Triangulasi dan Subdivisi LUAS PADA GEOMETRI HIPERBOLIK

Definisi 3.3.2 memenuhi bahwa jika , + , + berurutan, maka titik sudut yang lain jika ada berada pada interior ∠ + + . Definisi 3.3.3 Moise, 1990: 390 Interior suatu segibanyak konvek, diartikan sebagai irisan dari setiap interior sudutnya. Definisi 3.3.4 Milman Parker,1991: 265 Diberikan daerah segibanyak konvek R dan P titik di dalam interior R. Komplek dengan daerah triangular yang titik-titik sudutnya adalah P bersama dengan sepasang titik sudut berurutan dari daerah segibanyak konvek R disebut triangulasi bintang dari R. Gambar 3.3.2 Triangulasi Bintang Teorema 3.3.1 Moise, 1990: 391 Diberikan R suatu daerah segibanyak konvek, dan l suatu garis yang memotong interior R. Maka l membagi R kedalam dua daerah segibanyak konvek. Bukti : Diberikan dan adalah bidang setengah dengan l adalah batas dari dan . Diberikan ̅̅̅̅ = dan ̅̅̅̅ = . Diberikan = ̅̅̅̅, = ̅̅̅̅. Maka berdasarkan Teorema 2.6.2, dan adalah himpunan konvek, karena setiap dari mereka adalah irisan dua himpunan konvek. □ Teorema 3.3.2 Moise, 1990: 391 Setiap dua triangulasi dari daerah segibanyak yang sama memiliki suatu subdivisi bersama. Gambar 3.3.3 Ilustrasi Teorema 3.3.1 l Jika � dan � adalah triangulasi dari R, maka ada triangulasi K dari R yang adalah subdivisi dari � dan � . Pada Gambar 3.3.4, batas dari � tidak putus-putus, dan batas � adalah garis putus-putus. Bukti : Ambil , , … , adalah garis yang memuat batas dari � atau batas dari � Pada Gambar 3.3.4, n = 9. membagi pada � dan setiap ′ pada � ke dalam dua daerah konvek, jika memotong interior kedua komplek. Akan ditunjukan kemungkinan pada gambar berikut : Gambar 3.3.4 Ilustrasi I Teorema 3.3.2 Dengan induksi ini memenuhi bahwa gabungan semua membagi R kedalam koleksi terbatas, = { , , … , } daerah segibanyak konvek, seperti berikut : Setiap berada di dalam salah satu � dan di dalam salah satu ′ � . Untuk setiap dibuat triangulasi bintang. Gabungan dari triangulasi bintang untuk setiap akan membentuk komplek K yang merupakan subdivisi dari � dan � . □ Selanjutnya akan dijelaskan daerah segibanyak yang ekuivalen. Gambar 3.3.5 Ilustrasi II Teorema 3.3.2 Gambar 3.3.6 Ilustrasi III Teorema 3.3..2 Definisi 3.3.5 Moise, 1990: 392 Diberikan daerah segibanyak dan . Andaikan bahwa keduanya memiliki triangulasi � = { , , … , }, � = { ′ , ′ , … , ′ } Sehingga untuk setiap i, ≅ ′ . Kemudian dan dikatakan ekuivalen dengan pembagian terbatas, dan ditulis ≡ . Selanjutnya akan diberikan suatu contoh daerah segibanyak yang ekuivalen. Perhatikan gambar berikut Pada gambar terlihat bahwa ≅ . Oleh karena itu ≡ . Gambar 3.3.7 Segibanyak Yang Ekuivalen

3.4 Defek Daerah Segibanyak

Pada Teorema 3.2.5 telah dibuktikan bahwa defek adalah fungsi luas daerah triangular. Luas daerah triangular pada geometri hiperbolik disimbolkan dengan � , dimana � adalah defek. Dibawah HPP � untuk setiap T dan postulat luas A-4 additivity postulate juga dapat digunakan. Selanjutnya akan didefinisikan fungsi luas � yang lebih umum, sehingga dapat digunakan pada semua daerah segibanyak. Kita akan melakukannya dengan beberapa tahapan. Definisi 3.4.1 Moise, 1990 : 398 Pertama diberikan komplek � = { , , … , }, A C B D Gambar 3.4.1 Segitiga Didefinisikan � � = � + � + ⋯ + � . Telah dijelaskan sebelumnya lihat sub bab 2.9 bahwa setiap daerah segibanyak R memiliki triangulasi K yang tak hingga banyaknya. Selanjutnya � akan didefinisikan sebagai � � . Tetapi untuk melakukan ini pertama-tama harus ditunjukan bahwa � � hanya tergantung pada R dan dapat dipilih sembarang triangulasi K. Selanjutnya akan ditunjukan defek dari suatu triangulasi bintang dari daerah segibanyak konvek. Definisi 3.4.2 Milman Parker,1991: 265 Jika segibanyak dengan derajat n, maka dan + didefinisikan = dan + = . Sudut pada titik adalah ∠ = ∠ − + untuk 1 ≤ i ≤ n. Lema 3.4.1 Milman Parker,1991: 265 Diberikan triangulasi bintang dari daerah segibanyak konvek R dan P titik sudut pusat triangulasi bintang. Maka jumlah defek daerah triangular dari triangulasi bintang pada R adalah � = − − ∑ ∠ = , dengan n adalah banyak titik sudut segibanyak konvek R. Bukti : Untuk � didefinisikan , , dengan = ∠ + , = ∠ + , Gambar 3.4.2 Jumlah Defek Triangulasi Bintang P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P