38
= −
− =
sin − sin cos − cos = tan � .
Berdasarkan Teorema 2.5, maka � dan � adalah garis Euclides atau
lingkaran Euclides. Karena � tetap melalui
dan maka
kemiringan dari garis � adalah
= −
− =
− −
= − sin − sin
cos − cos = − tan � = tan −� .
Secara khusus diperoleh bahwa ∠ � , � = arctan
− arctan = −� + � = − � − �
= −∠ � , � = ∠ � , � Teorema 2.12 terbukti.
QED.
Bersama dengan transformasi affine, inversi merupakan komposisi dari transformasi M
̈bius pada Riemann sphere ℂ̅.
I. Transformasi M �̈bius dan Cross Rasio
Transformasi M ̈bius adalah suatu transformasi yang juga disebut linear
fractional transformations atau transformasi bilinear. Transformasi ini definisikan sebagai suatu fungsi pada Riemann sphere
ℂ̅. Definisi transformasi M
̈bius di ℂ̅ adalah sebagai berikut. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
Definisi 2.13 Olsen, 2010: 11
Transformasi M ̈bius adalah pemetaan : ℂ̅ → ℂ̅ yaitu
= +
+ dengan
, , , ∈ ℂ dan −
≠ . Sifat-sifat transformasi M
̈bius disajikan dalam teorema berikut.
Teorema 2.14 Olsen, 2010: 11
Misalkan f sembarang transformasi M ̈bius, maka
i. dapat diubah dalam komposisi transformasi affine dan inversi
ii. memetakan lingkaran di
ℂ̅ ke lingkaran di ℂ̅ iii.
konformal. Bukti:
i. Diberikan f sebagai
= +
+ , , , , ∈ ℂ,
− ≠
Jika dimisalkan , , dan dengan
= + ,
= , dan =
− + . Kita tahu bahwa
, dan adalah
transformasi affine dan adalah inversi. Akan ditunjukkan bahwa f
adalah komposisi dari , , dan .
∘ ∘
= + −
+ = +
− +
+
= +
− +
+ =
+ + =
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
ii. Transformasi affine mempertahankan lingkaran dan garis di
ℂ serta transformasi affine memetakan
{∞} ke {∞} , sehingga Transformasi affine mempertahankan lingkaran di
ℂ̅. Inversi juga mempertahankan lingkaran di
ℂ̅. Berdasarkan i maka transformasi M ̈bius mempertahankan lingkaran di
ℂ̅. iii.
Karena transformasi affine dan inversi konformal, maka Berdasarkan i transformasi M
̈bius konformal. Teorema 2.14 terbukti.
QED.
Selanjutnya akan diberikan definisi tentang cross ratio di ℂ̅ yang
dinyatakan Olsen 2010 sebagai berikut.
Definisi 2.15 Olsen, 2010: 15
Misalkan , , , dan adalah titik-titik di ℂ̅ dan dapat dibentuk menjadi
, , , =
− −
− −
. .
Persamaan 2.19 disebut cross ratio dari empat titik , , , dan .
Misalkan dua lingkaran dan
dipilih titik-titik , , pada dan
, , pada , maka dapat ditentukan suatu transformasi M ̈bius h sehingga
ℎ =
, ℎ
= ,
ℎ =
, . dan h akan memetakan
ke . Cara untuk mencari h adalah dengan
memetakan ke sumbu real dan memetakan sumbu real ke
. Untuk PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
memetakan ke sumbu real, maka penyelesaian persamaan 2.20 adalah
= , = , dan
= ∞. Jika titik
≠ ∞ diberikan transformasi M ̈bius f yaitu
= −
− −
− ,
sehingga diperoleh = ,
= , = ∞. Jika satu dari tiga titik
tersebut = ∞ merupakan garis diperoleh persamaan sebagai berikut:
= −
− = ∞ ,
= −
− = ∞ ,
= −
− = ∞
sehingga diperoleh = ,
= , = ∞. Misalkan g adalah
transformasi M ̈bius yang membawa
= , = ,
= ∞, maka diperoleh pemetean
ℎ =
−
∘ sehingga ℎ
=
−
∘ =
−
= ℎ
=
−
∘ =
−
= ℎ
=
−
∘ =
−
∞ = .
Perhatikan bahwa ℎ
= dapat dibentuk sebagai
−
= ⇔ =
yang berarti −
− −
− =
− −
− −
.
persamaan tersebutlah yang disebut cross ratio. 2.21
42
BAB III MODEL BIDANG HIPERBOLIK
