4. Berprestasi dalam belajar
a. Keinginan untuk berprestasi
b. Kualifikasi hasil
5. Mandiri dalam belajar
a. Penyelesaian tugas
b. Menggunakan kesempatan diluar jam pelajaran
E. Transformasi
Menurut Frank M. Eccles 1971: 12 transformasi pada bidang adalah fungsi korespondensi satu-satu dari kumpulan titik pada bidang terhadap titik di bidang
itu sendiri. Berdasarkan definisi tersebut maka dapat dipahami bahwa bidang tersebut merupakan daerah asal dan daerah hasil dalam fungsi.
Jenis-jenis transformasi ada empat, yaitu translasi pegeseran, refleksi pencerminan, rotasi perputaran, dan dilatasi perkalian.
1. Translasi Pergeseran
Translasi adalah perpindahan atau pergeseran bangun geometri termasuk titik dan garis dalam jarak dan arah yang tertentu. Suatu
persamaan G dinamakan suatu geseran apabila ada ruas garis berarah
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
sehingga titik P pada bidang menjadi
′
dengan = ′ dan
′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
=
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Jika titik A x,y digeser atau ditranslasi sejauh T a,b maka posisi akhir titik A adalah A′ x+a, y+b. Secara matematis, konsep translasi
dituliskan sebagai berikut. Misalkan x,y,a, dan b adalah bilangan real, translasi titik A x,y
dengan T a, b menggeser absis x sejauh a dan menggeser ordinat y sejauh b, sehingga diperoleh titik A x+a, y+b. Secara notasi translasi
dilambangkan dengan
Ax, y A x+a, y+b
Nilai + pada a menunjukkan pergeseran ke arah sumbu X positif, sedangkan nilai - menunjukkan pergeseran ke arah sumbu X negatif.
Nilai + pada b menunjukkan pergeseran ke arah sumbu Y positif, sedangkan nilai - menunjukkan pergeseran ke arah sumbu Y negatif.
Berikut adalah sifat-sifat pergeseran atau translasi.
a Bangun yang digeser ditranslasikan tidak mengalami perubahan
bentuk dan ukuran.
Contoh dalam soal:
a Tentukan bayangan dari titik
, yang di translasikan terhadap − , .
Penyelesaian: Ta, b
Diketahui : Titik , dan translasi − ,
Ditanya : ′
Jawab : Dengan menggunakan rumus translasi menjadi
′ ′
,
′
= + , +
⟺
′ ′
,
′
= + − , +
⟺
′
= , b
Tentukan hasil translasi sebuah garis −
+ = terhadap − , −
Diketahui : Persamaan garis −
+ = dan translasi T − , −
Ditanya : Hasil translasi
Jawab :
Misal , dan diketahui translasi − , − maka diperoleh
nilai dari
′ ′
,
′
= − , − . Dari nilai
′
tersebut dapat diperoleh:
′
= − ⟺ =
′
+ ⇢
′
= − ⟺ =
′
+ ⇢ Dari persamaan 1 dan 2 disubstitusikan ke persamaan
garis −
+ = menjadi:
′
+ −
′
+ + =
⇔
′
+ −
′
− + = PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
⇔
′
−
′
+ = Jadi, hasil dari translasi garis
− + = terhadap − , −
adalah −
+ =
2. Refleksi Pencerminan Sumbu Simetri
Menurut B Susanta 1990: 48, banyak benda yang memiliki sumbu simetri sehingga satu bagian akan bersimetri dengan bagian lain terhadap
garis tersebut. Definisi dari pencerminan terhadap garis M
s
harus memenuhi: a Untuk B x,y pada garis s maka M
s
B = B; b Untuk A x,y di luar garis s maka M
s
A = A′ sedemikian sehingga s adalah sumbu simetri
AA′. Sumbu simetri
′
̅̅̅̅̅
adalah garis yang membagi dua sama ′
̅̅̅̅̅
dan tegak lurus padanya dalam arti lain tempat kedudukan titik yang sama
jauhnya dari A dan A′. Maka dari itu garis s disebut sumbu pencerminan.
Suatu pencerminan akan tunggal jika sumbunya telah ditentukan.
Sifat sifat pada refleksi:
1 Bangun Objek yang dicerminkan refleksi tidak mengalami
perubahan bentuk dan ukuran. 2
Jarak bangun objek dari cermin cermin datar adalah sama dengan jarak bayangan dengan cermin tersebut.
Rumus pencerminan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 2.1 Refleksi titik Px, y terhadap garis s
Misalkan :
+ + = ,
bila
′
= dan
, ; ′
′
,
′
dengan P di luar , maka harus memenuhi:
i. ′
̅̅̅̅̅
tegak lurus , maka
′
−
′
−
= ⟺
′
− =
−
′
⟺ −
′
+
′
= − + dikalikan -1 menjadi,
⟺
′
−
′
= −
⇢ ii.
Titik tengah P pada s menjadi titik tengah ′
̅̅̅̅̅
yaitu =
′
+
dan =
′
+
. Selanjutnya disubstitusikan ke persamaan garis s menjadi:
: +
+ = ⟺
′
+
+
′
+
+ = ⟺
′
+
+
′
+
+ = ⟺
′
+ +
′
+ +
= ⟺
′
+ +
′
+ +
= ⟺
′
+
′
= − − − ⇢
Dari 1 dan 2 dapat diselesaikan hingga memeroleh ′ dan ′.
