84
Gambar 4.9 Ilustrasi Poligon Hiperbolik Berdasarkan Definisi
Pada skripsi ini hanya akan dibahas mengenai poligon hiperbolik konvek, sehingga besar sudut dalam tiap titik sudut poligon hiperbolik kurang dari
. Namun akan tetap dibahas mengenai definisi luas hiperbolik untuk sembarang
area pada setengah bidang atas ℍ.
C. Definisi Luas Hiperbolik
Pada setengah bidang atas ℍ panjang suatu lintasan ditentukan oleh
elemen panjang busur
�
| |. Luas hiperbolik pada setengah bidang ℍ mengambil pendekatan integral dari persegi menggunakan elemen panjang
busur. Pada setengah bidang ℍ luas daerah X didefinisikan sebagi berikut:
Definisi 4.10 Anderson, 2005: 164
Luas hiperbolik
ℍ
� dari himpunan X di ℍ diberikan
ℍ
� = ∫
�
= ∫
�
dengan = + � .
Apakah definisi tersebut dapat digunakan sebagai ukuran luas suatu daerah atau tidak?. Hal tersebut akan diuji dengan beberapa aksioma mengenai luas
85
suatu daerah. Pada geometri Euclides terdapat beberapa aksioma dalam mendefinisikan konsep luas yaitu Stahl, 1993: 110:
1. Keberadaan : Setiap poligon memiliki luas yang tak negatif. 2. Invarian : Poligon kongkruen dengan daerah tertutup memiliki luas yang
sama 3. Additiviti : Jika daerah poligon R adalah gabungan dari dua daerah
poligon S dan T yang berhimpitan pada batasnya, maka luas R sama dengan hasil jumlahan luas S dan T.
4. Persegi panjang : Luas persegi panjang adalah hasil kali dari panjang dan lebar.
Namun, pada aksioma-aksioma tersebut terdapat konsep persegi yang tidak dapat disajikan dalam geometri hiperbolik, sehingga aksioma tersebut tidak
dapat diterapkan pada geometri hiperbolik. Definisi yang lebih umum dan logis untuk setiap daerah termuat secara
aksiomatis dalam Pengertian Umum Bab II. Euclides mengasumsikan bahwa gagasan yang logis untuk luas itu ada, dengan kelogisan gagasan tersebut dibuat
tepat dengan persyaratan Pengertian Umum. Aksioma inilah yang digunakan untuk mendasari ketepatan definisi luas hiperbolik pada setengah bidang atas
ℍ. Pembuktian definisi luas hiperbolik pada model setengah atas
ℍ memenuhi kaidah Pengertian Umum diberikan sebagai berikut.
a. Pengertian Umum 1 hanya mensyaratkan bahwa dua daerah yang memiliki luas hiperbolik yang sama dengan daerah ketiga memiliki luas hiperbolik
yang sama satu sama lain. Hal ini jelas karena bila R, S, T adalah suatu PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
daerah sehingga =
dan =
maka dengan kaidah logika dasar diperoleh bahwa
= .
b. Pengertian Umum 2 menetapkan bahwa ketika sesuatu yang sama ditambahkan dengan sesuatu yang sama maka hasilnya akan sama. Dapat
dijelaskan bahwa yang dimaksudkan oleh Euclides, penambahan adalah di mana dua poligon dijajarkan sehingga saling berhimpitan pada batas-
batasnya. Jika R dan S adalah dua daerah dan adalah gabungannya,
maka persamaan umum integralnya adalah
= ∫ = ∫
+ ∫
= +
. c. Pengertian Umum 3 yang menyatakan bahwa ketika sesuatu yang sama
dikurangkan dengan sesuatu yang sama maka hasilnya akan sama. Dapat didapatkan dengan cara yang sama dengan Pengertian Umum 2. Jika R dan
S adalah dua daerah dan − adalah selisihnya, dengan R tidak lebih kecil
daripada S maka persamaan umum integralnya adalah
− = ∫
−
= ∫ − ∫
= −
. d. Pengertian Umum 4 menetapkan bahwa daerah yang kongruen memiliki
luas yang sama. Hal ini dapat ditunjukkan dengan kenyataan bahwa daerah hiperbolik invarian panjang dan sudut tetap terhadap transformasi M
̈bius PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
sehingga mempertahankan bentuknya. Misalkan R adalah sebarang daerah hiperbolik dan
R’ adalah hasil transformasi dari R. Misalkan sembarang titik di R adalah
= + � dengan transformasi M ̈bius =
+ +
, dengan , , , ∈ ℝ dan
− = maka
= +
+ = +
̅ + +
̅ +
= +
+ +
+ +
+ + �
+ +
.
Misalkan =
, + �
, maka akan di cari .
Menggunakan Jacobian diperoleh
= −
= +
− +
+ +
+
= +
− +
+ +
+ +
+
= +
+ +
+ +
+
= +
+ +
+
= +
+ ,
sehingga diperoleh =
+ +
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
Berdasarkan uraian di atas dapat ditentukan luas R’ yaitu
′
= ∫
′
= ∫ +
+
′
= ∫ +
+ .
+ +
= ∫ =
,
sehingga nampak bahwa definisi tersebut memenuhi Pengertian Umum 4. Akibat dari Pengertian Umum 4 ini adalah bahwa transformasi M
̈bius mempertahankan luas daerah hiperbolik.
e. Pengertian Umum 5 menetapkan bahwa keseluruhan lebih besar daripada bagian. Jika
adalah suatu daerah, maka berdasarkan Pengertian Umum 3 diperoleh
= +
karena luas daerah tidak negatif maka diperoleh ,
Terbukti bahwa keseluruhan lebih besar dari pada bagian. Setelah terbukti bahwa definisi luas hiperbolik memenuhi Pengertian Umum,
maka definisi tersebut valid untuk digunakan. Berikut adalah contoh penggunaan definisi luas hiperbolik untuk mencari luas hiperbolik pada suatu daerah di
ℍ. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
89
Contoh 4.1:
Area X di ℍ dibatasi oleh tiga garis Euclides { ∈ ℍ |
= − }, { ∈ ℍ |
= }, dan { ∈ ℍ | = } Gambar 4.1. Perhatikan bahwa
{ ∈ ℍ | = } bukan garis hiperbolik , daerah X bukan poligon
hiperbolik, meskipun konvek.
Gambar 4.10 Ilustrasi Contoh 4.1
Jawab: Luas hiperbolik X adalah
ℍ
� = ∫
�
= ∫ ∫
∞ −
= ∫ − −
−
= ∫
−
= Jadi luas hiperbolik daerah X adalah 2.
Contoh 4.2:
Untuk , misalkan � adalah daerah di ℍ yang dibatasi oleh tiga garis
Euclides { ∈ ℍ |
= − }, { ∈ ℍ | = }, dan { ∈ ℍ |
= }. Hitunglah luas
ℍ
� PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
90
Jawab: Luas hiperbolik X
s
adalah
ℍ
� = ∫
�
�
= ∫ ∫
∞ −
= ∫ − −
−
= ∫
−
=
Jadi luas hiperbolik daerah � adalah .
Definisi luas hiperbolik beserta contoh penggunaannya telah dibahas pada bagian ini. Selanjutnya akan dibahas luas poligon hiperbolik serta contoh dalam
mencari luas poligon hiperbolik pada setengah bidang atas ℍ.
D. Luas Poligon Hiperbolik
