalu bilangan ganjil. b Kalimat terbuka Kalimat terbuka menurut Haningki 1989: 15 adalah kalimat yang belum diketahui nilai kebenarannya benar atau salah. Contoh kalimat terbuka: 1 × kurang dari 20, y adalaha bilangan cacah. 2 + = Dari contoh 1 dan 2 belum dapat ditentukan bernilai benar atau salah, karena pengganti y dan x belum diketahui. Jika kedua lambang tersebut diganti dengan sembarang bilangan maka dapat diketahui kedua kalimat tersebut bernilai benar atau salah. Misalnya, jika lambang x pada contoh 2 diganti dengan 6, maka kalimat tersebut bernilai benar. Jika lambang x diganti dengan angka yang lain, maka kalimat tersebut bernilai salah. Pada contoh 1 dan 2, lambang-lambang seperti y dan x disebut variabel. Angka 3 dan 9 pada persamaan + = disebut konstanta. Variabel atau peubah menurut Cholik 2014: 262 adalah lambang pengganti bilangan yang belum diketahui nilainya. Sedangkan, konstanta adalah suku yang berupa bilangan tanpa memuat variabel. Koefisien adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar. Pengganti variabel pada kalimat terbuka yang mengakibatkan kalimat terbuka bernilai benar disebut penyelesaian. 2. Kesamaan dan Persamaan a Pengertian kesamaan Kesamaan menurut Cholik 2014: 265 adalah pernyataan atau kalimat tertutup yang dihubungkan dengan tanda sama dengan “=”. Contoh: 1 − = + − 2 − = − + b Pengertian persamaan Persamaan menurut Haningki 1989: 15 adalah kalimat terbuka yang memuat tanda sama dengan “=”. Karena persamaan merupakan kalimat terbuka, maka persamaan belum diketahui nilai kebenarannya benar atau salah Contoh: 1 − = 2 + = 3. Persamaan Linear Satu Variabel a Pengertian persamaan linear satu variabel Persamaan linear satu variabel menurut Cholik 2014: 264 adalah persamaan dengan satu variabel berpangkat satu atau berderajat satu. Bentuk umum persamaan linear satu variabel adalah + = , dengan ≠ . Contoh: 1 + = x adalah variabel, − adalah konstanta sebab + = diubah ke bentuk umum persamaan menjadi ⇔ + − = − ⇔ − = . Sedangkan koefisen dari x adalah 1. Koefisien 1 biasanya tidak perlu ditulis. 2 − = y adalah variabel, − dan 5 adalah konstanta, sedangkan 2 adalah koefisien dari y. b Menentukan penyelesaian dan himpunan penyelesaian persamaan linear satu variabel Penyelesaian persamaan linear satu variabel menurut Cholik 2014: 264 adalah pengganti variabel dalam suatu persamaan yang mengakibatkan persamaan linear satu variabel tersebut menjadi bernilai benar. Himpunan penyelesaian dari suatu persamaan linear satu variabel adalah himpunan seluruh penyelesaian persamaan linear satu variabel yang mungkin. Terdapat dua cara untuk menentukan penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari persamaan linear satu variabel, yaitu subtitusi dan mengubah persamaan ke persamaan lain yang ekuivalen. Menyelesaikan persamaan linear satu variabel dengan cara subtitusi menurut Cholik 2014: 266 yaitu, menyelesaikan persamaan dengan cara mengganti variabel dengan bilangan yang ditentukan, sehingga persamaan tersebut bernilai benar. Contoh: tentukan penyelesaian dari + = , jika variabel berupa bilangan bulat. Jawab: Untuk = , maka + = kalimat bernilai salah Untuk = , maka + = kalimat bernilai salah Untuk = , maka + = kalimat bernilai salah Untuk = , maka + = kalimat bernilai benar Untuk = , maka + = kalimat