Fungsi Jarak Keantaraan LANDASAN TEORI

= | − − | = | | = D-4 Postulat aturan The Ruler Postulate. Setiap garis memiliki sistem koordinat.

2.4 Keantaraan

Titik B dikatakan berada diantara A dan C pada garis l jika titik- titik tersebut pada kondisi seperti ini : atau seperti ini : Gambar 2.4.1 Keantaraan I A B C Gambar 2.4.2 Keantaraan II C B A Definisi 2.4.1 Moise, 1990: 60 Diberikan A, B, dan C adalah tiga titik berbeda yang kolinear. Jika + = , maka B diantara A dan C. Kemudian ini dilambangkan dengan A-B-C. Teorema 2.4.1 Moise, 1990: 60 Jika A-B-C, maka C-B-A. Bukti : + = + = + = = Didapat bahwa + = . Jika + = , maka + = . Sehingga jika A-B-C, maka C-B-A. □ Lema 2.4.2 Moise, 1990: 61 Diberikan suatu garis l dengan sistem koordinat f dan tiga titik berbeda A, B, dan C pada l dengan koordinat berturut-turut x, y, dan z. Jika x-y-z, maka A-B-C. Bukti : 1 Jika , maka = | − | = − Karena − . Untuk alasan yang sama = | − | = − dan = | − | = − . Oleh karena itu + = − + − = − = | − | = Sehingga A-B-C 2 Jika . Dengan cara yang sama seperti 1 didapat C-B-A. Dengan Teorema 2.4.1 didapat A-B-C. □ Teorema 2.4.3 Moise, 1990: 61 Sembarang tiga titik berbeda pada suatu garis, ada tepat satu titik berada diantara dua titik yang lain. Bukti : 1 Diberikan f sistem koordinat untuk suatu garis dan x, y, z adalah koordinat titik-titik A , B, dan C. Satu dari bilangan x, y, dan z berada diantara dua yang lain. Dengan Lema 2.4.2, ini berarti titik A, B, atau C berada diantara dua titik yang lain. 2 Akan dibuktikan bahwa jika A-B-C, maka tidak ada diantara dua kondisi B-A-C dan A-C-B yang terpenuhi. Jika B-A-C, maka + = . Telah diberikan + = . Dengan menjumlahkannya didapat + + + = + atau = . Sehingga AB = 0. Ini tidak mungkin, sebab A ≠ B. Pembuktian untuk A-C-B tidak terpenuhi sama seperti langkah- langkah diatas. □ Teorema 2.4.4 Moise, 1990: 63 Jika A dan B sembarang dua titik, A ≠ B, maka 1 ada titik C sehingga A- B-C dan 2 ada titik D sehingga A-D-B. Bukti : Ambil suatu sistem koordinat f untuk suatu garis ⃡ yang memuat A dan B. Andaikan x, y koordinat titik A dan B, dengan x y. Diberikan = − + . Maka A-B-C, karena + . Selanjutnya, diberikan = − + Sebab x y, maka + sehingga Gambar 2.4.3 Garis Bilangan II A B D + C + + Jadi A-D-B. □ Teorema 2.4.5 Moise, 1990: 63 Jika A-B-C, maka A, B, dan C adalah tiga titik berbeda pada garis yang sama. Bukti : Berdasarkan Definisi 2.4 .1, titik A, B, dan C adalah tiga titik berbeda. □ Teorema 2.4.6 Jika A-B-C dan A-C-D, maka A-B-D. Bukti : Ambil a, b, c, d berturut-turut sebagai koordinat titik A, B, C, dan D. Karena A-B-C maka a b c atau c b a. Karena A-C-D, maka a c d atau d c a. Dari A-B-C dapat dipilih salah satu dari kondisi a b c atau c b a. Ambil a b c, didapat a c. Dari A-C-D, kondisi d c a akan kontrdiksi dengan a c, sehingga diambil a c d. Telah diambil a b c dan a c d, sehingga didapat a b c d. Akibatnya a b d. Berdasarkan Lema 2.4.2 karena a-b-d, maka A-B- D.□

2.5 Segmen, Sinar, Sudut, dan Segitiga

Definisi 2.5.1 Moise, 1990: 64 Jika A dan B adalah dua titik, maka segmen ̅̅̅̅ adalah himpunan yang memuat A dan B, bersama dengan semua titik diantara A dan B. Definisi 2.5.2 Moise, 1990: 65 Sinar didefinisikan sebagai himpunan semua titik C pada garis ⃡ sehingga A tidak diantara B dan C. Sinar juga dapat didefinisikan Gambar 2.5.1 Segmen Garis A B ̅̅̅̅ ⃡ A B C D Gambar 2.4.4 Ilustrasi Teorema 2.4.6 sebagai gabungan dari 1 segmen ̅̅̅̅ dan 2 himpunan semua titik C sehingga A-B-C. Titik A disebut titik pangkal dari sinar . Definisi 2.5.3 Moise, 1990: 65 Sudut adalah gabungan dari dua sinar yang memiliki titik pangkal yang sama, tetapi dua sinar tersebut tidak pada garis yang sama. Jika suatu sudut adalah gabungan dari dan , maka sinar-sinar tersebut disebut sisi dari sudut. Titik A disebut titik sudut. Sudut tersebut disimbolkan dengan ∠ . Catatan ∠ = ∠ . Gambar 2.5.3 Sudut A B C A B Gambar 2.5.2 Sinar Garis Definisi 2.5.4 Moise, 1990: 65 Jika A, B, dan C adalah tiga titik yang tidak segaris, maka himpunan ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ disebut segitiga. Segmen ̅̅̅̅, ̅̅̅̅, dan ̅̅̅̅ disebut sisi. Titik A, B, dan C disebut titik sudut. Segitiga dengan titik sudut A, B, dan C dilambangkan dengan ∆ABC. Sudut-sudut ∆ adalah ∠ , ∠ , dan ∠ . Tetapi ∆ tidak memuat ketiga sudut tersebut, karena sisi suatu sudut adalah sinar dan sisi segitiga adalah segmen. Jika semua sudut digambar, maka gambarnya akan terlihat seperti gambar berikut. A B C ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Gambar 2.5.4 Segitiga