68
B. Segitiga Hiperbolik dan Poligon Hiperbolik
Pada bagian ini akan dibahas mengenai bangun datar yang ada pada geometri hiperbolik. Dimulai dengan bangun datar yang paling sederhana yaitu
segitiga. Segitiga hiperbolik adalah bangun datar yang dibatasi oleh tiga segmen garis hiperbolik, sinar garis hiperbolik, ataupun garis hiperbolik yang saling
berhimpit pada titik sudut maupun pada titik ideal.
Gambar 4.4 Jenis-jenis Segitiga Hiperbolik di
ℍ Terdapat empat jenis segitiga hiperbolik berdasarkan dari titik sudut
maupun sisi-sisinya Gambar 4.4. Rincian dari jenis-jenis segitiga hiperbolik yang disajikan pada setengah bidang atas
ℍ adalah sebagai berikut. 1. Pada gambar 4.4.a adalah segitiga hiperbolik yang ketiga sisinya
merupakan segmen garis hiperbolik dan ketiga titik sudutnya bukan titik sudut ideal.
2. Pada gambar 4.4.b nampak bahwa segitiga tersebut memiliki satu titik sudut ideal dan dua titik sudut tak ideal, serta terbentuk dari satu segmen
a b
c d
69
garis hiperbolik dan dua sinar garis hiperbolik, segitiga hiperbolik tersebut disebut segitiga omega.
3. Pada gambar 4.4.c adalah segitiga yang memiliki dua titik sudut ideal dan satu titik sudut tak ideal, serta terbentuk dari dua sinar garis hiperbolik
dan garis hiperbolik. 4. Pada gambar 4.4.d adalah segitiga yang memiliki tiga titik sudut ideal
yang disebut sebagai segitiga hiperbolik ideal. Segitiga hiperbolik pada setengah bidang atas
ℍ yang tidak memiliki titik sudut ideal dapat diubah ke posisi standar, misalkan segitiga hiperbolik P dengan
tiga titik sudut , , dikatakan pada posisi standar jika titik sudut segitiga
hiperbolik P memiliki koordinat = � ,
= + � , = � di mana
dan Gambar 4.5.a. Segitiga hiperbolik dalam posisi standar dibahas
pada proposisi berikut ini.
Proposisi 4.4 Stahl, 1993: 93
Setiap segitiga hiperbolik tidak memiliki titik sudut ideal dapat diubah ke dalam posisi standar dengan transformasi M
̈bius hiperbolik. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
Gambar 4.5 a Segitiga Hiperbolik pada Posisi Standar
b Ilustrasi Segitiga Hiperbolik Kasus 1 Proposisi 4.4 c Ilustrasi Segitiga Hiperbolik Kasus 2 Proposisi 4.4
d Ilustrasi Segitiga Hiperbolik Kasus 3 Proposisi 4.4
Bukti : Diberikan transformasi M
̈bius di setengah bidang atas ℍ yaitu =
+ + ,
− , , , , ∈ ℝ
a b
c d
P P
P P
71
a. Kasus 1: Jika segitiga hiperbolik dengan titik-titik sudut
= � , = + � ,
= � di mana dan Gambar 4.5.b. Dipilih transformasi M
̈bius =
| |
, sehingga diperoleh � =
� | | =
� ,
dengan , karena ,
+ � = + �
|√ + | =
+ +
+ �, dengan
+
, dan � =
� | | = �.
Jadi, segitiga hiperbolik tersebut telah dalam posisi standar. b. Kasus 2: Jika segitiga hiperbolik
dengan titik-titik sudut = � ,
= − + � , = � di mana , dan Gambar 4.5.c.
Dengan memilih transformasi M ̈bius
= − diperoleh
= � , = + � ,
= � , selanjutnya dipilih transformasi M
̈bius =
| |
diperoleh � =
� | | =
�
dengan ,
+ � = + �
|√ + | =
+ +
+ � dengan
+
, dan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
� =
| |
= �. Jika
, maka segitiga hiperbolik tersebut telah dalam posisi standar. Jika , maka sama dengan kasus 1 sehingga segitiga hiperbolik tersebut juga
dapat dibawa ke posisi standar. c. Kasus 3: Jika segitiga hiperbolik
dengan titik-titik sudut sembarang. Diasumsikan salah satu sisi segitiga hiperbolik
berada pada busur lingkaran Euclides atau berada pada garis hiperbolik
ℓ. Misalkan titik ideal garis
ℓ di dan
dengan ≠
≠ maka dengan transformasi M
̈bius = + , ∈ ℝ dapat ditransformasikan salah satu titik ideal
garis ℓ menjadi sama dengan 0.
