44
bidang bawah { ∈ ℂ|
}. Lingkaran pada Riemann sphere ℂ̅ dan dua komponennya didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 3.1 Anderson, 2005: 18
Suatu disk D di ℂ̅ merupakan salah satu komplemen dari komponen lingkaran
A di ℂ̅. Pada disk D dan lingkaran A, terlihat bahwa A adalah lingkaran yang
menentukan disk D. Berdasarkan definisi tersebut, untuk setiap disk di
ℂ̅ ditentukan oleh lingkaran di
ℂ̅ dan setiap lingkaran di ℂ̅ ditentukan oleh disk di ℂ̅. Model setengah bidang atas
ℍ adalah disk di ℂ̅ yang ditentukan oleh lingkaran
ℝ ̅. Model setengah bidang atas ℍ memiliki batas di tak hingga
yaitu ℝ
̅. Titik-titik pada ℝ̅ disebut titik di tak hingga atau titik ideal pada model setengah bidang atas
ℍ. Hal ini mengakibatkan jarak hiperbolik sembarang titik ke titik pada
ℝ ̅ adalah tak hingga, dasar untuk argumen ini akan dibahas
dalam subbab D. Sebelum membahas mengenai jarak hiperbolik, akan terlebih dahulu dibahas mengenai hubungan objek-objek geometri Euclides dan
geometri hiperbolik.
B. Hubungan Geometri Euclides dan Geometri Hiperbolik
Pada bagian ini akan dibahas tentang persamaan dan perbedaan objek- objek sederhana pada geometri seperti titik, garis, dan sudut, antara geometri
Euclides dan geometri hiperbolik serta representasinya dalam setengah bidang atas
ℍ. Uraian lebih rinci mengenai titik, garis dan sudut dalam geometri hiperbolik pada model setengah bidang atas
ℍ adalah sebagai berikut. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
1. Titik pada geometri hiperbolik
Titik pada geometri hiperbolik dideskripsikan sama seperti titik pada geometri Euclides yaitu objek geometri yang tidak memiliki panjang dan
tebal. Pada setengah bidang atas ℍ, titik direpresentasikan dengan
koordinat = + � . Titik-titik pada ℝ
̅ atau ketika = disebut
titik ideal atau titik di tak hingga, sehingga terdapat dua jenis titik pada geometri hiperbolik yaitu titik hiperbolik dengan
dan titik ideal untuk
= atau = ∞.
2. Garis hiperbolik dalam model setengah bidang atas ℍ
Setengah bidang atas ℍ adalah disk pada ℂ̅ sehingga garis pada setengah
bidang atas ℍ adalah lingkaran di ℂ̅. Garis hiperbolik di ℍ adalah
perpotongan lingkaran di ℂ̅ terhadap setengah bidang atas ℍ. Berdasarkan
fakta tersebut garis hiperbolik dalam setengah bidang atas ℍ memiliki dua
jenis garis dalam representasinya yaitu berupa garis Euclides tegak lurus sumbu real dan busur setengah lingkaran Euclides dengan pusat lingkaran
di sumbu real. Garis lurus pada geometri hiperbolik disebut geodesik yang selanjutnya
akan disebut sebagai garis hiperbolik. Garis hiperbolik pada setengah bidang atas
ℍ didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 3.2 Anderson, 2005: 2
Ada dua jenis garis hiperbolik pada setengah bidang atas ℍ, keduanya
didefinisikan sebagai objek Euclides pada ℂ. Salah satunya adalah
46
perpotongan dari setengah bidang atas ℍ dengan garis Euclides pada ℂ
tegak lurus ke sumbu real ℝ pada ℂ. Lainnya adalah perpotongan dari ℍ
dengan lingkaran Euclides yang berpusat di sumbu real ℝ Gambar 3.2.
Gambar 3.2 Garis Hiperbolik di
ℍ Berdasarkan definisi 3.2, maka terdapat dua hasil representasi garis
hiperbolik pada setengah bidang atas ℍ yaitu garis Euclides tegak lurus
terhadap sumbu real ℝ dan setengah busur lingkaran Euclides dengan
pusat di sumbu real ℝ.
