Fungsi Kritis LANDASAN TEORI

Diberikan garis l dan titik P yang tidak pada l. Ambil A pada l sehingga ̅̅̅̅ ⊥ , dan B titik lain pada l. Untuk setiap bilangan r diantara 0 dan 180 ada tepat satu sinar , dengan D pada pihak yang sama dengan B terhadap ⃡ , sehingga ∠ = . Tentu saja untuk beberapa r, akan memotong . Sebagai contoh ambil = ∠ . Untuk , tidak akan memotong . Definisi 2.12.3 Moise, 1990: 371 Diberikan � = { | akan memotong } A B P C E D Gambar 2.12.2 Garis Sejajar Pada Geometri Hiperbolik Ambil = sup �. Sup menyatakan supremum yaitu batas atas terkecil. Bilangan disebut bilangan kritis untuk P dan . ∠ dengan ukuran disebut sudut kesejajaran dan P. Selanjutnya akan dibahas fungsi kritis. Definisi 2.12.4 Moise, 1990: 373 Diberikan suatu fungsi → dan dilambangkan dengan c dan disebut fungsi kritis. Maka untuk setiap , melambangkan bilangan kritis yang berkorespondensi dengan = . memotong ketika ∠ , tetapi tidak memotong ketika ∠ . Gambar 2.12.3 Fungsi Kritis A D B P Q Teorema 2.12.1 Moise, 1990: 373 Jika ′ , maka ′ . Bukti : Diberikan , ′ dengan = dan ′ = ′ . Ambil sehingga ∠ = dan ambil ′ ′ sehingga ∠ ′ ′ = , dengan dan ′ pada pihak yang sama terhadap ⃡ . Maka dan ′ ′ sejajar. Semua titik pada ′ ′ berada pada pihak ⃡ yang memuat ′ . Semua titik berada pada pihak ⃡ yang memuat A. Oleh karena itu ′ ′ tidak memotong . Sekarang ambil � ′ = { | ′ ′ memotong }. Seperti pada Definisi 2.12.3 dan Definisi 2.12.4, sudut kritis ′ = sup �′. Kemudian adalah batas atas � ′ , karena ′ ′ tidak memotong . ′ adalah batas atas terkecil dari � ′ . Jadi ′ . □ A D B P ′ ′ Gambar 2.12.4 Ilustrasi Teorema 2.12.1 Teorema ini memungkinkan ketika cukup besar, = ketika sangat kecil. Tetapi faktanya ini tidak mungkin terjadi, seperti yang ditunjukan dua teorema berikut. Teorema 2.12.2 Milman Parker, 1991: 193 Jika , maka . Bukti : Diberikan P, ′ seperti pada Gambar 2.12.5. Dengan = dan ′ = . Ambil sehingga ∠ = , dan ambil ′ ⃡ ⊥ ⃡ pada ′. Jika tidak memotong ′ ⃡ seperti pada Gambar 2.12.5 i, maka ∠ = . ii P P’ D F E G A B H i E P P’ A B D’ D Gambar 2.12.5 Ilustrasi Teorema 2.12.2 Selanjutnya, andaikan memotong ′ pada titik F seperti Gambar 2.12.5 ii. Ambil sembarang titik G sehingga P-F-G. G pada interior ∠ ′ , maka ∠ ′ . Ambil H sehingga P′-G-H. A dan H pada pihak yang berlawanan terhadap ⃡ , B dan H pada pihak yang berlawanan terhadap ⃡ , maka tidak memotong . Akibatnya ′ tidak memotong . Ini berarti ∠ ′ . □ Teorema 2.12.3 Moise, 1990: 374 Jika untuk beberapa , maka untuk setiap . Bukti : Untuk setiap n, ambil = . Dengan induksi, berdasarkan Teorema 2.12.2, maka untuk setiap n. Selanjutnya akan dibuktikan tidak mungkin = . Andaikan ada b sehingga = . Karena lim →∞ = , maka untuk beberapa b. , tetapi . Ini kontradiksi dengan Teorema 2.12.1. Jadi untuk setiap . □ 75

BAB III LUAS PADA GEOMETRI HIPERBOLIK

3.1 Jumlah Sudut dalam Segitiga pada Geometri Hiperbolik

Definisi 3.1.1 Geometri hiperbolik adalah geometri yang berdasarkan pada postulat kesejajaran Lobachevsky, yang isinya dapat dilihat pada sub bab 2.12. Postulat kesejajaran Lobachevsky biasanya juga dikenal dengan sebutan postulat kesejajaran hiperbolik Hyperbolic Parallel Postulate, kemudian disingkat dengan HPP. Diberikan dan adalah dua garis yang sejajar dan dilambangkan dengan ∥ . Definisi 3.1.2 Milman Parker, 1991: 196 Diberikan A, B, C, D adalah empat titik berbeda sehingga tidak ada diantara tiga titik tersebut yang kolinear, dengan C dan D pada pihak yang sama dengan ⃡ , dan ⃡ ∥ ⃡ , maka himpunan ∆ = ̅̅̅̅ adalah segitiga terbuka. Lihat gambar berikut Definisi 3.1.3 Milman Parker, 1991: 196 dan 197 Diberikan ∆ adalah segitiga terbuka. asimtotik dengan jika setiap titik E di dalam interior ∠ , memotong . Ditulis sebagai berikut | . Definis 3.1.4 Milman Parker, 1991: 203 Segitiga terbuka ∆ diakatakan segitiga asimtotik atau segitiga tertutup jika | . Lihat Gambar 3.1.2. A B C D Gambar 3.1.1 Segitiga Terbuka Teorema 3.1.1 Moise, 1990: 382 Dibawah HPP, suatu sudut luar segitiga asimtotik lebih besar dari sudut dalam yang tidak bersisian dengannya. Dengan kata lain jika | dan Q-A-B, maka ∠ ∠ . Bukti : Jika ∆ adalah segitiga samakaki, artinya ∠ = ∠ , maka teorema ini terbukti. Karena ∠ dan ∠ adalah lancip karena untuk setip . Oleh karena itu ∠ adalah sudut tumpul. Andaikan ∆ bukan segitiga samakaki. Maka ada ∆ , sehingga A-C-B. Diberikan ukuran sudut-sudut seperti pada gambar berikut. A B D P Q Gambar 3.1.2 Segitiga Asimtotik A B C D P Q R Gambar 3.1.3 Ilustrasi Teorema 3.1.1