Sudut Luar Segitiga dan Konsekuensinya

Bukti: Diberikan sembarang ∆ . Akan ditunjukan ∠ + ∠ . Ambil D pada sehingga C-B-D. ∠ adalah sudut luar ∆ . Dari Teorema 2.10.1, didapat ∠ ∠ . Kemudian ∠ = − ∠ . Dengan substitusi didapat − ∠ ∠ ∠ + ∠ Oleh sebab itu m ∠ + ∠ . □ Teorema 2.10.3 Milman Parker, 1991: 138 Jika dua sisi segitiga tidak sama panjang, bersama dengan sudut dihadapan dua sisi segitiga tersebut, maka sudut yang lebih besar adalah sudut dihadapan sisi yang lebih panjang. Dengan kata lain dalam ∆ jika , maka ∠ ∠ . Bukti : Gambar 2.10.3 Ilustrasi Teorema 2.10.2 A B C D Ambil titik D sehingga A-C-D dan = . Titik C didalam interior ∠ dan ∠ . ∆ adalah segitiga samakaki sehingga ∠ = ∠ . Dengan Teorema 2.10.1 untuk segitiga ∆ , ∠ ∠ . Maka ∠ ∠ = ∠ ∠ , sehingga ∠ ∠ . □ Selanjutnya akan ditunjukan konvers dari Teorema 2.10.3. Teorema 2.10.4 Milman Parker, 1991: 139 Dalam ∆ jika ∠ ∠ , maka . Bukti : D B A C Gambar 2.10.4 Ilustrasi Teorema 2.10.3 Andaikan . Untuk = , maka ∆ adalah segitiga sama kaki. Akibatnya ∠ = ∠ . Hal ini kontradiksi dengan pernyataan ∠ ∠ . Selanjutnya untuk , dapat diambil titik D pada ̅̅̅̅ sehingga = . Maka dapat dibuat ∆ dan ∆ . Dengan menerapkan Teorema 2.10.1 pada ∆ didapat ∠ = ∠ ∠ = ∠ . Kemudian ∠ ∠ ∠ , sehingga didapat ∠ ∠ . Ini kontradiksi dengan pernyataan ∠ ∠ . Jadi . □ A B C Gambar 2.10.5 Ilustrasi I Teorema 2.10.4 Gambar 2.10.6 Ilustrasi II Teorema 2.10.4 A B C D Teorema 2.10.5 Triangle Inequality Milman Parker, 1991: 139 Panjang salah satu sisi segitiga kurang dari jumlah panjang dua sisi yang lain. Bukti : Akan ditunjukan dalam ∆ , + . Ambil D pada dengan C-B-D, sehingga = . Maka = + = + . B pada interior ∠ sehingga ∠ ∠ . Karena ∆ adalah segitiga samakaki, ∠ = ∠ sehingga ∠ ∠ . Dengan Teorema 2.10.4 pada ∆ , didapat = + , sehingga A B C D Gambar 2.10.7 Ilustrasi Teorema 2.10.5 + . □ Teorema ini dapat diperumum menjadi teorema berikut. Teorema 2.10.6 Milman Parker, 1991: 141 Diberikan A, B, C adalah tiga titik berbeda, maka + . Bukti : Jika A, B, C tidak kolinear dengan ketaksamaan segitiga maka terpenuhi + . Kemudian = + apabila A, B, C kolinear dengan A-B-C. Jadi untuk sembarang tiga titik berbeda A, B, C berlaku + . Teorema 2.10.7 Pertidaksamaan Segibanyak atau Polygon Inequality Milman Parker, 1991: 180 Diberikan titik-titik berbeda , , … , , untuk , maka + + ⋯ + − . Bukti : Untuk = , dengan Teorema 2.10.6 maka persamaan di atas terpenuhi. Selanjutnya andaikan benar untuk = , maka didapat + + ⋯ + − . Akan dibuktikan benar untuk = + . + + + . Dengan mensubtitusikan pertidaksamaan sebelumnya didapat + + + ⋯ + − + + . □

2.11 Segiempat Saccheri dan Jumlah Sudut dalam Segitiga

Definisi 2.11.1 Moise, 1990: 152 □ dikatakan segiempat Saccheri jika ∠ dan ∠ adalah sudut siku- siku, B dan C pada pihak yang sama terhadap ⃡ , dan = . Segmen ̅̅̅̅ disebut sisi bawah dan ̅̅̅̅ disebut sisi atas. ∠ dan ∠ disebut sudut bawah. ∠ dan ∠ disebut sudut atas. A B D C Gambar 2.11.1 Segiempat Saccheri I Teorema 2.11.1 Milman Parker, 1991: 180 Diberikan segiempat Saccheri □ dengan sisi bawah ̅̅̅̅, maka . Bukti : Dibentuk banyak segiempat Saccheri yang kongruen seperti pada gambar berikut. Ambil = , = , = , = . Untuk setiap , diberikan suatu titik pada ⃡ sehingga − − − − dan − = . Catatan bahwa + = . Umtuk setiap diberikan suatu titik pada pihak yang sama dengan B terhadap ⃡ dengan ̅̅̅̅̅̅̅ ⊥ ⃡ dan = . Dengan pertidaksamaan segibanyak didapat + + + ⋯ + + + + + . Karena = + + dan + = , maka + , untuk . Gambar 2.11.2 Segiempat Saccheri II + + = = = = ... ... − − Maka − , untuk . 2-1 Pertidaksamaan 2-1 terpenuhi untuk dan ruas kanan akan sangat kecil apabila n cukup besar. Sehingga didapat − . Oleh karena itu . □ Teorema 2.11.2 Moise, 1990: 155 Pada sembarang segiempat Saccheri □ dengan sisi bawah ̅̅̅̅, maka ∠ ∠ . Bukti : Dari Definisi 2.11.1 diketahui bahwa = . Andaikan ∠ ∠ . Dengan Teorema 2.10.4 didapat dan ini kontradiksi dengan Teorema 2.11.1. Jadi ∠ ∠ . □ A B D C Gambar 2.11.3 Segiempat Saccheri III