Kekonvekan dan Pemisahan LANDASAN TEORI
Definisi 2.6.2
Diberikan sembarang garis l pada bidang E, himpunan bagian dari E yang tidak pada l membentuk dua himpunan yang disebut bidang setengah dan
garis l disebut batas dari bidang setengah.
Sebagai contoh pada Gambar 2.6.3 adalah bagian dari bidang
pada sebelah kiri atas garis l dan adalah bagian dari bidang pada
sebelah kanan bawah garis l. Himpunan dan
disebut bidang setengah. Seperti telah dijelaskan sebelumnya, dengan menunjukan
beberapa contoh segmen ̅̅̅̅, dan
merupakan himpunan konvek.
Gambar 2.6.3 Pemisahan Bidang
P
Q P
Q l
P
Q
Postulat Pemisahan Bidang atau Plane Separation Axiom PSA Moise, 1990: 74
Diberikan suatu garis dan bidang yang memuat garis tersebut. Himpunan semua titik pada bidang yang tidak pada garis adalah gabungan dua
himpunan berbeda sehingga : 1
Kedua himpunan tersebut konvek 2
Jika titik P pada salah satu himpunan dan titik Q pada himpunan yang lain, maka segmen ̅̅̅̅ memotong garis.
Teorema 2.6.1 Moise, 1990: 74
Diberikan ∆ABC dan garis l. Jika l memuat titik E, dengan A-E-C, maka l memotong ̅̅̅̅ atau ̅̅̅̅.
A C
B
E l
Gambar 2.6.4 Ilustrasi Teorema 2.6.1
Bukti : Andaikan l tidak memotong ̅̅̅̅ atau ̅̅̅̅. Maka A dan B pada pihak yang
sama terhadap l dan B dan C pada pihak yang sama terhadap l. Oleh karena itu A dan C pada pihak yang sama terhadap l. Ini tidak mungkin
karena A-E-C. □
Teorema 2.6.2 Moise, 1990: 75
Jika A dan B adalah himpunan konvek, maka juga konvek.
Bukti : Teorema ini akan dibuktikan dengan kontradiksi. Andaikan
tidak konvek. Ambil titik-titik
, , maka
, dan
, . ̅̅̅̅
dan ̅̅̅̅ karena A dan B konvek dan ada titik R dimana P-R-Q
sehingga . Ini tidak mungkin karena A dan B konvek.
Kontradiksi. □
Definisi 2.6.3 Moise, 1990: 76
Andaikan E suatu bidang. Jika − =
seperti pada postulat pemisahan bidang, maka dan
disebut pihak yang berlawanan terhadap l.
Teorema 2.6.3 Moise, 1990: 76
Jika A dan B pada pihak yang berlawanan terhadap garis l dan B dan C pada pihak yang berlawanan terhadap garis l, maka A dan C pada pihak
yang sama terhadap l. Bukti :
Ambil suatu bidang E dan garis l pada E. l membagi E kedalam dua bidang setengah
dan . Andaikan A pada
, maka B pada karena A dan
B pada pihak yang berlawanan terhadap l. B pada , maka C pada
karena B dan C pada pihak yang berlawanan terhadap l. Didapat A dan C pada
, sehingga A dan C berada pada pihak yang sama terhadap l . □
A
B C
l
Gambar 2.6.5 Ilustrasi Teorema 2.6.3
Teorema 2.6.4 Moise, 1990: 76
Jika A dan B pada pihak yang berlawanan terhadap garis l dan B dan C pada pihak yang sama terhada l, maka A dan C pada pihak yang
berlawanan terhadap l.
Bukti : Ambil suatu bidang E dan garis l pada E. l membagi E kedalam dua
bidang setengah dan
. Andaikan A pada , maka B pada
karena A dan B pada pihak yang berlawanan terhadap l. B pada
, maka C pada karena B dan C pada pihak yang sama terhadap l. Jadi A dan C pada
pihak yang berlawanan terhadap garis l. □
Definisi 2.6.4 Moise, 1990: 76
Jika A-B-C, maka sinar dan disebut sinar yang berlawanan.
Gambar 2.6.6 Ilustrasi Teorema 2.6.4
A
B C
l
Teorema 2.6.5 Moise, 1990: 76
Diberikan sebuah garis dan sinar yang memiliki titik pangkal pada garis yang diberikan, tetapi tidak berhimpit dengan garis tersebut. Kemudian
semua titik pada sinar, kecuali titik pangkal, berada pada pihak yang sama terhadap garis tersebut.
Bukti : Diberikan garis l dan sinar dengan
. Akan dibuktikan −
berada pada pihak yang sama terhadap garis tersebut.
Andaikan memuat titik C sehingga B dan C berada pada pihak yang berlawanan terhadap l. Maka ̅̅̅̅ memotong l disuatu titik, dan titik ini
harus A, karena ̅̅̅̅ terletak pada , dan memotong l hanya di A. A
B C
Gambar 2.6.7 Sinar Yang Berlawanan
Gambar 2.6.8 Ilustrasi Teorema 2.6.5
A B
l C ?
