22
dengan | | = |
′
| adalah elemen panjang-busur pada ℂ Anderson, 2005: 74.
E. Sudut pada Bidang Kompleks ℂ
Sudut antar kurva dan
pada bidang kompleks ℂ yang berpotongan
di diperoleh dari sudut antara garis singgung kurva
dan di
. Definisi untuk sudut antar kurva di bidang kompleks
ℂ didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 2.4 Anderson, 2005: 53
Diberikan dua kurva smooth dan
di ℂ yang berpotongan di ,
didefinisikan ∠
, sudut antara
dan di
adalah sudut antara garis singgung
dan di
, besar sudut diukur dari ke
Gambar 2.6.
Gambar 2.6 Ilustrasi Definisi 2.4
Pengukuran sudut yaitu dengan berlawanan arah jarum jam untuk sudut positif dan searah jarum jam untuk sudut negatif. Berdasarkan definisi diperoleh
bahwa ∠
, = −∠
, .
23
Berdasarkan definisi 2.4 maka dapat dicari besar sudut antar dua kurva menggunakan garis singgung pada titik perpotongan. Besar sudut antara dua
garis singgung dapat dicari menggunakan selisih antara arctan dari tiap kemiringan garisnya.
Misalkan � dan � adalah dua garis Euclides di ℂ yang berpotongan di sebuah
titik , misalkan adalah titik di
� dan bukan , dan misalkan kemiringan garis gradien
� adalah . Gradien garis � dapat diperoleh dari =
− −
Misalkan � adalah sudut yang terbentuk antara garis � dan sumbu real, maka
diperoleh = tan �
Secara khusus besar sudut yang terbentuk antara � dan � adalah
� , � = arctan − arctan
= � − � Berikut akan diberikan proposisi mengenai sudut antar busur lingkaran
berpusat di sumbu real pada bidang kompleks ℂ :
Proposisi 2.5 Stahl, 1993: 95
Diberikan sembarang titik z, misalkan X adalah sinar garis Euclides dan misalkan
� , � , � adalah lingkaran Euclides yang berpusat di , , Gambar 2.7, maka
∠ � , � = ∠ ,
tipe I , ∠ � , � = − ∠
, tipe II ,
24
dan ∠ �, � = ∠
tipe III .
Gambar 2.7 Ilustrasi untuk Proposisi 2.5
Bukti: Misalkan X adalah sinar garis Euclides tegak lurus sumbu real dan melalui d.
Misalkan � , � , � adalah lingkaran Euclides berpusat di , , dan
, , berada pada sumbu real. Misalkan z adalah titik potong �, � , � , dan � . Misalkan dan adalah garis singgung Euclides dari �
dan � terhadap z. Terdapat fakta bahwa garis singgung lingkaran tegak lurus
terhadap jari-jari lingkaran pada titik singgung lingkaran, sehingga ∠ � , � = ∠ ,
= ∠ , − ∠ ,
= − ∠ ,
= ∠ , − ∠ ,
= ∠ ,
dengan cara yang sama PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
∠ �, � = ∠ �, = − ∠ ,
− ∠ , �
= − ∠ , � = ∠
dan ∠ � , � = ∠ � , � + ∠ �, � = ∠
+ ∠ = − ∠ ,
. Terbukti untuk Proposisi 2.5.
QED.
Berikut akan diberikan cara untuk menghitung besar sudut menurut Proposisi 2.5 :
a. Tipe I Misalkan dua lingkaran
dan memiliki pusat di dan dengan jari-
jari dan
berpotongan di Gambar 2.8. Misalkan
∠ ,
= � adalah sudut antara dua lingkaran
dan .
Berdasarkan Proposisi 2.5 maka ∠
, = ∠ ,
sehingga ∠ ,
= �. Menggunakan aturan kosinus sudut
� dapat ditentukan yaitu | − | =
+ −
cos � cos � =
+ − | − |
26
sehingga sudut � dapat ditentukan dari arccos �.
Gambar 2.8 Ilustrasi sudut tipe I
b. Tipe II Misalkan dua lingkaran
dan memiliki pusat di dan dengan jari-
jari dan
berpotongan di Gambar 2.9. Misalkan
∠ ,
= � adalah sudut antara dua lingkaran
dan .
Berdasarkan Proposisi 2.5 maka ∠
, = − ∠ ,
sehingga ∠ ,
= − �. Menggunakan aturan kosinus sudut
− � dapat ditentukan yaitu | − | =
+ −
cos − � cos − � = − cos � =
+ − | − |
cos � = − +
− | − | PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
sehingga sudut � dapat ditentukan dari arccos �.
Gambar 2.9 Ilustrasi Tipe II
c. Tipe III Misalkan garis
� adalah garis yang melalui di dan tegak lurus X. Misalkan lingkaran
memiliki pusat di dengan jari-jari , dan garis � tegak lurus garis X berpotongan di . Lingkaran berpotongan
dengan garis X di Gambar 2.10.
Misalkan ∠
, � adalah sudut antara lingkaran dan garis X dengan besar sudut
�. Berdasarkan Proposisi 2.5 maka ∠ , � = ∠
sehingga ∠
memiliki besar sudut �. Karena titik , , dan membentuk segitiga siku-siku di
, sehingga sudut � dapat diperoleh dari
cos � = | − | PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
sehingga sudut � dapat ditentukan dari arccos �.
Gambar 2.10 Ilustrasi Tipe III
F. Transformasi Konformal pada Bidang Kompleks ℂ
Kategori