Postulat Luas LANDASAN TEORI

Diberikan ℛ sebagai himpunan semua daerah segibanyak, sehingga �: ℛ ⟶ ℝ. Selanjutnya akan diberikan beberapa postulat luas. A-1 � adalah fungsi ℛ ⟶ ℝ, dimana ℛ adalah himpunan semua daerah segibanyak dan ℝ adalah himpunan semua bilangan real. Dapat ditulis �: ℛ ⟶ ℝ; ℛ = { | adalah daerah segibanyak}; ℝ = himpunan semua bilangan real. A-2 Untuk setiap daerah segibanyak , � . Dapat ditulis � , ∀ ℛ. A-3 The Congruence Postulate. Jika dua daerah triangular kongruen, maka keduanya memiliki luas yang sama. Diberikan , adalah daerah triangular, � = � , ≅ . A-4 The Additivity Postulate. Jika dua daerah segibanyak berpotongan hanya pada batas dan titik sudutnya, maka luas gabungan dua daerah segibanyak tersebut adalah gabungan dari luasnya. Diberikan , adalah daerah segibanyak. Jika = ℓ, dengan ℓ = himpunan garis-garis, maka � = � + � . Definisi 2.9.4 Moise, 1990: 204 Diberikan suatu daerah segibanyak R, diekspresikan sebagai gabungan dari daerah triangular yang terbatas, beririsan hanya pada batas dan titik sudutnya. Himpunan K yang anggota-anggotanya daerah triangular disebut komplek, dan disebut triangulasi dari R. Pada Gambar 2.9.5, komplek K adalah himpunan { , , , , }. Gambar 2.9.4 Postulat Penjumlahan Gambar 2.9.5 Triangulasi R dan K adalah objek yang berbeda. R adalah himpunan titik-titik yang banyaknya tak hingga, sedangkan K adalah himpunan daerah triangular yang terbatas.

2.10 Sudut Luar Segitiga dan Konsekuensinya

Teorema 2.10.1 Prenowitz Jordan, 1965: 22 Sebuah sudut luar segitiga lebih besar dari kedua sudut dalam yang tidak bersisian dengan sudut tersebut. Bukti : Diberikan sembarang ∆ABC, ambil D pada , sehingga B − C − D. Pertama-tama akan ditunjukan bahwa ∠ACD lebih besar dari ∠A. Ambil E sebagai titik tengah AC ̅̅̅̅ dan ambil F pada sehingga = . Sebab = , = , dan ∠ = ∠ , maka ∆ ≅ Gambar 2.10.1 Ilustrasi I Teorema 2.10.1 E A F B C D ∆ Sisi,Sudut,Sisi, akibatnya ∠ = ∠ . Karena ∠ ∠ , maka ∠ ∠ = ∠ . Selanjutnya ambil H pada , sehingga A-C-H. Akan ditunjukan ∠ ∠ . Cara yang digunakan sama dengan pembuktian diatas. Ambil M sebagai titik tengah ̅̅̅̅, kemudian ambil N pada sehingga = . Sebab = , = , dan ∠ = ∠ , maka ∆ ≅ ∆ . Sehingga ∠ = ∠ . Karena ∠ ∠ , maka ∠ ∠ = ∠ . □ Teorema 2.10.2 Prenowitz Jordan, 1965: 24 Jumlah ukuran dua sudut segitiga kurang dari 180. N Gambar 2.10.2 Ilustrasi II Teorema 2.10.1 B A C H M Bukti: Diberikan sembarang ∆ . Akan ditunjukan ∠ + ∠ . Ambil D pada sehingga C-B-D. ∠ adalah sudut luar ∆ . Dari Teorema 2.10.1, didapat ∠ ∠ . Kemudian ∠ = − ∠ . Dengan substitusi didapat − ∠ ∠ ∠ + ∠ Oleh sebab itu m ∠ + ∠ . □ Teorema 2.10.3 Milman Parker, 1991: 138 Jika dua sisi segitiga tidak sama panjang, bersama dengan sudut dihadapan dua sisi segitiga tersebut, maka sudut yang lebih besar adalah sudut dihadapan sisi yang lebih panjang. Dengan kata lain dalam ∆ jika , maka ∠ ∠ . Bukti : Gambar 2.10.3 Ilustrasi Teorema 2.10.2 A B C D