28
2.6.2 Dasar Teori
Seperti pada umumnya sebuah vector berorde n dapat dinyatakan melalui suatu kumpulan vector n yang berdiri sendiri. Dalam hal ini nilai vector-Eigen dihasilkan
melalui masalah nilai Eigen yang berperan sebagai vector-vektor yang menjelaskan simpangan-simpangan yang terjadi pada setiap lantai pada sebuah bangunan bertingkat.
Variabel n ini mengacu kepada derajat kebebasan DOF yang pada metode ini adalah jumlah lantai pada bangunan bertingkat Gambar 2.9 atau jumlah titik kumpul
idealisasi pada system berderajat kebebasan tunggal SDOF seperti kolom kantilever. Simpangan ini dapat didefinisikan dengan persamaan berikut;
{ }
[ ]
{ }
q q
u
m N
m m
m i
Φ =
Φ =
∑
=1
2.6 dimana {u
i
} adalah vector simpangan, {q} adalah koordinat ragam, [ Φ] adalah matrik
ector Eigen, m adalah nomor ragam getar dan i adalah nomor tingkat.
Gambar 2.9 Model struktur rangka bertingkat dengan DOF yang disederhanakan.
u
4
t
u
3
t
u
2
t
u
1
t
Universitas Sumatera Utara
29 Berikut ini adalah hubungan keseimbangan untuk system berderajat kebebasan
banyak MDOF;
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{}
t u
m u
k u
c u
m
g
ι
− =
+ +
2.7 dimana [m] adalah matriks massa, [c] adalah matriks redaman, dan [k] adalah matriks
kekakuan, sedangkan {u} adalah vector simpangan,
{ }
u
adalah vector kecepatan dan
u
adalah vector percepatan. Parameter
{}
ι
adalah vector nilai unit dan
t u
g
adalah percepatan getaran tanah yang diberikan.
Persamaan kesetimbangan dapat disederhanakan seperti berikut setelah menerapkan dekomposisi ragam getar yang diberikan pada Pers. 2.6 dan menerapkan
hubungan-hubungannya secara ortogonal; 2
2
t u
q q
g n
n n
n n
Γ
− =
+ +
ω ζω
2.8 Dimana;
[ ] [ ]{}
,
n T
n
M m
ι Φ
= Γ
dan
[ ] [ ][ ]
Φ Φ
= m
M
T n
Untuk lebih memudahkan pemahaman maka bagian sebelah kanan dari Pers. 2.7 dapat dianggap sebagai kontribusi ragam getar yang berdiri sendiri seperti
dijelaskan Chopra 2001 sebagai berikut;
[ ]
{ }
[ ]
{ }
[ ]
{ }
g N
n n
u R
u k
u c
u m
∑
=
− =
+ +
1
2.9 Dengan membagi Pers. 2.9 dengan Pers. 2.7 dan menyelesaikannya melalui
transformasi nilai ragam getar seperti yg dihasilkan pada Pers. 2.8, maka dapat ditentukan bahwa;
{ }
n n
n
m R
R Φ
Γ =
=
∑
2.10
Universitas Sumatera Utara
30 Setiap bagian dari persamaan di atas mengandung kontribusi nilai ragam getar
untuk setiap ragam getarnya. Cara lain untuk menjelaskan Pers. 2.10 adalah dengan menganggap vector beban pada bagian kanan Pers. 2.7 seperti berikut ini;
{ }{} { }
t f
R u
m
g
=
ι
2.11 dimana {R} adalah vector distribusi beban. Untuk fungsi pembebanan yang umum
{pt}={r}ft, vektor {r} adalah vector transformasi simpangan yang dihasilkan akibat
adanya satu unit simpangan pada bagian perletakan. Pada pembebanan akbat gempa hal ini dapat disederhanakan menjadi sebuah vector dengan nilai-nilai per unit.
