Segmen, Sinar, Sudut, dan Segitiga

Definisi 2.5.4 Moise, 1990: 65 Jika A, B, dan C adalah tiga titik yang tidak segaris, maka himpunan ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ disebut segitiga. Segmen ̅̅̅̅, ̅̅̅̅, dan ̅̅̅̅ disebut sisi. Titik A, B, dan C disebut titik sudut. Segitiga dengan titik sudut A, B, dan C dilambangkan dengan ∆ABC. Sudut-sudut ∆ adalah ∠ , ∠ , dan ∠ . Tetapi ∆ tidak memuat ketiga sudut tersebut, karena sisi suatu sudut adalah sinar dan sisi segitiga adalah segmen. Jika semua sudut digambar, maka gambarnya akan terlihat seperti gambar berikut. A B C ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Gambar 2.5.4 Segitiga Teorema 2.5.1 Moise, 1990: 66 Diberikan titik A dan titik B sembarang titik yang berbeda, maka ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅. Bukti : Diketahui A dan B sembarang titik berbeda. Dari Definisi 2.5.1, segmen ̅̅̅̅ adalah himpunan titik A dan titik B, bersama dengan semua titik X, sehingga A-X-B. Dapat ditulis ̅̅̅̅ = {A B X′ | X′ adalah himpunan semua titik X sehingga A-X-B} Segmen ̅̅̅̅ adalah himpunan titik B dan titik A, bersama dengan semua titik X, sehingga B-X-A. Dapat ditulis ̅̅̅̅ = {B A X′ | X′ adalah himpunan semua titik X sehingga B-X-A} Teorema 2.4.1 menjamin bahwa untuk setiap titik X, jika A-X-B maka B- X-A. Sehingga, ̅̅̅̅ = {B A X′ | X′ adalah himpunan semua titik X sehingga B-X-A} Gambar 2.5.5 Sudut-sudut Berpotongan A B C = {A B X′ | X′ adalah himpunan semua titik X sehingga A-X-B} = ̅̅̅̅ □ Teorema 2.5.2 Jika A-B-C, maka ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅. Bukti : Dari Definisi 2.5.1, ̅̅̅̅ adalah himpunan titik A dan C, bersama dengan semua titik di antara A dan C. Dapat ditulis ̅̅̅̅ = { A C Z′ | Z′ adalah himpunan semua titik Z sehingga A-Z-C}. Diketahui A-B-C. Dari Definisi 2.4.1, A, B, dan C adalah titik-titik yang kolinear. Dari Teorema 2.4.4 dapat diambil titik X dan Y sehingga A-X-B dan B-Y-C. ̅̅̅̅ = {A B X′ | X′ adalah himpunan semua titik X sehingga A-X-B} ̅̅̅̅ = {B C Y′ | Y′ adalah himpunan semua titik Y sehingga B-Y-C} Diketahui A-B-C dan A-X-B, sehingga berdasarkan pada Teorema 2.4.6 didapat A-X-C untuk setiap X. Gambar 2.5.6 Ilustrasi Teorema 2.5.2 A B C X Y Diketahui A-B-C dan B-Y-C, sehingga berdasarkan pada Teorema 2.4.6 didapat A-Y-C untuk setiap Y. Oleh karena itu setiap anggota dari X ′ dan Y′ berada diantara A dan C, sehingga X ′ dan Y′ merupakan anggota dari Z ′ . Sehingga Z ′ = { X ′ Y′ B | X′ adalah himpunan semua titik X sehingga A-X-B, Y′ adalah himpunan semua titik Y sehingga B-Y-C }. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = { A B C X′ Y′ | X′ adalah himpunan semua titik X sehingga A-X-B, Y′ adalah himpunan semua titik Y sehingga B-Y-C } = { A C Z′ | Z′ adalah himpunan semua titik Z sehingga A- Z-C} = ̅̅̅̅ □ Teorema 2.5.3 Moise, 1990: 66 Jika C adalah titik pada , C ≠ A, maka = . Bukti : Dari Definisi 2.5.2, sinar adalah gabungan dari segmen ̅̅̅̅ dan himpunan semua titik Q sehingga A-B-Q. Dapat ditulis = {̅̅̅̅ Q′ | Q′ adalah himpunan semua titik Q sehingga A-B-Q}. Jika B = C, maka dan adalah himpunan yang sama, sehingga = . Selanjutnya akan diambil B ≠ C. Dari Teorema 2.4.4 dapat diambil titik C sehingga A-C-B dan A-B-C. Untuk kondisi A-C-B, dari Teorema 2.5.2 didapat ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅. Sinar adalah gabungan dari segmen ̅̅̅̅ dan himpunan semua titik R sehingga A-C-R. Dapat ditulis = {̅̅̅̅ R′ | R′ adalah himpunan semua titik R sehingga A-C-R}. Ambil titik S sembarang titik pada ̅̅̅̅ − . Setiap titik S memenuhi A-C- S, sehingga ̅̅̅̅ − . Untuk setiap Q Q ′ , A-C-B dan A-B-Q, maka A-C-Q Teorema 2.4.6, sehingga Q ′ . ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ − dan ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ merupakan himpunan yang sama, sehingga ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ − = ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅. A B Q Gambar 2.5.7 Ilustrasi I Teorema 2.5.3 Gambar 2.5.8 Ilustrasi II Teorema 2.5.3 A B C Sehingga = {̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Q ′ | Q′ adalah himpunan semua titik Q sehingga A-B-Q} = {̅̅̅̅ Q′ | Q′ adalah himpunan semua titik Q sehingga A- B-Q} = Untuk kondisi A-B-C, dengan Teorema 2.5.2 didapat ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅. Sinar = {̅̅̅̅ T′ | T′ adalah himpunan semua titik T sehingga A-C-T}. Ambil U sembarang titik pada ̅̅̅̅ − . Setiap titik U memenuhi A-B-U, maka setiap titik U Q′. Setiap titik T memenuhi A-B-T, maka setiap titik T Q′. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ − dan ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ merupakan himpunan yang sama, sehingga ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ − = ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅. Sehingga = {̅̅̅̅ ̅̅̅̅ T′ | T′ adalah himpunan semua titik T sehingga A-C-T} = {̅̅̅̅ T′ | T′ adalah himpunan semua titik T sehingga A-C-T} Gambar 2.5.9 Ilustrasi III Teorema 2.5.3 A B C T = Telah ditunjukan bahwa dimanapun letak C pada , dengan A ≠ C, maka = . □ Teorema 2.5.4 Moise, 1990: 66 Jika dan adalah titik-titik pada dan , dengan , ≠ , maka ∠ = ∠ . Bukti : pada dan ≠ , maka berdasarkan Teorema 2.5.3 didapat = . pada dan ≠ , maka berdasarkan Teorema 2.5.3 didapat = . A B C Gambar 2.5.10 Sudut Yang Sama Berdasarkan Definisi 2.5.3, sudut adalah gabungan dari dua sinar yang memiliki titik pangkal yang sama, tetapi dua sinar tersebut tidak pada garis yang sama. Dapat ditulis ∠ = { | = A} = { | = A} = ∠ □ Teorema 2.5.5 Moise, 1990: 66 Jika ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅, maka titik A, B sama dengan titik C, D. Bukti : Andaikan A, B tidak sama dengan titik C, D. Ambil a dan b sebagai koordinat titik A dan B, sehingga a b. Ambil c dan d sebagai koordinat titik C dan D, sehingga c d. Andaikan A, B, C dan D terletak pada garis l. Berikut akan diberikan kemungkinan letak a, b, c, dan d. 1 a b c d 2 a c b d 3 a c d b 4 c a d b 5 c d a b Gambar berikut merepresentasikan kemungkinan-kemungkinan di atas. Dari kemungkinan 1, 2, 3, 4, dan 5 terlihat bahwa anggota himpunan segmen ̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅ tidak sama. Sebagai contoh pada kondisi 3 a c d b. Berdasarkan Teorema 2.4.4 ada titik X dengan koordinat x sehingga A-X-C. Karena a c maka a x c. Dari Definisi 2.5.1 segmen ̅̅̅̅ adalah himpunan titik A dan B bersama dengan semua titik di antara titik A dan B. Titik X berada di antara A dan B karena a x b, sehingga X ̅̅̅̅. Titik X ̅̅̅̅ karena x c d, yang berarti X tidak di antara C dan D. Karena ada titik X sehingga X ̅̅̅̅ dan X ̅̅̅̅, maka ̅̅̅̅ ≠ ̅̅̅̅. Hal ini kontradiksi dengan pernyataan ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅, sehingga A, B sama dengan titik C, D. b a c d b a c d 1 2 b a c d c b a d 3 4 b a c d 5 Gambar 2.5.11 Ilustrasi I Teorema 2.5.5 Untuk kasus A, B pada garis l dan C, D pada garis k, dengan l ≠ k. Ada tiga kemungkinan posisi segmen ̅̅̅̅ terhadap segmen ̅̅̅̅ yang akan dipaparkan sebagai berikut : 1 l dan k sejajar, sehingga segmen ̅̅̅̅ sejajar dengan segmen ̅̅̅̅. 