49
kata lain berpotongan di tak hingga, maka besar sudut yang terbentuk dari kedua garis hiperbolik tersebut adalah . Hal ini mudah ditunjukkan
karena garis yang berpotongan di tak hingga sebenarnya tidak berpotongan sehingga tidak ada sudut yang terbentuk.
Setelah membahas objek-objek dasar pada geometri hiperbolik, selanjutnya akan dibahas satu topik yang juga menjadi dasar munculnya
geometri hiperbolik yaitu kesejajaran garis.
C. Kesejajaran dalam geometri hiperbolik
Pada geometri Euclides, dua garis sejajar selalu berjarak sama, dengan kata lain jika L dan K adalah garis-garis sejajar pada geometri Euclides dan
misalkan a dan b adalah titik pada garis L, sehingga jarak titik a ke garis K akan sama dengan jarak titik b ke garis K Gambar 3.5.
Gambar 3.5 Dua Garis Sejajar pada Geometri Euclides
Sedangkan pada geometri hiperbolik dua garis sejajar tidak selalu harus berjarak sama, dua garis sejajar dalam geometri hiperbolik hanya disyaratkan
untuk saling lepas tidak berpotongan. Pada model setengah bidang atas ℍ dua
garis hiperbolik sejajar didefinisikan sebagai berikut. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
Definisi 3.4 Anderson, 2005: 5
Dua garis hiperbolik pada ℍ dikatakan sejajar jika kedua garis tersebut saling
lepas. Dua garis hiperbolik yang saling lepas dalam geometri hiperbolik dipandang
sebagai garis yang mutlak tidak berpotongan atau dapat pula berpotongan di tak hingga, sehingga garis hiperbolik yang berpotongan di tak hingga dianggap
sejajar. Dasar utama yang membedakan geometri Euclides dengan geometri
hiperbolik adalah dari postulat kelima Euclides atau disebut juga sebagai postulat kesejajaran. Postulat kesejajaran yang berbunyi
“Diberikan sebuah garis dan sebuah titik p di luar garis L, maka ada tepat satu garis yang melalui
p dan sejajar terhadap L ” Stahl, 1993: 28. Pada geometri hiperbolik postulat
kesejajaran menggunakan salah satu kontradiksi dari postulat kesejajaran Euclides seperti berikut.
Aksioma 3.5 Greenberg, 1980: 148
Diberikan sebuah garis dan sebuah titik di luar garis, ada setidaknya dua garis
yang melalui garis tersebut dan sejajar dengan garis yang diberikan.
Pada model setengah bidang atas dapat ditunjukkan bahwa memang terdapat setidaknya terdapat dua garis sejajar yang melalui sembarang titik di luar garis.
Misalkan ℓ adalah garis hiperbolik pada ℍ dan titik p tidak pada ℓ akan
diperlihatkan bahwa ada setidaknya dua garis hiperbolik yang melalui p dan sejajar
ℓ. Kasus pertama untuk garis hiperbolik ℓ adalah garis yang tegak lurus PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
sumbu real, dan kasus kedua untuk garis hiperbolik ℓ adalah busur lingkaran
yang berpusat di ℍ. Maka akan ada garis hiperbolik dan � seperti Gambar
3.6.
Pada geometri hiperbolik terdapat teorema yang memuat perumuman mengenai postulat kesejajaran. Teorema ini menjelaskan bahwa ada tak hingga
garis sejajar yang bisa dibuat melalui titik di luar garis. Pada model setengah bidang atas
ℍ teorema tersebut dinyatakan sebagai berikut.
Teorema 3.6 Anderson, 2005: 5
Misalkan ℓ adalah garis hiperbolik di ℍ, dan p adalah titik di ℍ tidak terletak
pada ℓ. Ada tak hingga banyak garis hiperbolik berbeda yang melalui p dan
sejajar terhadap ℓ.
Bukti: Ada dua kasus yang mungkin. Kasus pertama, misalkan garis hiperbolik
ℓ termuat pada garis Euclides L. p tidak pada L, terdapat garis Euclides K yang
melalui p dan sejajar terhadap L. Garis Euclides L tegak lurus terhadap ℝ,
Kasus pertama Kasus kedua
Gambar 3.6 Garis-garis Hiperbolik yang Sejajar melalui Sembarang Titik
52
sehingga garis Euclides K tegak lurus terhadap ℝ juga. Jadi, satu garis
hiperbolik pada ℍ melalui p dan sejajar terhadap ℓ adalah irisan dari ℍ
. Untuk membuat garis hiperbolik lain yang melalui p dan sejajar terhadap
ℓ, ambil sebuah titik x pada
ℝ diantara K dan L, dan misalkan A adalah lingkaran berpusat di
ℝ dan melaui x dan p. kita tahu bahwa terdapat lingkaran A karena Rex ≠ Rep.
A saling lepas terhadap L, dan juga garis hiperbolik ℍ
saling lepas terhadap ℓ. Dengan demikian ℍ
adalah garis hiperbolik kedua yang melalui p dan sejajar terhadap
ℓ. Terdapat tak hingga banyak titik pada ℝ diantara K dan L, ini mengakibatkan tak hingga banyak garis hiperbolik yang dapat dibuat
melalui p dan sejajar ℓ. Gambar 3.7
Gambar 3.7 Ilustrasi Sejajar untuk Kasus Pertama
Kasus kedua, mengandaikan garis hiperbolik ℓ terletak pada lingkaran Euclides
A. Misalkan D adalah lingkaran konsentris berpusat pada titik yang sama terhadap A dan melalui p. Dua lingkaran yang konsentrasi akan saling lepas,
sehingga garis yang melalui p dan sejajar terhadap ℓ adalah perpotongan ℍ
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
Untuk membuat garis hiperbolik lain yang melalui p dan sejajar terhadap ℓ,
ambil sembarang titik x dalam ℝ di antara A dan D. Misalkan E adalah
lingkaran berpusat pada ℝ dan melalui x dan p. E dan A saling lepas, dan ℍ
adalah garis hiperbolik yang melalui p dan sejajar terhadap ℓ Gambar 3.8.
Seperti di atas, karena ada tak hingga banyak titik dalam ℝ di antara A dan D,
ada tak hingga banyak garis hiperbolik berbeda yang melalui p dan sejajar terhadap
ℓ. QED.
Setelah membahas mengenai kesejajaran pada geometri hiperbolik untuk model setengah bidang atas
ℍ, akan dilanjutkan untuk membahas bagaimana jarak hiperbolik pada model setengah bidang atas
ℍ didefinisikan.
Gambar 3.8 Ilustrasi Sejajar untuk Kasus Kedua
54
D. Jarak Hiperbolik