bernilai salah Jadi penyelesaian dari + = adalah 3, sedangkan = , = , dan = bukan penyelesaian dari persamaan + = . Cara yang paling sederhana dalam menyelesaikan persamaan linear satu variabel dengan mengubah persamaan ke persamaan lain yang ekuivalen dan lebih sederhana, sehingga diperoleh variabel di salah satu ruas persamaan, dan sebuah konstanta di ruas yang lain. Persamaan yang ekuivalen dapat terbentuk dengan menambahkanmengurangi, atau mengalikan masing-masing ruas persamaan dengan bilangan yang sama. Selain itu, dapat terbentuk dengan membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan bukan nol yang sama. Dua pertidaksamaan dengan variabel yang sama dikatakan ekuivalen bila kedua pertidaksamaan tersebut mempunyai himpunan penyelesaian yang sama dan dinotasikan dengan tanda “⟺”. Contoh 1: tentukan penyelesaian persamaan + = . Jawab: + = ⟺ + − = − ⇔ = Penyelesaiannya adalah 3. Contoh 2: tentukan penyelesaian persamaan − = Jawab: − = ⇔ − + = + ⇔ = ⇔ . = . ⇔ = ⇔ = Penyelesaiannya adalah 8. c Menyelesaikan persamaan linear satu variabel yang memuat bilangan pecahan Menyelesaikan persamaan linear satu variabel yang memuat bilangan pecahan dapat diselesaikan dengan cara yang sama dengan persamaan linear satu variabel yang memuat bilangan bulat. Langkah pertama penyelesaian persamaan yang memuat bilangan pecahan, yaitu mengubah bilangan pecahan menjadi bilangan bulat. Hal tersebut dapat dilakukan dengan mengalikan kedua ruas dengan KPK Kelipatan Persekutuan Terkecil dari penyebut-penyebut bilangan pecahan tersebut. Setelah persamaan tidak lagi memuat bilangan pecahan, persamaan dapat diselesaikan dengan cara subtitusi, atau mengubah persamaan ke persamaan lain yang ekuivalen. Contoh: tentukan himpunan penyelesaian + = , x anggota himpunan bilangan bulat. Jawab: + = ⇔ + = kedua ruas dikalikan dengan KPK dari 4 dan 2 ⇔ + = sifat distribusi perkalian terhadap penjumlahan ⇔ + = ⇔ + − = − ⇔ = Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {26}. d Penerapan persamaan linear satu variabel pada soal cerita Pada kehidupan sehari-hari, banyak masalah yang dapat diselesaikan menggunakan persamaan linear satu variabel. Masalah tersebut biasanya berbentuk soal cerita. Untuk menyelesaikan soal cerita, terlebih dahulu perlu dibuat kalimat matematika berdasarkan informasi yang terdapat pada soal atau disebut dengan model matematika. Model matematika diperoleh dengan memisalkan besaran yang belum diketahui dengan sebuah variabel. Cholik 2014: 275 mengungkapkan langkah-langkah berikut dapat membantu mempermudah menyelesaikan soal cerita: i. Buatlah diagram sketsa berdasarkan kalimat cerita tersebut, misalnya untuk soal yang berhubungan dengan geometri. ii. Memisalkan besaran yang belum diketahui dengan sebuah variabel. iii. Menerjemahkan kalimat cerita menjadi model matematika bentuk persamaan. iv. Menyelesaikan persamaan tersebut dan menjawab sesuai yang ditanyakan. Contoh: Jumlah dua bilangan ganjil berurutan adalah 36. Tentukan bilangan kedua, jika bilangan pertama adalah n dan susunlah persamaan dalam n dan selesaikanlah Jawab: misalkan bilangan pertama = n maka bilangan kedua = + Bilangan I + bilangan II = 36 + + = ⟺ + + = ⟺ + = ⟺ + − = − ⟺ = ⟺ . = . ⟺ = Jadi bilangan kedua adalah + dan n adalah 17 4. Ketidaksamaan dan Pertidaksamaan a Pengertian ketidaksamaan Ketidaksamaan menurut Murray 1987: 167 adalah pernyataan atau kalimat tertutup yang dihubungkan oleh tanda , , , atau . Contoh: 1 2 b Pengertian pertidaksamaan Pertidaksamaan menurut Haningki 1989: 15 adalah kalimat terbuka yang memuat tanda , , , atau . Karena pertidaksamaan merupakan kalimat terbuka, maka pertidaksamaan belum diketahui nilai kebenarannya benar atau salah Contoh: 1 2 − − 5. