Jarak Hiperbolik MODEL BIDANG HIPERBOLIK

54

D. Jarak Hiperbolik

Hal yang menjadi perbedaan utama antara setengah bidang atas ℍ dan bidang Euclides adalah pada konsep panjang. Jarak ke sumbu real ℝ dipengaruhi oleh sumbu imajiner positif sehingga panjang suatu lintasan pada geometri hiperbolik untuk model setengah bidang atas ℍ didefinisikan sebagai berikut. Definisi 3.7 Anderson, 2005: 86 Lintasan dengan : [ , ] → ℍ, panjang hiperbolik didefinisikan ℎ ℍ = ∫ � | | = ∫ | ′ | . Berdasarkan definisi tersebut dapat dilihat bahwa jika titik pada sumbu real ℝ = akan mengakibatkan nilai integral menjadi tak hingga {∞} sehingga titik-titik pada sumbu real disebut titik di tak hingga. Jika membicarakan jarak, hal yang paling sederhana adalah menghitung jarak dari dua titik berbeda. Jarak pada geometri Euclides untuk dua titik berbeda = + � dan = + � dapat dengan mudah dicari dengan menggunakan teorema pythagoras sebagi berikut. , = √ − + − . Pada geometri hiperbolik untuk setengah bidang atas ℍ, jarak dua titik disajikan dalam proposisi berikut ini : 55 Proposisi 3.8 Anderson, 2007: 102 Jarak hiperbolik dari titik = + � dan = + � , untuk = adalah ℍ , = |ln |, sedangkan untuk ≠ adalah ℍ , = |ln | − − − − || dengan c dan r adalah pusat dan jari-jari lingkaran Euclides yang melalui dan . Bukti: Untuk = maka garis hiperbolik yang melalui dan berupa garis Euclides yang tegak lurus dengan sumbu real. Misalkan lintasan adalah fungsi = + � dengan t dalam interval [ , ]. Lintasan f adalah segmen garis hiperbolik melalui dan , sehingga ℍ , = ℎ ℍ . Diperoleh = dan | ′ | = sehingga ℍ , = ℎ ℍ = ∫ = ln , ln bernilai positif untuk dan bernilai negatif untuk , maka diperoleh ℍ , = |ln |. 56 Untuk ≠ , sehingga garis hiperbolik yang melalui dan berupa busur lingkaran dengan pusat c dengan jari-jari r. Misalkan � adalah argumen dari . Dipandang lintasan adalah fungsi = + dengan pada interval [� , � ]. Lintasan f adalah segmen garis hiperbolik melalui dan , sehingga ℍ , = ℎ ℍ . Diperoleh = sin dan | ′ | = sehingga ℍ , = ℎ ℍ = ∫ sin � � = ∫ sin � � = [ln|csc − cot |] � � = ln | csc � − cot � csc � − cot � | Perhatikan bahwa sudut � adalah sudut dari segitiga siku-siku dengan tinggi dan alas − , dan hipotenusa r, akibatnya csc � = , dan cot � = − , sehingga diperoleh |csc � − cot � | = | + − |, dan ℍ , = ln | csc � − cot � csc � − cot � | = ln | − − − − |. ln | − − − − | bernilai positif untuk dan bernilai negatif untuk sehingga 57 ℍ , = |ln | − − − − || Proposisi 3.8 terbukti. QED. Berikut diberikan contoh untuk penggunaan Proposisi 3.8 sebagai berikut. Contoh 3.1 Tentukan jarak hiperbolik titik = + � dan = � jika , ∈ ℍ Penyelesaian: Gambar 3.9 Ilustrasi Contoh 3.1 Gradien dari ruas garis Euclides yang menghubungkan dan adalah − − = − Titik tengah antara dan mempunyai koordinat + , + = , atau + �. Garis Euclides yang melalui titik tengah dan dan tegak lurus ruas garis Euclides yang menghubungkan dan adalah − = − , PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 58 sehingga diperoleh titik pusat lingkaran Euclides yang melalui dan adalah = Gambar 3.9. Karena panjang garis Euclides yang menghubungkan c ke dan c ke adalah jari-jari lingkaran Euclides, maka = , = , = √ − − − = √ Berdasarkan Proposisi 3.9 jarak hiperbolik antara titik dan adalah ℍ , = |ln | − − − − || = |ln | − − √ − − √ || ~|− . | = , Jadi jarak hiperbolik antara dan adalah sekitar , . Setelah membahas mengenai jarak hiperbolik, akan dilanjutkan tentang transformasi M ̈bius pada bidang setengah atas ℍ.

E. Transformasi M �̈bius di ℍ