Defek Segitiga LUAS PADA GEOMETRI HIPERBOLIK

∆ ~∆ . Jika G = B dan H = C maka teorema ini terpenuhi. Akan ditunjukan asumsi yang sebaliknya yaitu G ≠ B dan H ≠ C akan terjadi kontradiksi. Diberikan defek ∆ , ∆ , dan ∆ adalah , , dan seperti pada Gambar 3.2.2. Diberikan d adalah defek ∆ . Kemudian didapat = + + . Padahal ∆ ~∆ , yang berakibat jumlah sudut dalam kedua segitiga tersebut sama, sehingga = . Kontradiksi. □ Teorema 3.2.3 Moise, 1990: 387 Diberikan adalah fungsi kritis lihat sub bab 2.12, maka lim �→∞ = . Bukti : Diberikan suatu bilangan positif = inf { }. Andaikan untuk setiap . Akan ditunjukan bahwa pengandaian ini menuntun pada keberadaan segitiga dengan defek lebih besar dari 180, dan ini tidak mungkin. Diberikan + = dan ∠ = . Untuk setiap , memotong , karena . Setiap segitiga siku-siku ∆ + + kongruen, dan oleh karena itu memiliki defek yang sama . Ambil defek ∆ dimana n terus bertambah satu. Pada gambar dibawah, huruf pada interior segitiga melambangkan defeknya. Gambar 3.2.3 Ilustrasi I Teorema 3.2.3 Gambar 3.2.4 Ilustrasi II Teorema 3.2.3 + + + Dengan Teorema 3.2.1 didapat � ∆ + = + , � ∆ + + = + , + = + + + . Oleh karena itu + + . Maka + , + + . Jika proses diatas terus-menerus dilakukan, maka akan didapat + − . Ketika n sangat besar, didapat . Ini tidak mungkin, karena defek suatu segitiga adalah 180 dikurang jumlah sudut. Kontradiksi, jadi tidak mungkin . Oleh karena itu atau . Jelas bahwa tidak mungkin karena = inf { }. juga tidak mungkin, maka didapat = . □ Teorema 3.2.4 Moise, 1990: 389 Untuk setiap bilangan , ada segitiga yang memiliki defek lebih besar dari . Bukti : Diberikan adalah fungsi untuk ukuran sudut alas suatu segitiga siku- siku samakaki, dengan adalah panjang sisi tegak segitiga tersebut. | seperti Gambar 3.2.5. Oleh karena itu . Jadi lim �→∞ = , karena lim �→∞ = Teorema 3.2.3. Selanjutnya ambil D pada sehingga = , seperti gambar berikut. A B C E Gambar 3.2.5 Ilustrasi I Teorema 3.2.4 Maka ada ∆ yang kongruen dengan ∆ sisi, sudut, sisi. Lihat ∆ , jumlah sudutnya adalah . Oleh karena itu defeknya − . Defek ∆ dapat dibuat sangat dekat dengan 180, yaitu dengan mengambil yang sangat besar. □ Definisi 3.2.2 Milman Parker, 1991: 265 Defek suatu daerah triangular T adalah defek segitiga yang bersesuaian dengan T. Teorema 3.2.5 Prenowitz Jordan, 1965: 65 Defek segitiga adalah fungsi luas daerah triangular. Bukti : Akan dibuktikan bahwa defek segitiga memenuhi postulat luas A-1, A-2, A-3, dan A-4 lihat sub bab 2.9. A B C D Gambar 3.2.6 Ilustrasi II Teorema 3.2.4 1 Diberikan � adalah fungsi → ℝ, dimana adalah himpunan semua daerah triangular dan ℝ adalah himpunan semua bilangan real. Sembarang daerah triangular T akan berpasangan dengan defek segitiga yang bersesuaian dengan daerah triangular T dan defek segitiga tersebut merupakan bilangan real. Ini memenuhi postulat luas A-1. 2 Defek suatu segitiga selalu bernilai positif karena berdasarkan Definisi 3.2.1 � ∆ = − ∠ − ∠ − ∠ = − ∠ + ∠ + ∠ Berdasarkan Teorema 3.1.4, ∠ + ∠ + ∠ , maka � ∆ . Berdasarkan Definisi 3.2.2, defek suatu daerah triangular T adalah defek segitiga yang bersesuaian dengan T. Sehingga untuk setiap daerah triangular T yang bersesuaian dengan ∆ , � . Ini memenuhi postulat luas A-2. 3 Setiap dua segitiga yang kongruen, ukuran sudut yang bersesuaian sama besar. Sehingga jumlah ukuran sudut kedua segitiga tersebut adalah sama. Sebagai contoh diberikan dua segitiga yang kongruen, ∆ ≅ ∆ . Didapat ∠ = ∠ , ∠ = ∠ , dan ∠ = ∠ , sehingga ∠ + ∠ + ∠ = ∠ + ∠ + ∠ . Karena jumlah ukuran sudut dua segitiga yang kongruen sama, maka defek kedua segitiga tersebut sama. Dengan kata lain, jika ∆ bersesuaian dengan daerah triangular dan ∆ bersesuaian dengan daerah triangular , sehingga ≅ , maka � = � . Ini memenuhi postulat luas A-3. 4 Pada Teorema 3.2.1 telah dibuktikan dua segitiga berpotongan hanya pada batas dan titik sudutnya, jumlah defek segitiga tersebut sama dengan defek segitiga yang dibentuk oleh kedua segitiga tersebut. Berdasarkan Definisi 3.2.2 defek segitiga sama dengan defek daerah triangular yang bersesuaian. Ini memenuhi postulat luas A-4. □

3.3 Triangulasi dan Subdivisi

Diberikan R suatu daerah segibanyak. Suatu triangulasi dari R lihat Definisi 2.9.4 diartikan sebagai suatu koleksi terbatas, � = { , , … , } dari daerah triangular , sehingga 1 Setiap beririsan hanya pada batas dan titik sudut, dan 2 gabungan dari setiap adalah R. Suatu koleksi K yang memenuhi 1 disebut komplek. Setiap komplek K membentuk suatu triangulasi dari gabungan setiap elemennya. Definisi 3.3.1 Moise, 1990: 390 Diberikan dua komplek � = { , , … , } �′ = { ′ , ′ , … , ′ } Jika setiap ′ �′ berada pada salah satu himpunan K, maka �′ disebut subdivisi dari K. Selanjutnya akan dijelaskan mengenai segibanyak konvek. Definisi 3.3.2 Moise, 1990: 390 Diberikan suatu segibanyak dengan titik sudut , , … , . Andaikan untuk setiap pasang titik sudut berurutan , + , setiap titik sudut yang lain berada pada pihak yang sama terhadap � �+ ⃡ , maka segibanyak tersebut konvek. Gambar 3.3.1 Segibanyak Konvek Definisi 3.3.2 memenuhi bahwa jika , + , + berurutan, maka titik sudut yang lain jika ada berada pada interior ∠ + + . Definisi 3.3.3 Moise, 1990: 390 Interior suatu segibanyak konvek, diartikan sebagai irisan dari setiap interior sudutnya. Definisi 3.3.4 Milman Parker,1991: 265 Diberikan daerah segibanyak konvek R dan P titik di dalam interior R. Komplek dengan daerah triangular yang titik-titik sudutnya adalah P bersama dengan sepasang titik sudut berurutan dari daerah segibanyak konvek R disebut triangulasi bintang dari R. Gambar 3.3.2 Triangulasi Bintang