Penyelesaian: Mencari nilai
′ Model eliminasi:
′
−
′
= −
⇢ , dikalikan dengan
′
+
′
= − − −
⇢ , dikalikan dengan b
Menjadi,
′
−
′
= −
⇢
′
+
′
= − − −
⇢ _
−
′
−
′
= −
− − −
− ⟺ − −
′
= −
+ +
+
⟺
′
=
− +
+ +
− −
⟺
′
=
+ − + +
− −
dikalikan dengan -1, menjadi: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
⟺
′
=
− −− + −
+
⟺
′
=
− + − −
+
Mencari nilai ′
Model eliminasi:
′
−
′
= −
⇢ , dikalikan dengan
′
+
′
= − − −
⇢ , dikalikan dengan
Menjadi, ′ −
′
= −
⇢
′
+
′
= − − −
⇢ +
′
+
′
= −
+ − −
− ⟺
+
′
= −
− −
− ⟺
+
′
= − −
− ⟺
′
=
− − −
+
Maka dari itu diperoleh
′
= −
− −
+
′
= −
+ −
− +
Untuk memeroleh bentuk yang lebih sederhana dapat diselesaikan dengan:
′
=
− − −
+
=
− +
−
+
−
+
=
− − −
+
=
− − −
+ −
+
=
− −
− +
− +
=
− −
− +
− +
=
+ −
− −
+
=
+ −
+ + +
= −
+ + +
′
= −
+ + +
Untuk nilai ′:
′
=
− +
− − +
⟺
− +
− −
+
⟺
− +
− −
+ −
+
⟺
− +
− −
+ −
+
⟺
− +
− +
− −
+
⟺
+ −
− −
+
⟺
+ −
+ + +
⟺ −
+ + +
′
= −
+ + +
Maka bentuk sederhana dari nilai ′ dan ′ adalah rumus umum
pencerminan:
′
= − +
+ +
′
= −
+ +
+
Untuk kasus khusus dapat menggunakan rumus umum yaitu: Untuk pencerminan terhadap sumbu x y =0:
Diketahui titik Px,y dan s: ax+by+c = 0 agar memeroleh y=0 maka nilai a = 0; b=1; c = 0. Jika disubstitusikan ke rumus umum
pencerminan maka diperoleh �
′ ′
,
′
= , −
Untuk pencerminan terhadap sumbu y x=0: Diketahui titik Px,y dan s: ax+by+c = 0 agar memeroleh x=0
maka nilai a = 1; b=0; c = 0. Jika disubstitusikan ke rumus umum pencerminan maka diperoleh
′ ′
,
′
= − , Untuk pencerminan terhadap garis y = x:
Diketahui titik Px,y dan s: ax+by+c = 0 agar memeroleh persamaan y=x maka nilai a = -1; b=1; c = 0. Jika
disubstitusikan ke rumus umum pencerminan maka diperoleh
′ ′
,
′
= , Untuk pencerminan terhadap garis y = -x:
Diketahui titik Px,y dan s: ax+by+c = 0 agar memeroleh y= - x maka nilai a = 1; b=1; c = 0. Jika disubstitusikan ke rumus
umum pencerminan maka diperoleh
′ ′
,
′
= − , − Untuk pencerminan terhadap garis x = h:
Diketahui titik Px,y dan s: ax+by+c = 0 agar memeroleh x=h maka nilai a = 1; b=0; c = -h. Jika disubstitusikan ke rumus
umum pencerminan maka diperoleh
′ ′
,
′
= ℎ − , Untuk pencerminan terhadap garis y = k:
Diketahui titik Px,y dan s: ax+by+c = 0 agar memeroleh y=k maka nilai a = 0; b=1; c = -k. Jika disubstitusikan ke rumus
umum pencerminan maka diperoleh
′ ′
,
′
= , −
Refleksi terhadap sebuah titik memiliki definisi yang lebih spesifik, dimana refleksi terhadap titik ini juga memiliki makna yang sama dengan
setengah putaran. Menurut Frank M. Eccles 1971: 60, setengah putaran atau refleksi ini dengan memberikan titik A yang adalah sebuah pemetaan
berarti untuk sebarang titik P dalam bidang berlaku:
a Jika ≠ , maka
= ′ sedemikian sehingga A adalah titik tengah dari segmen garis
′
̅̅̅̅̅ .
b =
Gambar 2.2 Refleksi titik P x, y terhadap titik A a,b
Contoh soal a.
Tentukan bayangan dari titik − , jika dicerminkan terhadap
sumbu , sumbu garis = , garis = − , garis = dan garis =
. Penyelesaian:
Titik − , dicerminkan terhadap sumbu , maka nilai
′
− , −
Titik − , dicerminkan terhadap sumbu , maka nilai
′
, PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Titik − , dicerminkan terhadap garis = , maka nilai
′
, −
Titik − , dicerminkan terhadap garis = − , maka nilai
′
− ,
Titik − , dicerminkan terhadap garis = , maka nilai
′
,
Titik − , dicerminkan terhadap garis = , maka nilai
′
− ,
b. Tentukan persamaan garis +
+ yang dicerminkan terhadap garis
=
Penyelesaian: Pencerminan terhadap garis
= , maka berlaku
′
,
′
= , , sehingga dapat ditulis menjadi
′
= atau = ′ dan
′
= atau = ′. Jika di substitusikan kedalam persamaan garis +
+ = maka menjadi:
⇔
′
+
′
+ = ⟺
′
+
′
+ = Jadi, persamaan garis yang dicerminkan terhadap garis
= adalah + + =
3. Rotasi Perputaran
