19
�
= cos � + � sin �. Berdasarkan persamaan 2.6 maka z dapat direpresentasikan dalam bentuk
eksponensial sebagai =
�
. . Setelah membahas bilangan kompleks dan bidang kompleks
ℂ, akan dilanjutkan dengan membahas persamaan garis dan lingkaran Euclides pada
bidang datar disajikan dalam bidang kompleks ℂ.
C. Garis dan lingkaran Euclides dalam bidang kompleks ℂ
Purcell dan Varberg 1987 menyatakan bahwa persamaan garis Euclides dalam koordinat kartesius dapat dibentuk sebagai
+ + = . .
Pada persamaan 2.8, x dan y dapat dinyatakan dalam z dan ̅. Diberikan =
+ � dan ̅ = − � diperoleh =
= + ̅ .
= = −
� − ̅ .
Subsitusikan persamaan 2.9 dan 2.10 ke persamaan 2.8 diperoleh + ̅ +
− �
− ̅ + =
− � +
+ � ̅ + =
Misalkan =
− � maka + ̅ ̅ + =
20
Sehingga persamaan garis Euclides dalam bidang kompleks adalah + ̅ ̅ + = .
dengan ∈ ℂ dan ∈ ℝ Anderson, 2005: 217.
Purcell dan Varberg 1987 menyatakan bahwa persamaan lingkaran Euclides dalam koordinat kartesius dengan jari-jari r dan pusat di
ℎ, dapat dibentuk sebagai
− ℎ + −
= . . Pada persamaan 2.12, x dan y dapat dinyatakan dalam z dan
̅, serta ℎ, diwakili oleh suatu bilangan kompleks tertentu. Diberikan
= ℎ + � adalah titik pusat lingkaran maka dapat dibentuk
− =
+ � − ℎ + � = − ℎ + � − ,
sehingga diperoleh − ℎ +
− = | − | = ,
dengan fakta bahwa | | = ̅ maka
| − | = −
̅ − ̅ = ̅ − ̅ − ̅ + | | = . .
Misalkan ∈ ℝ, = − ̅ dan = | | −
persamaan 2.13 dapat dibentuk menjadi
̅ + + ̅ ̅ + = .
dengan ∈ ℂ dan ∈ ℝ Anderson, 2005: 217.
D. Elemen Panjang dalam bidang kompleks ℂ
Pada bagian ini akan dibahas mengenai elemen panjang pada bidang kompleks
ℂ, namun sebelumnya akan diberikan definisi mengenai busur pada PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
bidang kompleks ℂ. Himpunan titik = , pada bidang kompleks ℂ
disebut sebagai busur jika =
, dan = dengan pada interval
[ , ], serta dan
adalah fungsi kontinu pada parameter real , sehingga sebuah busur
pada bidang kompleks ℂ dapat
disajikan dengan persamaan sebagai =
+ � .
Brown, 1990: 89. Jika
′
dan
′
untuk persamaan 2.15 ada dan kontinu maka turunan dari persamaan 2.15 adalah sebagai berikut:
′
=
′
+ �
′
. . Sebuah busur yang memenuhi syarat dari persamaan 2.15 dan persamaan
2.16 disebut busur deferensiabel Brown, 1990: 90. Setelah membahas mengenai busur deferensiabel pada bidang kompleks
ℂ, akan dilanjutkan untuk elemen panjang busur pada bidang kompleks ℂ. Misalkan f adalah busur deferensiabel pada bidang kompleks
ℂ dalam interval [ , ], berdasarkan persamaan
. dan persamaan
. diperoleh
= + �
, dan ′
= ′ + � ′ . Modulus untuk ′ adalah
|
′
| = √
′
+
′
, sehingga panjang Euclides f adalah
ℎ = ∫ √
′
+
′
= ∫ |
′
| atau biasanya dinotasikan sebagai
ℎ = ∫ |
′
| = ∫ | |
�
22
dengan | | = |
′
| adalah elemen panjang-busur pada ℂ Anderson, 2005: 74.
E. Sudut pada Bidang Kompleks ℂ