2 L dan k berpotongan, segmen ̅̅̅̅ tidak memotong segmen ̅̅̅̅. 3 L dan k berpotongan, segmen ̅̅̅̅ memotong segmen ̅̅̅̅. Untuk kasus 1 dan 2, A, B tidak kolinear dengan C, D sehingga setiap titik di antara A dan B tidak di antara C dan D. Jadi ̅̅̅̅ ≠ ̅̅̅̅. Untuk kasus 3 ̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅ berpotongan disuatu titik. Andaikan titik potong tersebut adalah titik X. Maka A-X-B dan C-X-D. Berdasarkan Teorema 2.4.4 ada titik Y sehingga A-Y-X. Telah didapat A-Y-X dan A- A B C D 2 A B C D 1 A B C D 3 Gambar 2.5.12 Ilustrasi II Teorema 2.5.5 X-B, berdasarkan Teorema 2.4.6, maka didapat A-Y-B. Titik Y di antara A dan B, tetapi titik Y tidak di antara C dan D karena C, D, dan Y tidak kolinear. Ada titik Y sehingga Y ̅̅̅̅ dan Y ̅̅̅̅, maka ̅̅̅̅ ≠ ̅̅̅̅. Telah ditunjukan bahwa untuk kasus 1, 2, dan 3 didapat ̅̅̅̅ ≠ ̅̅̅̅. Hal ini kontradiksi dengan pernyataan ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅, sehingga A, B tidak sama dengan C, D. □

2.6 Kekonvekan dan Pemisahan

Definisi 2.6.1 Moise, 1990: 72 Suatu himpunan A dikatakan konvek jika untuk setiap dua titik P, Q A, setiap segmen ̅̅̅̅ berada di dalam A. Sebagai contoh diberikan tiga bangun yang konvek. Himpunan A, B, dan C adalah daerah bidang. Sebagai contoh, A adalah gabungan segitiga dan himpunan semua titik yang ada di dalam P Q A P Q C P Q B Gambar 2.6.1 Himpunan Konvek segitiga. Pada Gambar 2.6.1 terlihat bahwa setiap segmen ̅̅̅̅ selalu berada di dalam A, B, dan C. Selanjutnya akan diberikan contoh bangun yang tidak konvek. Himpunan D, E, dan F adalah contoh bangun yang tidak konvek. Untuk menunjukan suatu bangun tidak konvek, misal bangun D, cukup ditunjukan bahwa ada dua titik P, Q D sehingga segmen ̅̅̅̅ tidak berada di dalam D. Suatu himpunan konvek bisa saja tipis dan kecil. Sebagai contoh, setiap segmen ̅̅̅̅ adalah himpunan konvek. Himpunan yang beranggotakan satu titik juga konvek. Suatu himpunan konvek juga bisa sangat besar. Sebagai contoh, himpunan ruang S adalah suatu himpunan konvek. Semua garis dan bidang juga konvek, karena tidak dapat ditemukan suatu segmen ̅̅̅̅ dimana P,Q anggota suatu garis atau bidang sehingga segmen ̅̅̅̅ tidak di dalam himpunan suatu garis atau bidang tersebut. D P Q P Q F P Q E Gambar 2.6.2 Himpunan Tidak Konvek Definisi 2.6.2 Diberikan sembarang garis l pada bidang E, himpunan bagian dari E yang tidak pada l membentuk dua himpunan yang disebut bidang setengah dan garis l disebut batas dari bidang setengah. Sebagai contoh pada Gambar 2.6.3 adalah bagian dari bidang pada sebelah kiri atas garis l dan adalah bagian dari bidang pada sebelah kanan bawah garis l. Himpunan dan disebut bidang setengah. Seperti telah dijelaskan sebelumnya, dengan menunjukan beberapa contoh segmen ̅̅̅̅, dan merupakan himpunan konvek. Gambar 2.6.3 Pemisahan Bidang P Q P Q l P Q