Maka −
, untuk .
2-1
Pertidaksamaan 2-1 terpenuhi untuk dan ruas kanan akan sangat
kecil apabila n cukup besar. Sehingga didapat −
. Oleh karena itu
. □
Teorema 2.11.2 Moise, 1990: 155
Pada sembarang segiempat Saccheri □
dengan sisi bawah ̅̅̅̅, maka
∠ ∠
. Bukti :
Dari Definisi 2.11.1 diketahui bahwa =
. Andaikan ∠
∠ . Dengan Teorema 2.10.4 didapat
dan ini kontradiksi dengan Teorema 2.11.1. Jadi
∠ ∠
. □
A B
D C
Gambar 2.11.3 Segiempat Saccheri III
Teorema 2.11.3 Moise, 1990: 155
Jika ∆
memiliki sudut siku-siku di A, maka ∠ + ∠
.
Bukti : Ambil titik C sehingga
□ adalah segiempat Saccheri.
Maka ∠ + ∠ =
,
Karena ∠
adalah sudut siku-siku. Dengan Teorema 2.11.2 didapat ∠
∠ .
Oleh karena itu − ∠
∠ , sehingga ∠ + ∠ .
□ A
B
D C
1
2 3
Gambar 2.11.4 Ilustrasi Teorema 2.11.3
Teorema 2.11.4 Moise, 1990: 157
Dalam sembarang ∆
, ∠ + ∠ + ∠
.
Bukti : Andaikan ̅̅̅̅ adalah sisi terpanjang dari
∆ dan ̅̅̅̅ adalah garis tinggi
dari B ke ̅̅̅̅, sehingga A-D-C.
∠ + ∠
dan ∠
+ ∠ .
Oleh karena itu ∠ + ∠
+ ∠ + ∠
.
Karena ∠
+ ∠ = ∠ , maka
Gambar 2.11.5 Ilustrasi Teorema 2.11.4
A B
C D
∠ + ∠ + ∠ .
□
2.12 Fungsi Kritis
Pada sub bab ini akan dibahas mengenai garis-garis sejajar dan sudut kesejajaran pada geometri hiperbolik. Untuk itu selanjutnya akan
diberikan postulat kesejajaran hiperbolik yang juga sering disebut postulat kesejajaran Lobachevsky. Pada sub bab ini juga disisipkan materi pada
analisis real, yaitu menegenai supremum dan infimum.
Postulat 2.12.1 Postulat Kesejajaran Lobachevsky The Lobachevskian
Parallel Postulate Moise, 1990: 139 Diasumsikan suatu garis l dan suatu titik P yang tidak pada l, paling tidak
ada dua garis
′
, ′′ yang memuat P dan sejajar dengan l.
Gambar 2.12.1 Supremum dan Infimum
inf sup
batas bawah S batas atas S
S
Definisi 2.12.1 Bartle Sherbert, 2011: 37
Diberikan S suatu himpunan bagian tak kosong dari ℝ.
1 Himpunan S dikatakan terbatas ke atas jika ada suatu bilangan
ℝ sehingga untuk semua
. Setiap bilangan disebut batas atas dari .
2 Himpunan S dikatakan terbatas ke bawah jika ada suatu bilangan
ℝ sehingga untuk semua
. Setiap bilangan disebut batas bawah dari .
Definisi 2.12.2 Bartle Sherbert, 2011: 37
Diberikan S suatu himpunan bagian tak kosong dari ℝ.
1 Jika S terbatas ke atas, maka suatu bilangan dikatakan supremum
atau batas atas terkecil dari S jika memenuhi kondisi berikut : a
adalah batas atas S, dan b
jika sembarang batas atas S, maka . Ditulis
= sup . 2
Jika S terbatas ke bawah, maka suatu bilangan dikatakan
infimum atau batas bawah terbesar dari S jika memenuhi kondisi berikut :
a adalah batas bawah S, dan
b jika sembarang batas bawah S, maka
. Ditulis =
inf .
Diberikan garis l dan titik P yang tidak pada l. Ambil A pada l sehingga ̅̅̅̅
⊥ , dan B titik lain pada l. Untuk setiap bilangan r diantara 0 dan 180 ada tepat satu sinar , dengan D pada pihak yang sama dengan
B terhadap ⃡ , sehingga ∠
= .
Tentu saja untuk beberapa r, akan memotong . Sebagai contoh ambil
= ∠ . Untuk
, tidak akan memotong .
Definisi 2.12.3 Moise, 1990: 371
Diberikan � = { | akan memotong }
A B
P
C E
D
Gambar 2.12.2 Garis Sejajar Pada Geometri Hiperbolik