Diperoleh ℓ adalah garis hiperbolik dengan titik ideal di
= , dan = , maka dengan transformasi M ̈bius
=
| | | | −
akan membawa garis hiperbolik
ℓ menjadi sumbu imajiner. Kita tahu bahwa garis hiperbolik
ℓ adalah busur lingkaran Euclides dengan pusat di
dan dengan jari-jari , sehingga dapat diambil sembarang titik
di garis hiperbolik ℓ yaitu
= +
+ � dengan + =
. Ditunjukkan berada di sumbu imajiner sebagai berikut :
| | = + +
= +
+ +
= +
sehingga, PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
= +
+ −
+ + �
= +
+ −
− − �
= +
− � = +
�
Karena
+
∈ ℝ dan
+
maka berada di sumbu
imajiner positif. Akibatnya garis hiperbolik ℓ berubah menjadi sumbu
imajiner. Dengan begitu segitiga hiperbolik pada kasus 3 dapat dibentuk pada posisi standar.
Jadi Proposisi 4.4 terbukti. QED.
Selanjutnya, akan dibuktikan salah satu teorema yang paling umum dalam geometri hiperbolik yaitu yang menyatakan bahwa jumlah sudut dalam
segitiga hiperbolik kurang dari . Pertama akan diberikan Proposisi 4.5 yang
digunakan untuk membantu membuktikan teorema tersebut.
Proposisi 4.5 Stahl. 1993: 98
Setiap segitiga siku-siku hiperbolik mempunyai jumlah sudut kurang dari Bukti:
Misalkan segitiga hiperbolik P dengan tiga titik , , dengan besar sudut
bersesuaian � , � , � , dan misalkan segitiga hiperbolik P siku-siku di
sehingga � =
�
74
Gambar 4.6 Ilustrasi Segitiga Hiperbolik Siku-Siku di i
a. Kasus pertama untuk sudut di titik , dan merupakan titik ideal,
sehingga � = � = , dan diketahui bahwa � =
�
. Jadi, jumlah sudut segitiga hiperbolik
∆ � + � + � =
b. Kasus kedua untuk salah satu sudut atau merupakan titik ideal
misalkan titik ideal maka
� = dan �
�
karena jika �
�
maka tidak terbentuk suatu segitiga hiperbolik. Jadi, jumlah sudut segitiga
hiperbolik � + � + � = + + � + =
c. Kasus ketiga untuk segitiga hiperbolik yang tidak memiliki titik sudut ideal. Berdasarkan Proposisi 4.4 segitiga hiperbolik
dapat ditransformasikan ke posisi standar dengan
= � , � , dan
= + � seperti gambar 4.6. Diketahui =
�
, garis hiperbolik ℓ
P PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
yang melalui dan
adalah busur lingkaran Euclides dengan pusat di 0, dan garis hiperbolik
� yang melalui dan adalah busur lingkaran Euclides dengan pusat di
− dan garis hiperbolik � yang melalui dan berada adalah sumbu imajiner. Berdasarkan Proposisi 2.5 diperoleh
bahwa besar sudut pada titik sudut − adalah � tipe III, dan besar sudut
antar jari-jari lingkaran pada titik sudut adalah
� . Akan ditunjukkan bahwa
�
�
− � . Bukti dengan kontradiksi, diasumsikan
�
�
− � benar, karena � dan � adalah sudut lancip maka sin �
sin − � = cos �
sin � cos �
+ − =
+
+ −
+ = −
Karena maka
− . Terjadi kontradiksi, sehingga asumsi
salah. Jadi benar untuk �
�
− � atau � + �
�
. Dapat disimpulkan jumlah sudut segitiga hiperbolik siku-siku adalah
� + � + + = .
Berdasarkan kasus 1, 2, dan 3 maka Proposisi 4.5 terbukti. QED.
76
Teorema 4.6 Stahl. 1993: 99
Jumlah sudut untuk sebarang segitiga hiperbolik kurang dari . Bukti:
Misalkan segitiga hiperbolik P dengan tiga titik , , dengan besar sudut
bersesuaian � , � , � .
Pertama akan ditunjukkan bahwa setiap segitiga hiperbolik memiliki tinggi internal. Misalkan
ℓ adalah tinggi eksternal dari titik pada segitiga hiperbolik Gambar 4.7 a, sehingga diperoleh
�
�
atau �
�
.
