Transformasi Konformal pada Bidang Kompleks ℂ

28 sehingga sudut � dapat ditentukan dari arccos �. Gambar 2.10 Ilustrasi Tipe III

F. Transformasi Konformal pada Bidang Kompleks ℂ

Terdapat beberapa transformasi dalam bidang kompleks ℂ yang memiliki sifat konformal yaitu transformasi yang mempertahankan sudut. Transformasi affine adalah salah satu transformasi konformal. Transformasi ini adalah komposisi dari beberapa transformasi sederhana seperti dilatasi, rotasi, dan translasi dalam bidang kompleks ℂ Olsen, 2010: 2. Dilatasi, rotasi, dan translasi sederhana dalam bidang kompleks ℂ didefinisikan sebagai berikut. i. Dilatasi : = , dengan ∈ ℝ ii. Translasi : = + , dengan ∈ ℂ iii. Rotasi : = , dengan = � . Olsen 2010 menyatakan transformasi affine didefinisikan sebagai berikut. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 29 Definisi 2.6 Olsen, 2010: 2 Transformasi affine adalah kombinasi dari i, ii, dan iii dengan pemetaan = + dengan , ∈ ℂ dan ≠ . Sifat-sifat dalam transformasi affine seperti mempertahankan garis dan lingkaran Euclides, serta sudut, ditunjukkan oleh beberapa teorema berikut. Teorema 2.7 Olsen, 2010: 3 Transformasi affine mempertahankan lingkaran dan garis Euclides. Bukti: Misalkan diberikan suatu transformasi affine = + dan persamaan garis Euclides + ̅ ̅ + = dengan , , ∈ ℂ dan ∈ ℝ. Menggunakan cara substitusi diperoleh + + ̅ + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + = + + ̅̅̅̅ ̅ + ̅ ̅ + = + ̅̅̅̅ ̅ + + ̅ ̅ + = . Kita tahu bahwa + ̅ ̅ = sehingga persamaan 2.17 merupakan persamaan garis. Dengan transformasi yang sama dan misalkan diberikan persamaan lingkaran Euclides ̅ + + ̅ ̅ + = dengan , ∈ ℝ. Menggunakan cara yang sama diperoleh + + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + + + ̅ + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + = ̅ ̅ + ̅ + + ̅ + ̅̅̅̅ ̅ + + ̅ ̅ + = misalkan = ̅ + maka diperoleh ̅ ̅ + + ̅ ̅ + + ̅ ̅ + = . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 30 Persamaan 2.18 merupakan persamaan lingkaran. Jadi Teorema 2.7 terbukti. QED. Teorema 2.8 Olsen, 2010: 4 Transformasi affine adalah konformal. Bukti: Misalkan � dan � adalah dua garis Euclides di ℂ yang berpotongan di sebuah titik . Misalkan = + dengan , ∈ ℂ, ≠ , dan = � . Misalkan ∠ � , � = � − � dengan � dan � adalah sudut kemiringan garis � dan � . Berdasarkan Teorema 2.6 maka � dan � adalah garis Euclides juga. Karena � melalui dan sehingga kemiringan dari garis � adalah = − − = − − = � − � − = tan + � , secara khusus diperoleh bahwa ∠ � , � = arctan − arctan = + � − + � = � − � = ∠ � , � . Teorema 2.8 terbukti. QED. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 31

G. Riemann Sphere ℂ̅