Jumlah Sudut dalam Segitiga pada Geometri Hiperbolik

Teorema 3.1.1 Moise, 1990: 382 Dibawah HPP, suatu sudut luar segitiga asimtotik lebih besar dari sudut dalam yang tidak bersisian dengannya. Dengan kata lain jika | dan Q-A-B, maka ∠ ∠ . Bukti : Jika ∆ adalah segitiga samakaki, artinya ∠ = ∠ , maka teorema ini terbukti. Karena ∠ dan ∠ adalah lancip karena untuk setip . Oleh karena itu ∠ adalah sudut tumpul. Andaikan ∆ bukan segitiga samakaki. Maka ada ∆ , sehingga A-C-B. Diberikan ukuran sudut-sudut seperti pada gambar berikut. A B D P Q Gambar 3.1.2 Segitiga Asimtotik A B C D P Q R Gambar 3.1.3 Ilustrasi Teorema 3.1.1 karena . Dan berdasarkan Teorema 2.11.4 + + . Oleh karena itu = − + + , sehingga + . Selanjutnya akan dibuktikan bahwa . Ini terpenuhi dari + − + Lihat bahwa + = − , sehingga − − . Akibatnya . □ Teorema 3.1.2 Milman Parker, 1991: 206 Dibawah HPP sudut atas sembarang segiempat Saccheri adalah lancip. Bukti : Diberikan segiempat Saccheri □ dan ambil E dan F dengan A-D-E dan B-C-F. Pilih P pada pihak yang sama dengan E terhadap ⃡ , dan Q pada pihak yang sama dengan E terhadap ⃡ , dengan | dan | sehingga | sehingga ∆ adalah segitiga asimtotik. Q didalam interior ∠ . karena = , maka ∠ = = ∠ Dengan Teorema 3.1.1, ∠ ∠ , sehingga ∠ = ∠ = − ∠ = − ∠ + ∠ = − + ∠ − + ∠ Gambar 3.1.4 Segiempat Saccheri IV E F P Q A B C D = − ∠ + ∠ = − ∠ Jadi ∠ atau ∠ . □ Teorema 3.1.3 Moise, 1990: 385 Dibawah HPP, untuk setiap segitiga siku-siku ∆ berlaku ∠ + ∠ + ∠ . Bukti : Andaikan tidak. Maka jumlah sudut dalam segitiga adalah 180 karena untuk setiap ∆ , ∠ + ∠ + ∠ . Jika ∠ adalah sudut siku-siku, ∠ dan ∠ harus berpelurus. Ambil D pada pihak yang berlawanan dengan A terhadap ⃡ , sehingga ∠ = Gambar 3.1.5 Jumlah Sudut Dalam Segitiga Siku-siku Pada Geometri Hiperbolik A B C D ? ∠ dan = . Maka ∆ ≅ ∆ sisi, sudut, sisi dan □ABCD adalah segiempat Saccheri. Ini tidak mungkin, karena ∠ adalah sudut siku-siku. Kontradiksi. □ Teorema 3.1.4 Moise, 1990: 385 Dibawah HPP, untuk setiap ∆ ∠ + ∠ + ∠ . Bukti : Ambil ̅̅̅̅ sebagai sisi terpanjang dari ∆ , dan ̅̅̅̅ adalah garis tinggi dari B ke sisi ̅̅̅̅. Maka + + dan + + . Jadi + + + . □ A B C D Gambar 3.1.6 Jumlah Sudut Dalam Segitiga Pada Geometri Hiperbolik

3.2 Defek Segitiga

Definisi 3.2.1 Moise, 1990: 386 Defek ∆ didefinisikan sebagai − ∠ − ∠ − ∠ . Defek ∆ dilambangkan dengan � ∆ . Dibawah HPP defek segitiga selalu positif, dan jelas ini kurang dari 180 karena dibawah HPP jumlah ukuran sudut dalam segitiga kurang dari 180 lihat Teorema 3.1.4. Teorema 3.2.1 Moise, 1990: 386 Diberikan ∆ , dengan B-D-C. Maka � ∆ = � ∆ + � ∆ . Bukti : � ∆ + � ∆ = − + + + − + + A C B D Gambar 3.2.1 Ilustrasi Teorema 3.2.1 Lihat bahwa + = dan + = ∠ , sehingga �∆ + � ∆ = − + − + + + = − + + + = − ∠ + ∠ + ∠ = � ∆ □ Teorema 3.2.2 Moise, 1990: 386 Dibawah HPP, setiap kesebangunan adalah kongruen. Ini berarti jika ∆ ~∆ , maka ∆ ≅ ∆ . Bukti : Ambil G pada sehingga AG = DE, dan H pada sehingga AH = DF, maka ∆ ≅ ∆ , oleh sebab itu G H D E F A B C Gambar 3.2.2 Segitiga Kongruen Pada Geometri Hiperbolik ∆ ~∆ . Jika G = B dan H = C maka teorema ini terpenuhi. Akan ditunjukan asumsi yang sebaliknya yaitu G ≠ B dan H ≠ C akan terjadi kontradiksi. Diberikan defek ∆ , ∆ , dan ∆ adalah , , dan seperti pada Gambar 3.2.2. Diberikan d adalah defek ∆ . Kemudian didapat = + + . Padahal ∆ ~∆ , yang berakibat jumlah sudut dalam kedua segitiga tersebut sama, sehingga = . Kontradiksi. □ Teorema 3.2.3 Moise, 1990: 387 Diberikan adalah fungsi kritis lihat sub bab 2.12, maka lim �→∞ = . Bukti : Diberikan suatu bilangan positif = inf { }. Andaikan untuk setiap . Akan ditunjukan bahwa pengandaian ini menuntun pada keberadaan segitiga dengan defek lebih besar dari 180, dan ini tidak mungkin.