Misalkan tinggi dari titik juga external, maka salah satu sudut � dan �
haruslah tumpul, maka dari itu dua sudut yang lain haruslah lancip, dan akibatnya tinggi dari titik sudut tumpul tersebut haruslah internal.
b a
Gambar 4.7 Tinggi dari Sembarang Segitiga Hiperbolik
77
Asumsikan sembarang segitiga hiperbolik memiliki tinggi internal
ℓ Gambar 4.7 b. Misalkan
dan adalah sudut yang terbentuk dari tinggi
internal ℓ terhadap sudut � . Berdasarkan Proposisi 4.5 diperoleh
� +
�
dan � +
�
, akibatnya
� + � + � = + � +
+ �
+ = . Segitiga hiperbolik yang memiliki titik sudut ideal juga memiliki tinggi internal
sehingga terbukti bahwa jumlah sudut segitiga hiperbolik tersebut juga kurang dari . Sedangkan, segitiga hiperbolik ideal memiliki jumlah sudut 0, sehingga
kurang dari . Teorema 4.6 terbukti.
QED.
Selanjutnya diberikan teorema mengenai tiga sudut dengan jumlah kurang dari maka dapat terbentuk suatu segitiga hiperbolik. Teorema tersebut diberikan
sebagai berikut.
Teorema 4.7 Stahl, 1993: 101
Diberikan sebarang tiga sudut dengan jumlah kurang dari , ketiga sudut tersebut
adalah sudut suatu segitiga hiperbolik. Bukti:
Misalkan , , adalah tiga sudut positif yang berbeda dan memenuhi + +
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
Gambar 4.8 Ilustrasi dari Teorema 4.7
a. Kasus pertama, bila = = = , jelas bahwa dapat bentuk suatu
segitiga hiperbolik ideal. b. Kasus kedua, salah satu dari
, , tidak nol, misalkan ≠ , jelas bahwa dapat dibentuk suatu segitiga hiperbolik dengan dua titik ideal.
c. Kasus ketiga, salah satu dari , , adalah nol, misalkan = , jelas bahwa
dapat dibentuk suatu segitiga hiperbolik dengan satu titik ideal atau segitiga omega.
d. Kasus empat, untuk , , .
Misalkan , , adalah tiga sudut positif sembarang dan memenuhi +
+ . Misalkan akan dilihat suatu kondisi yang harus dipenuhi untuk suatu segitiga hiperbolik tidak memiliki titik ideal pada posisi standar,
= � , = � , dan
= dengan
, serta sudut-sudut ∠ = , ∠ = , dan ∠ = . Seperti Gambar 4.8, misalkan u dan
P PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
− adalah pusat lingkaran Euclides dari sisi ℓ dan sisi
ℓ serta r dan
s sebagai jari-jarinya. Berdasarkan Proposisi 2.5 diperoleh besar sudut di titik sudut u adalah , besar sudut di titik sudut
–d adalah , dan besar sudut antara jari-jari s dan r adalah .
Menggunakan trigonometri dari segitiga Euclides diperoleh = cos
= cos +
= +
− cos .
Berdasarkan Teorema Pythagoras didapatkan =
+ , sehingga menghasilkan
= csc , dan = cot . Ketika nilai u, r, dan d disubsitusikan ke 3 diperoleh
cot + cos = csc
+ −
cos csc cot
+ cos cot +
cos = csc
+ −
cos csc − cos
− cos cot + cos csc
+ csc − cot
= , dengan fakta bahwa
sin � = − cos � maka sin
− cos cot + cos csc
+ = . . Persamaan
. merupakan persamaan kuadrat, sehingga segitiga hiperbolik ditentukan dari nilai diskriminan persamaan kuadrat tersebut.
Diskriminan dari persamaan 4.1 adalah cos cot + cos csc
− sin . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
Kita akan tunjukkan bahwa diskriminan tersebut positif, sehingga persamaan 4.1 memiliki penyelesaian di s. Kita tahu bahwa
+ +
�
sehingga diperoleh + − .
Fungsi cosinus adalah monoton turun di kuadran I dan kuadran II sehingga diperoleh
cos + cos
− = − cos
cos cos − sin sin − cos cos cos + cos sin sin
cos cot + cos csc sin cos cot + cos csc
sin .
Persamaan 4.2 telah menjamin bahwa persamaan 4.1 memiliki diskriminan positif, sehingga persamaan kuadrat 4.1 tersebut mempunyai
dua akar real untuk , , .
Teorema 4.7 terbukti. QED.
Pada bagian ini akan disajikan salah satu perbedaan mengenai segitiga Euclides dan segitiga hiperbolik salah satunya adalah konsep segitiga kongruen
yang ada pada geometri Euclides dan geometri hiperbolik. Syarat kongruen untuk segitiga yang dikemukakan oleh Euclides seperti yang telah dibahas pada
Bab II akan digunakan untuk menentukan kekongruenan segitiga hiperbolik. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
Teorema 4.8 Greenberg, 1980: 151
Pada geometri hiperbolik jika dua segitiga sebangun, maka dua segitiga tersebut kongruen.
