31
G. Riemann Sphere ℂ̅
Bidang lengkung atau permukaan lengkung sukar bila disajikan ke dalam bidang datar, misalkan permukaan bola atau permukaan hiperbolik.
Salah satu cara untuk memproyeksikan permukaan bola adalah dengan menggunakan proyeksi stereografi. Proyeksi tersebut memungkinkan untuk
memetakan permukaan bola ke dalam suatu bidang datar Olsen, 2010: 7. Misalkan diberikan bola satuan
� di ℝ dengan � = { , , ∈ ℝ | +
+ = } berpusat di
, , , adalah kutub utara dengan koordinat di
, , , dan bidang kompleks ℂ adalah bidang yang terbentuk saat = . Untuk setiap titik
∈ � , terdapat tepat satu segmen garis yang menghubungkan N ke P. Garis tersebut menembus bidang kompleks
ℂ tepat di satu titik z Gambar 2.11. Titik P yang merupakan titik tembus segmen garis
terhadap bola satuan disebut proyeksi stereografi dari titik z. Oleh karena itu, proyeksi stereografi dari titik di tak hingga
{∞} bersesuaian dengan kutub utara N dari bola. Dengan demikian bidang kompleks
ℂ ditambahkan dengan titik ditak hingga
{∞} “sebenarnya” merupakan bola dan disebut sebagai Reimaan sphere Krantz, 1999: 83.
Reimaan sphere atau disebut juga sebagai bidang kompleks yang diperluas, didefinisikan sebagai himpunan
ℂ̅ = ℂ {∞}, PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
dengan kata lain adalah bidang kompleks yang ditambahkan sebuah titik yang tak terdapat di
ℂ yang dinotasikan dengan ∞. Anderson, 2005: 9.
Gambar 2.11 Proyeksi Stereografi
Lingkaran pada � yang melalui diproyeksikan menjadi garis Euclides
pada bidang kompleks ℂ dan sebuah titik di tak hingga ∞, sedangkan untuk
lingkaran yang tidak melalui diproyeksikan menjadi lingkaran Euclides pada bidang
ℂ. Pada Riemann sphere lingkaran didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 2.9 Anderson, 2005: 12
Lingkaran pada ℂ̅ adalah lingkaran Euclides di ℂ atau gabungan garis Euclides
di ℂ dengan {∞}.
Setelah didefinisikannya Riemann sphere ℂ̅ dan lingkaran di dalamnya, akan
diberikan suatu transformasi yang terdapat pada Riemann sphere ℂ̅.
H. Inversi
Kategori