Bidang Kompleks ℂ LANDASAN TEORI

14 hiperbolik akan terlebih dahulu akan dibahas mengenai model bidang untuk geometri Euclides.

B. Bidang Kompleks ℂ

Brown dan Churchill 1990 menyatakan bilangan kompleks didefinisikan sebagai = + � . atau dapat pula didefinisikan sebagai pasangan bilangan real yaitu = , . dengan x dan y adalah bilangan real, dan � adalah bilangan imajiner murni √− . Pada persamaan 2.1 dan persamaan 2.2, x dan y berturut-turut disebut bagian real dan imajiner dari z, dan dapat dituliskan sebagai = , dan = . Sifat aljabar pada bilangan kompleks sama dengan sifat aljabar pada bilangan real. Selanjutnya akan ditunjukkan beberapa sifat aljabar pada bilangan kompleks sebagai berikut Brown dan Churchill, 1990: 2: 1. Sifat komutatif Misalkan = + � , = + � a. + = + b. = 2. Sifat asosiatif Misalkan = + � , = + � , dan = + � , diperoleh a. + + = + + PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 15 b. = 3. Sifat distributif Misalkan = + � , = + � , dan = + � , maka + = + 4. Sifat identitas Misalkan = + � , ∈ ℝ merupakan unsur identitas pada penjumlahan, dan ∈ ℝ adalah unsur identitas pada perkalian maka a. + = b. . = Pada bilangan kompleks terdapat beberapa konsep yang tidak terdapat pada bilangan real yaitu modulus dan konjugat kompleks Brown, 1990: 7. Definisi modulus atau disebut sebagai nilai mutlak pada bilangan kompleks = + � adalah bilangan real tak negatif √ + dengan notasi | | sehingga | | = √ + ; . Sedangkan konjugat kompleks atau disebut konjugat dari bilangan kompleks = + � adalah bilangan kompleks − � dengan notasi ̅ sehingga ̅ = − � . . Berdasarkan persamaan 2.3 dan persamaan 2.4 diperoleh bahwa | ̅| = | | dan ̿ = untuk setiap z. Jika = + � dan = + � maka + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = + � + + � ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = + + � + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = + − � + PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 16 = − � + − � = ̅ + ̅ sehingga konjugat dari penjumlahan sama dengan jumlahan konjugat. Dengan cara serupa dapat ditunjukkan bahwa untuk = + � dan = + � maka a. − ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = + � + + � ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = − + � − ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = − − � − = − � − − � = ̅ − ̅ b. ̅̅̅̅̅̅ = − + � + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = − + � + = − � − � = ̅ ̅ c. Untuk ≠ maka dapat diperoleh ̅̅̅̅̅̅ = + � + � ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = + � − � + � − � ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = + + � − + + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = + − � − + + = − � + � + � − � = ̅ ̅ . Salah satu relasi penting antara konjugat bilangan kompleks = + � dengan modulusnya adalah PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 17 ̅ = + � − � = − � = + = | | . Selain itu juga terdapat sifat yang menarik dari dua bilangan kompleks dan konjugatnya. Misalkan = + � dan = + � diperoleh + ̅ ̅ = + � + � + − � − � = + � + � − + − � − � + = = . Jadi diperoleh + ̅ ̅ = . Setiap bilangan kompleks berkorespondensi dengan satu titik pada bidang datar, seperti bilangan − + � dapat direpresentasikan sebagai titik dengan koordinat − , . Bilangan z juga dapat dianggap sebagai vektor dari titik asal , ke titik , Gambar 2.4. Gambar 2.4 Representasi Bilangan Kompleks ke Titik pada Bidang Kompleks PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 18 Bidang yang digunakan digunakan untuk merepresentasikan bilangan kompleks tersebut disebut bidang xy, bidang z atau bidang kompleks. Himpunan semesta bilangan kompleks atau bidang kompleks dinotasikan dengan ℂ. Sumbu x disebut sumbu real dan sumbu y disebut sumbu imajiner Brown dan Churchill, 1990: 6-7. Gambar 2.5 Bilangan Kompleks z dalam Koordinat Polar Letak titik , dapat disajikan dalam koordinat polar , � , sehingga untuk bilangan kompleks z dapat disajikan dalam bentuk polar. Misalkan r dan � adalah koordinat polar yang dari titik , yang berkorespondensi dengan bilangan kompleks = + � Gambar 2.5, diperoleh = cos � dan = sin � Sehingga z direpresentasikan dalam bentuk polar sebagai = cos � + � sin � , . dengan r tak negatif. Nilai � disebut sebagai argumen dari z, dan ditulis sebagai � = arg Brown dan Churchill, 1990: 12. Selain dalam bentuk polar, bilangan kompleks z dapat dibentuk dalam bentuk eksponensial menggunakan formula Euler sebagai 19 � = cos � + � sin �. Berdasarkan persamaan 2.6 maka z dapat direpresentasikan dalam bentuk eksponensial sebagai = � . . Setelah membahas bilangan kompleks dan bidang kompleks ℂ, akan dilanjutkan dengan membahas persamaan garis dan lingkaran Euclides pada bidang datar disajikan dalam bidang kompleks ℂ.

C. Garis dan lingkaran Euclides dalam bidang kompleks ℂ