Dua sembarang titik pada setengah bidang atas ℍ dijamin dapat termuat
pada satu garis hiperbolik tertentu oleh proposisi berikut ini :
Proposisi 3.3 Anderson, 2005: 3
Untuk setiap pasangan titik berbeda p dan q pada ℍ, terdapat sebuah garis
hiperbolik ℓ pada ℍ yang melalui p dan q.
Bukti : Pengandaian pertama yaitu Rep = Req. Kemudian diberikan garis
Euclides = { ∈ ℂ |
= } tegak lurus terhadap aksis real
47
dan melalui p dan q, sehingga membentuk garis hiperbolik ℓ = ℍ
. Garis hiperbolik
ℓ adalah garis hiperbolik yang melalui p dan q. Pengandaian kedua yaitu
Rep ≠ Req. Garis Euclides yang melalui p dan q tidak lagi tegak lurus terhadap
ℝ, dibuatlah lingkaran Euclides dengan pusat lingkaran pada aksis real
ℝ melalui p dan q Gambar 3.3.
Gambar 3.3 Garis Hiperbolik melalui Dua Titik Berbeda
Misalkan adalah segmen garis Euclides yang menghubungkan p dan
q, dan misalkan K garis berat tegak lurus terhadap . Kemudian, setiap
lingkaran Euclides yang melewati p dan q akan berpusat pada K. Berdasarkan pengandaian kedua p dan q mempunyai bagian real yang tak
sama, sehingga garis Euclides K tidak sejajar terhadap ℝ, dan K
berpotongan dengan ℝ tepat pada suatu titik c.
Misalkan A adalah lingkaran Euclides berpusat di c dengan radius | − |,
sehingga A melalui p. Kita tahu bahwa c terdapat pada K, sehingga | − | = | − | mengakibatkan A melewati q. Diperoleh garis
hiperbolik ℓ = ℍ
. Garis hiperbolik ℓ adalah garis hiperbolik yang
melalui p dan q. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
Berdasarkan pengandaian pertama dan kedua maka Proposisi 3.3 terbukti.
QED. 3. Sudut pada geometri hiperbolik
Pada setengah bidang atas ℍ sudut yang terbentuk dari dua garis
hiperbolik didefinisikan sebagai sudut antara garis singgung lingkaran Euclides. Misalkan
ℓ adalah garis hiperbolik dengan pusat lingkaran Euclides pada
dan adalah garis hiperbolik dengan pusat lingkaran
Euclides pada . Garis hiperbolik ℓ dan berpotongan di titik p sehingga
sudut ∠
, ℓ dapat ditentukan dengan membuat garis singgung lingkaran melalui titik p. Misalkan K dan N adalah garis singgung lingkaran Euclides
tersebut, sehingga sudut ∠
, ℓ = ∠ , Gambar 3.4.
Gambar 3.4 Sudut antara Dua Garis Hiperbolik
Sudut pada geometri hiperbolik memenuhi tiga tipe sudut menurut Proposisi 2.5, sehingga besar sudut pada dua garis hiperbolik yang
berpotongan dapat dicari dengan metode yang telah dibahas pada Bab II. Dua garis hiperbolik yang berpotongan pada sumbu real
ℝ atau dengan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
kata lain berpotongan di tak hingga, maka besar sudut yang terbentuk dari kedua garis hiperbolik tersebut adalah . Hal ini mudah ditunjukkan
karena garis yang berpotongan di tak hingga sebenarnya tidak berpotongan sehingga tidak ada sudut yang terbentuk.
Setelah membahas objek-objek dasar pada geometri hiperbolik, selanjutnya akan dibahas satu topik yang juga menjadi dasar munculnya
geometri hiperbolik yaitu kesejajaran garis.
C. Kesejajaran dalam geometri hiperbolik