Oleh karena itu C-A-B. Tetapi ini tidak mungkin. Dengan Definisi 2.5.2, sinar adalah himpunan titik C dari garis ⃡ sehingga A tidak diantara
B dan C. Oleh sebab itu semua titik pada sinar, selain A, berada pada pihak yang sama terhadap l.
□
Teorema 2.6.6 Moise, 1990: 77
Diberikan garis l dan A titik pada l, dan B titik yang tidak pada l. Maka semua titik dari ̅̅̅̅
− berada pada pihak yang sama terhadap l.
Bukti : Berdasarkan Teorema 2.6.5
− berada pada pihak yang sama terhadap l. Karena ̅̅̅̅
− berada pada − , maka ̅̅̅̅ − juga berada pada pihak yang sama terhadap l.
□
Definisi 2.6.5 Moise, 1990: 77
Diberikan ∠
. Interior ∠
adalah irisan pihak ⃡ yang memuat B dan pihak ⃡ yang memuat C. Maka suatu titik D interior
∠ jika D
dan B berada pada pihak yang sama dari ⃡ dan jika D dan C berada pada pihak yang sama dari ⃡ . Jadi, interior suatu sudut adalah irisan dua
bidang setengah. Eksterior ∠
adalah himpunan semua titik yang tidak pada
∠ dan interior
∠ .
Teorema 2.6.7 Moise, 1990: 78
Setiap sisi segitiga, kecuali titik sudutnya berada di dalam interior sudut di hadapannya.
Diberikan ∆
, ∠ = ∠
merupakan sudut dihadapan sisi ̅̅̅̅.
Bukti : 1
Pertama gunakan Teorema 2.6.6 pada garis ⃡ dan segmen ̅̅̅̅. Didapat ̅̅̅̅
− berada pada pihak yang memuat B. 2
Selanjutnya gunakan Teorema 2.6.6 pada garis ⃡ dan segmen ̅̅̅̅. Didapat ̅̅̅̅
− berada pada pihak ⃡ yang memuat C. 3
Dari 1 dan 2, ̅̅̅̅ − { , } berada pada interior ∠ .
□
Gambar 2.6.9 Interior dan Eksterior Sudut
Interior Eksterior
Eksterior A
B
C D
A B
C
Gambar 2.6.10 Ilustrasi Teorema 2.6.7
Teorema 2.6.8 Moise, 1990: 78
Jika F berada di dalam interior ∠
, maka − berada di dalam
interior ∠
.
Bukti : 1
Dari Definisi 2.6.5, F dan B pada pihak yang sama terhadap ⃡ . Dengan Teorema 2.6.5,
− berada pada pihak yang sama terhadap ⃡ yang memuat F. Oleh karena itu − terletak pada pihak yang
memuat B. 2
Dari Definisi 2.6.5, F dan C pada pihak yang sama terhadap ⃡ . Dengan Teorema 2.6.5,
− berada pada pihak yang sama terhadap ⃡ yang memuat F. Oleh karena itu − terletak pada pihak yang
memuat C. Dari 1 dan 2 memenuhi bahwa
− berada di dalam interior ∠ .
□ A
B
C F
Gambar 2.6.11 Ilustrasi Teorema 2.6.8
Teorema 2.6.9 Moise, 1990: 79
Diberikan ∆ABC dan titik F,D,G sehingga B-F-C, A-C-D, dan A-F-G. Maka G di dalam interior
∠ .
Bukti : 1
Karena A-F-G, G berada pada ⃡ , dan A tidak di antara G dan F. Oleh karena itu G pada
. Karena G ≠ A, G pada − . 2
Dengan Teorema 2.6.7, titik F di dalam interior ∠ . Dari Teorema
2.6.8, − berada pada interior ∠
. Oleh karena itu G dan B pada pihak yang sama terhadap ⃡ =⃡ .
3 A dan G pada pihak yang berlawanan terhadap ⃡ , dan A dan D pada
pihak yang berlawanan terhadap ⃡ . Oleh karena itu G dan D pada pihak yang sama terhadap ⃡ .
Dari 2 dan 3, G di dalam interior ∠
. □
A C
B
D F
G
Gambar 2.6.12 Ilustrasi Teorema 2.6.9
Selanjutnya akan didefinisikan interior suatu segitiga.
Definisi 2.6.6 Moise, 1990: 80
Interior ∆ABC didefinisikan sebagai irisan tiga himpunan berikut :
1 Pihak ⃡ yang memuat C
2 Pihak ⃡ yang memuat B
3 Pihak ⃡ yang memuat A
Teorema 2.6.10 Moise, 1990: 80
Interior segitiga adalah himpunan konvek. Bukti :
Diberikan sembarang ∆ABC.
⃡
sebagai bidang setengah yang memuat C,
⃡
sebagai bidang setengah yang memuat B dan
⃡
sebagai bidang setengah yang memuat A. Dari Definisi 2.6
.6, interior ∆ABC adalah A
B
C
Gambar 2.6.13 Interior Segitiga
⃡ ⃡
⃡
.
⃡
,
⃡
, dan
⃡
konvek. Sehingga
⃡ ⃡
⃡
juga konvek lihat Teorema 2.6.2. □