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel a Pengertian pertidaksamaan linear satu variabel Pertidaksamaan linear satu variabel menurut Cholik 2014: 278 adalah pertidaksamaan dengan satu variabel berpangkat satu atau berderajat satu. Bentuk umum pertidaksamaan linear satu variabel adalah + , , , atau , dengan ≠ . Contoh: 1 + y adalah variabel, -12 adalah konstanta, sedangkan koefisien dari y adalah sebab + diubah ke bentuk umum pertidaksamaan linear satu variabel menjadi ⇔ − − + − − ⇔ − . b Menentukan penyelesaian dan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel Penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel menurut Cholik 2014: 278 adalah pengganti variabel dalam pertidaksamaan yang mengakibatkan pertidaksamaan linear satu variabel tersebut menjadi bernilai benar. Himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan linear satu variabel adalah himpunan seluruh penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel yang mungkin. Terdapat beberapa cara untuk menentukan penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear satu variabel, yaitu subtitusi, mengubah pertidaksamaan ke bentuk pertidaksamaan lain yang ekuivalen, serta mencari terlebih dahulu penyelesaian persamaan yang diperoleh dari pertidaksamaan dengan mengganti tanda ketidaksamaan menjadi “=”. Menyelesaikan pertidaksamaan linear satu variabel dengan cara subtitusi menurut Cholik 2014: 266 yaitu, menyelesaikan pertidaksamaan dengan cara mengganti variabel dengan bilangan yang ditentukan, sehingga pertidaksamaan linear satu variabel tersebut bernilai benar. Contoh: tentukan penyelesaian dari − , jika variabel berupa bilangan bulat. Jawab: Untuk = , maka − kalimat bernilai benar Untuk = , maka − kalimat bernilai benar Untuk = , maka − kalimat bernilai salah Untuk = , maka − kalimat bernilai salah Jadi penyelesaian dari − adalah = atau = , sedangkan bukan penyelesaian dari persamaan − . Menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel dapat dilakukan dengan cara mencari dahulu penyelesaian persamaan yang diperoleh dari pertidaksamaan dengan mengganti tanda ketidaksamaan dengan tanda “=”. Contoh: Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan − − , dengan x variabel pada himpunan bilangan cacah. Jawab: Dengan mengganti tanda “” dengan “=” diperoleh persamaan − = − . Penyelesaian dari persamaan tersebut diperoleh 2. Selanjutnya ambil bilangan cacah yang kurang dari 2 dan lebih dari 2. Periksalah nilai x yang memenuhi pertidaksamaan − − . Jika x diganti 1 maka − − kalimat bernilai salah Jika x diganti 3 maka − − kalimat bernilai benar Karena nilai x yang memenuhi adalah lebih besar dari 2, maka himpunan penyelesaian dari − − adalah {3, 4, 5, ...