6
BAB II LANDASAN TEORI
2.1 Pengenalan Geometri Non-Euclid
Sub bab ini berisi sejarah singkat penemuan geometri hiperbolik geometri Lobachevsky dan geometri Eliptik geometri Riemann yang
termasuk dalam geometri non-Euclid. Selama lebih dari 2000 tahun, “Elements” buku yang ditulis oleh Euclid sekitar 300 tahun sebelum
masehi dianggap sebagai model dari penalaran matematika. Buku yang ditulis Euclid ini mengandung lima postulat. Postulat yang kelima disebut
postulat kesejajaran kemudian disebut postulat kesejajaran Euclid. Dalam kurun waktu yang lama matematikawan percaya bahwa geometri
Euclid merupakan satu-satunya teori ruang yang mungkin dan mendeskripsikan secara tepat dunia nyata. Tetapi ketika posisi dari
geometri Euclid dikritisi oleh penemuan geometri non-Euclid pada abad sembilan belas, para matematikawan mulai tergoncang. Sebuah revolusi
pada matematika terjadi, sebanding dengan revolusi Copernicus pada astronomi dan revolusi Darwin pada biologi.
Sebelum ditemukannya geometri non-Euclid, ada beberapa matematikawan yang menganggap bahwa postulat kesejajaran Euclid tidak
sederhana dan mencoba membuktikannya. Beberapa matematikawan yang mencoba membuktikan postulat kesejajaran Euclid adalah Proclus 410-
485, John Wallis 1616-1703, dan Girolamo Saccheri 1667-1733.
Namun usaha ini tidak berhasil. Kegagalan dalam setiap usaha pembuktian postulat kesejajaran Euclid pada akhirnya menuntun pada kesadaran
bahwa postulat kesejajaran tersebut tidak pasti, dan dimungkinkan adanya teori lain dari geometri. Teori yang lain tersebut dinamakan geometri non-
Euclid, yaitu teori yang tidak berdasarkan pada posulat kesejajaran Euclid. Kegagalan dalam 20 abad akhirnya memicu sebuah pencetusan
keraguan pemikiran matematikawan sehingga pada 1830 J. Bolyai 1802- 1860, seorang staf angkatan darat Hungaria, N.I. Lobachevsky 1793-
1856, seorang Profesor matematika Rusia pada Universitas Kazan, dan sang agung Gauss sendiri telah mengembangkan secara independen teori
geometri berdasarkan kontradiksi postulat kesejajaran Euclid Prenowitz Jordan, 1965: 53. Kemudian geometri ini dinamakan geometri hiperbolik.
Bolyai dan Lobachevsky berhasil menyaingi postulat kesejajaran Euclid. Kemudian matematikawan meniru untuk membangun teori
geometri non-Euclid lainnya. Selanjutnya, pada 1854, seorang matematikawan Jerman B. Riemann memperkenalkan teori non-Euclid
yang berbeda dari geometri hiperbolik berdasarkan pada asumsi bahwa tidak ada garis yang sejajar. Kemudian geometri Riemann ini dinamakan
geometri eliptik. Geometri Euclid, geometri hiperbolik, dan geometri eliptik
merupakan teori-teori geometri yang berbeda. Ketiga geometri ini berdasar pada postulat kesejajarannya masing-masing. Geometri hiperbolik dan
geometri eliptik termasuk dalam geometri non-Euclid karena postulat kesejajarannya tidak berdasarkan pada postulat kesejajaran Euclid.
2.2 Geometri Insiden
Menurut Prenowitz dan Jordan 1965: 119, insiden merupakan suatu relasi geometri yang paling dasar. Sebagai contoh diberikan relasi
insid en dengan pernyataan berikut, “Sebuah titik terletak pada sebuah
garis,” yang ekuivalen dengan “Sebuah garis melalui suatu titik.” Pernyataan lain yang mengekspresikan relasi insiden adalah, “Sebuah titik
pada sebuah bidang”, “Sebuah garis pada sebuah bidang”, “Dua garis berpotongan.” Jadi relasi insiden mengekpresikan keterkaitan posisi antara
titik, garis, dan bidang. Ruang space akan dianggap sebagai himpunan
, adalah himpunan semua titik pada ruang. Selanjutnya diberikan himpunan bagian
dari , yang disebut garis-garis lines dinyatakan dengan
ℒ, dan himpunan bagian dari yang disebut bidang-bidang planes dinyatakan
dengan �. Maka anggota dari , ℒ, dan � berturut-turut disebut titik-titik,
garis-garis, dan bidang-bidang. Titik, garis, dan bidang tidak didefinisikan.
Suatu garis akan memanjang sampai tak hingga pada kedua arahnya seperti berikut :
Kategori