Pemmbebanan dari luar tentunya dapat divariasikan sebagai sebuah fungsi waktu dalam hal amplitude dan distribusi ruang spatial distribution. Tujuan menguraikan
persamaan dalam bentuk seperti Pers. 2.11 adalah untuk memisahkan distribusi ruang dari fungsi amplitude yang bervariasi terhadap waktu. Konsep ini dijelaskan secara
lebih mendalam pada banyak buku-buku dinamika seperti Chopra, 2001. Langkah berikutnya adalah memasukkan kondisi pembebanan gempa. Karena
prosedur ini merupakan prosedur analisa static maka bentuk pembebanan gempa yang dapat dianggap paling layak adalah bentuk spectrum respon. Distribusi gaya-gaya
lateral yang akan digunakan di dalam analisa static tidak linear dapat didekati dalam bentuk kontribusi ragam getar puncak peak modal contributions seperti berikut ini;
{ } [ ]{ }
n n
a n
n n
T S
m f
, ζ
Φ Γ
= 2.12
di mana S
a
adalah spectrum percepatan untuk pembebanan gempa pada sebuah perioda T dan rasio redaman
ζ pada ragam getar ke-n. Gaya-gaya modal yang didapat dengan menggunakan Pers. 2.12 hanya akan
menjelaskan kontribusi-kontribusi sampai ke ragam getar ke-n. Pers. 2.12 mewakili bentuk vector gaya lateral yang sangat umum yang akan dipakai dalam analisa static
tidak linear. Jika n=1, maka hanya kontribusi ragam getar pertama yang ditinjau. Untuk memahami konsep spectrum kapasitas adalah perlu untuk meninjau
kembali Pers. 2.6 sampai 2.8 dengan menyelesaikannya menggunakan prosedur analisa ragam getar biasa. Respon puncak sebuah sistem SDOF yang dibebani sebuah
Universitas Sumatera Utara
31 getaran gempadapat diperoleh melalui sebuah spectrum respon getaran gempa. Pers.
2.8 menjelaskan satu set ragam getar n pada sistem SDOF yang mana setiap ekspresi persamaan memberikan jawaban terhadap sebuah ragam getar tertentu. Respon total
diperoleh melalui transformasi yang terdapat pada Pers. 2.6. Dengan menganggap S
d
ζ
n
, ω
n
sebagai simpangan maksimum dari sebuah sistem SDOF dengan frekuensi
ω
n
dan rasio redaman ζ
n
, yang dibebani getaran gempa t
u
g
, respon simpangan puncak dari system pada Pers. 2.8 diberikan oleh;
{ }
n
n d
n n
S q
ω
ζ
, max
Γ =
2.13 Simpangan puncak pada setiap tingkat lantai dapat diperoleh dengan Pers. 2.6 seperti
berikut ini;
Φ Φ
Φ Γ
+ +
Φ Φ
Φ Γ
+
Φ Φ
Φ Γ
=
nn n
n d
n n
d n
d n
n n
S S
S u
u u
2
, 22
, 21
,
1
2 12
2 2
2 1
11 1
1 1
max 2
1
ω ζ
ω ζ
ω ζ
2.14
Persamaan di atas mengandung kontribusi-kontribusi yang terdapat pada semua ragam getar. Dengan menganggap hanya simpangan puncak pada sebuah DOF tertentu
yang diperlukan, contohnya jika DOF ke-n adalah level atap level tertinggi sebuah struktur, dan hanya kontribusi ragam getar pertama yang ditinjau, maka persamaan
berikut akan diperoleh;
1 1
, 1
1 max
, n
d n
S u
Φ Γ
= ω
ζ 2.15
Persamaan ini dipakai untuk mengubah simpangan atap, hasil dari sebuah analisa static tidak linear, menjadi spectrum simpangan ragam getar pertama di dalam
prosedur spectrum kapasitas.Untuk membentuk spectrum percepatan ragam getar pertama ekivalen maka simpangan puncak dapat diperoleh melalui persamaan-
persamaan berikut;
{ } [ ]{ }
max 2
max n
n n
u m
f ω
= 2.16
Universitas Sumatera Utara
32
{ } [ ]
[ ]
Φ Γ
=
n n
d n
n n
S m
f ω
ζ ω
, 2
max
2.17 { }
{ }
[ ]
Φ Γ
= m
S f
n n
a n
n
ω ζ
,
max
+
Φ Φ
Γ +
Φ Φ
Γ =
2 2
2 12
1 2
2 2
2 11
1 1
1
, 21
,
1
m m
S m
m S
a a
ω ζ
ω ζ
2.18
Jika hanya kontribusi ragam getar pertama yang ditinjau maka
{ }
Φ Φ
Γ =
21
,
2 11
1 1
1 max
1
m m
S f
a n
ω ζ
2.19
Gaya geser dasar V
b
diperoleh dengan menjumlahkan gaya-gaya geser tingkat, maka kontribusi ragam getar pertama terhadap gaya geser dasar diberikan melalui
persamaan berikut ini;
1 1
1 1
,
1
i n
i i
a b
m S
V Φ
Γ =
∑
=
ω ζ
2.20
2.6.3 Prosedur Perhitungan Analisa Pushover
Kategori