Bukti: Misalkan dan adalah sembarang segitiga hiperbolik yang saling sebangun.
Misalkan besar tiga sudut adalah , , . Akan dibuktikan bahwa segitiga
tersebut saling kongruen. a. Kasus pertama,
, , = maka segitiga tersebut merupakan segitiga hiperbolik ideal, sehingga sisi-sisinya merupakan garis hiperbolik dengan
panjang ∞. Akibatnya ≅ SS, SS, SS.
b. Kasus kedua, salah satu sudut , , tak nol, misal ≠ . Segitiga tersebut
adalah segitiga hiperbolik dengan dua titik sudut ideal. Sisi-sisi segitiga tersebut adalah dua sinar garis hiperbolik dan satu garis hiperbolik, dan fakta
bahwa panjang sinar garis hiperbolik adalah ∞. Akibatnya ≅ SS, SD,
SS dari dua sinar garis hiperbolik mengapit sudut maka segitiga tersebut kongruen.
c. Kasus ketiga, Kasus kedua, salah satu sudut , , adalah nol, misal =
. Segitiga tersebut adalah segitiga hiperbolik dengan satu titik sudut ideal. Sisi-sisi segitiga tersebut adalah dua sinar garis hiperbolik dan satu segmen
garis hiperbolik, dan fakta bahwa panjang sinar garis hiperbolik adalah ∞.
Akibatnya ≅ SD, SS, SD dari sudut dan sudut mengapit satu sinar
garis hiperbolik maka segitiga tersebut kongruen. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
d. Kasus empat, untuk segitiga hiperbolik yang tidak memiliki titik sudut ideal. Misalkan segitiga hiperbolik
pada posisi standar Gambar 4.7 dengan = � dan = �
sin , sehingga panjang hiperbolik sisi ℓ adalah
|ln sin
| = |ln sin |.
Misalkan segitiga hiperbolik pada posisi standar Gambar 4.7 dengan = � dan
= � sin , sehingga panjang hiperbolik sisi ℓ
adalah
|ln sin
| = |ln sin |.
Karena dan diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadrat 4.1 yang koefisiennya hanya dipengaruhi oleh
, , , maka dan adalah akar- akar persamaan 4.1 sehingga diperoleh
= sin
sin = sin ,
dengan fakta bahwa |ln
| = |ln | sehingga
|ln sin | = |ln sin | = |ln sin |
atau panjang hiperbolik sisi ℓ
sama dengan panjang hiperbolik sisi ℓ
. Akibatnya ≅ SD,SS,SD.
QED. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
Setelah membahas tentang segitiga hiperbolik, akan dilanjutkan untuk bangun datar lain yang juga terdapat pada geometri Euclides yaitu poligon.
Segitiga merupakan bentuk paling sederhana dari poligon karena hanya dibatasi oleh tiga segmen garis dalam segitiga hiperbolik dapat dibatasi oleh sinar garis
ataupun garis. Dengan batas atau sisi yang lebih banyak, akan diselidiki poligon dalam geometri hiperbolik dengan mengambil sifat-sifat dalam geometri
Euclides. Pada geometri Euclides, poligon merupakan salah satu objek dasar yang
dipelajari. Alexander dan Koeberlein 2014 menyatakan bahwa poligon adalah bangun tertutup yang sisi-sisinya berpotongan hanya pada titik ujung. Menurut
Moise 1990 poligon didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 4.9 Moise, 1990: 184
Suatu daerah poligon adalah bangun bidang yang dapat diekspresikan sebagai gabungan dari daerah segitiga yang terbatas jumlahnya, sehingga jika dua daerah
segitiga beririsan, irisannya adalah suatu batas atau titik sudut dari daerah segitiga tersebut.
Definisi 4.9 juga digunakan dalam geometri hiperbolik dalam mendefinisikan poligon hiperbolik. Pada Gambar 4.9 nampak bahwa poligon
hiperbolik dapat dibentuk dari daerah-daerah segitiga hiperbolik yang berbeda, di mana segitiga hiperbolik tersebut saling berhimpitan pada sisinya atau saling
berhimpitan di titik sudutnya. Ketika melakukan pembagian daerah poligon hiperbolik ke dalam segitiga-segitiga hiperbolik tidak ada langkah khusus yang
mengaturnya. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
Gambar 4.9 Ilustrasi Poligon Hiperbolik Berdasarkan Definisi
Pada skripsi ini hanya akan dibahas mengenai poligon hiperbolik konvek, sehingga besar sudut dalam tiap titik sudut poligon hiperbolik kurang dari
. Namun akan tetap dibahas mengenai definisi luas hiperbolik untuk sembarang
area pada setengah bidang atas ℍ.
C. Definisi Luas Hiperbolik