} Cara yang paling sederhana dalam menyelesaikan pertidaksamaan linear satu variabel dengan mengubah pertidaksamaan ke bentuk pertidaksamaan lain yang ekuivalen dan lebih sederhana, sehingga diperoleh variabel di salah satu ruas persamaan, dan sebuah konstanta di ruas yang lain. Pertidaksamaan yang ekuivalen dapat terbentuk dengan menambahkanmengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama tanpa mengubah tanda ketidaksamaan, atau mengalikan membagi kedua ruas dengan bilangan positif yang sama tanpa mengubah tanda ketidaksamaan, atau mengalikanmembagi kedua ruas dengan bilangan negatif yang sama, tetapi tanda ketidaksamaan berubah. Dua pertidaksamaan dengan variabel yang sama dikatakan ekuivalen bila kedua pertidaksamaan tersebut mempunyai himpunan penyelesaian yang sama dan dinotasikan dengan tanda “⟺”. Contoh: Tentukan penyelesaian pertidaksamaan − + Jawab: − + ⟺ − − + − kedua ruas dikurang 15 ⇔ − + ⇔ − − + − kedua ruas dikurang ⇔ − ⇔ − . − − . kedua ruas dikali − , karena dikali dengan bilangan negatif tanda berubah menjadi ⇔ − c Menyelesaikan pertidaksamaan linear satu variabel yang memuat bilangan pecahan Menyelesaikan pertidaksamaan linear satu variabel yang memuat bilangan pecahan dapat diselesaikan dengan cara yang sama dengan pertidaksamaan linear satu variabel yang memuat bilangan bulat. Langkah pertama penyelesaian pertidaksamaan yang memuat bilangan pecahan dengan mengubah bilangan pecahan menjadi bilangan bulat. Hal tersebut dapat dilakukan dengan mengalikan kedua ruas dengan KPK Kelipatan Persekutuan Terkecil dari penyebut-penyebut bilangan pecahan tersebut. Setelah pertidaksamaan tidak lagi memuat bilangan pecahan, pertidaksamaan dapat diselesaikan dengan cara subtitusi, atau mengubah pertidaksamaan ke pertidaksamaan lain yang ekuivalen. Contoh: tentukan penyelesaian pertidaksamaan + , x anggota himpunan bilangan bulat. Jawab: + , ⇔ + kedua ruas dikalikan dengan KPK dari 2 dan 5 yaitu 10 ⇔ + sifat distribusi perkalian terhadap penjumlahan ⇔ + ⇔ + − − kedua ruas dikurangi 30 ⇔ − ⇔ − − − kedua ruas dikurangi ⇔ − ⇔ ÷ − ÷ kedua ruas dibagi 3 ⇔ − d Penerapan pertidaksamaan linear satu variabel pada soal cerita Pada kehidupan sehari-hari, banyak masalah yang dapat diselesaikan menggunakan pertidaksamaan linear satu variabel. Masalah tersebut biasanya berbentuk soal cerita. Untuk menyelesaikan soal cerita, terlebih dahulu perlu dibuat kalimat matematika berdasarkan informasi yang terdapat pada soal atau disebut dengan model matematika. Model matematika diperoleh dengan memisalkan besaran yang belum diketahui dengan sebuah variabel. Cholik mengungkapkan 2014: 288 langkah-langkah berikut dapat membantu mempermudah menyelesaikan soal cerita: i. Buatlah diagram sketsa berdasarkan kalimat cerita tersebut, misalnya untuk soal yang berhubungan dengan geometri. ii. Memisalkan besaran yang belum diketahui dengan sebuah variabel. iii. Menerjemahkan kalimat cerita menjadi model matematika bentuk pertidaksamaan. iv. Menyelesaikan pertidaksamaan tersebut dan menjawab sesuai yang ditanyakan. Contoh: Panjang sebuah persegi panjang 6 cm lebih dari lebarnya, dan kelilingnya kurang dari 40 cm. Jika lebarnya x cm, susunlah pertidaksamaan dalam x. Kemudian selesaikanlah1 Jawab: lebar = x cm, maka: Panjang = + Keliling = + + ⟺ + + ⟺ + + ⟺ + ⟺ + − − ⟺ ⟺ . . ⟺ Karena panjang dan lebar tidak nol dan juga tidak bernilai negatif, maka penyelesaiannya adalah .

G. Kerangka Berpikir