58
sehingga diperoleh titik pusat lingkaran Euclides yang melalui dan adalah = Gambar 3.9.
Karena panjang garis Euclides yang menghubungkan c ke dan c ke adalah jari-jari lingkaran Euclides, maka
= ,
= ,
= √ − −
− = √
Berdasarkan Proposisi 3.9 jarak hiperbolik antara titik dan adalah
ℍ
, = |ln |
− − − − || = |ln |
− − √ − − √
|| ~|− .
| = , Jadi jarak hiperbolik antara dan
adalah sekitar ,
. Setelah membahas mengenai jarak hiperbolik, akan dilanjutkan tentang
transformasi M ̈bius pada bidang setengah atas ℍ.
E. Transformasi M �̈bius di ℍ
Pada geometri Euclides transformasi yang mempertahankan panjang serta sudut adalah translasi, rotasi, dan refleksi; sedangkan pada geometri hiperbolik,
transformasi yang digunakan adalah transformasi M ̈bius. Transformasi
M ̈bius pada geometri hiperbolik adalah transformasi yang dapat
mempertahankan jarak atau panjang hiperbolik, serta besar sudut hiperbolik. Transformasi M
̈bius pada setengah bidang atas ℍ, didefinisikan sama seperti transformasi M
̈bius pada Riemann sphere ℂ̅ yang akan diberikan pada Teorema 3.10. Sebelum mendefinisikan transformasi M
̈bius di ℍ, terlebih dahulu akan dibuktikan proposisi berikut.
59
Proposisi 3.9 Olsen, 2010: 20
Transformasi M ̈bius
=
+ +
dengan −
≠ memetakan ℝ ̅ ke ℝ̅
jika dan hanya jika koefisien a, b, c, dan d ∈ ℝ.
Bukti: Misalkan sumbu real
ℝ ̅ dengan ℝ̅ = ℝ {∞} . Diasumsikan ℝ̅ = ℝ̅. Ini
berimplikasi untuk f memetakan tiga titik di ℝ
̅ , , ke tiga titik di ℝ̅ , , , diasumsikan ketiganya berhingga. Sehingga dua cross ratio untuk f
adalah , , ,
= , , , ,
maka diperoleh −
− −
− =
− −
− −
.
Elemen transformasi M ̈bius yaitu =
diperoleh dengan mengubah kedua ruas hingga membentuk
= dengan koefisien real karena
, ,
,
, , dan ∈ ℝ. Salah satu titik
, , adalah titik ∞ maka f dapat dilihat pada persamaan 2.21.
Proposisi 3.9 terbukti. QED.
Selanjutnya, diberikan teorema tentang transformasi M ̈bius di setengah
bidang atas ℍ yang digunakan sebagai definisi. Teorema ini adalah kekhususan
60
dari definisi transformasi M ̈bius secara umum. Teorema tentang transformasi
M ̈bius pada setengah bidang atas ℍ disajikan sebagai berikut.
Teorema 3.10 Olsen, 2010: 20
Transformasi M ̈bius pada setengah bidang atas ℍ didefinisikan sebagai
fungsi : ℍ → ℍ sebagai berikut.
= +
+ dengan
, , , ∈ ℝ dan −
. Bukti:
Karena ℝ
̅ adalah batas di tak hingga dari ℍ dan berdasarkan Proposisi 3.11 bahwa f memetakan
ℝ ̅ ke ℝ̅ maka dapat dipilih
= +
+ , , , , ∈ ℝ, sehingga diperoleh
= +
+ =
+ | + |
̅ +
= | + | | | +
+ ̅ +
, serta diperoleh
= +
+ = | + |
| | + +
̅ +
= | + |
− + PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
= −
| + | . .
Persamaan 3.1 berlaku dalam ℍ jika dan hanya jika
− .
Jadi, Teorema 3.10 terbukti.
QED.
Selanjutnya akan diberikan teorema-teorema lain yang menunjukkan sifat-sifat transformasi M
̈bius pada setengah bidang atas ℍ sebagai berikut.
Teorema 3.11 Anderson, 2005: 57
Setiap elemen transformasi M ̈bius pada setengah bidang atas ℍ memetakan
garis hiperbolik di ℍ ke garis hiperbolik di ℍ.
Bukti: Berdasarkan fakta bahwa transformasi M
̈bius di ℂ̅ mempertahankan lingkaran di
ℂ̅, serta bahwa garis hiperbolik di ℍ adalah perpotongan lingkaran di ℂ̅ dengan
ℍ, dan Teorema 3.11. maka setiap elemen transformasi M ̈bius pada setengah bidang atas
ℍ memetakan garis hiperbolik di ℍ ke garis hiperbolik di ℍ.
Jadi dapat disimpulkan bahwa transformasi M ̈bius di ℍ mempertahankan
garis hiperbolik di ℍ.
QED. Teorema 3.12 Chang, 2010: 2
Transformasi M ̈bius pada setengah bidang atas ℍ mempertahankan panjang
hiperbolik. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
Bukti: Diberikan sebarang titik
∈ ℍ dan transformasi M ̈bius di ℍ yaitu =
=
+ +
dengan , , , ∈ ℝ dan
− . Akan ditunjukkan bahwa
| |
�
=
| | �
atau
| |
| |
=
� �
diperoleh dari definisi jarak hiperbolik.
| |
| | = |
+ −
+ +
| = |
− +
| = −
| + | . . Kita juga mendapatkan
= +
+ . +
̅̅̅̅̅̅̅̅ +
̅̅̅̅̅̅̅̅ =
+ ̅ +
| + | =
| | + +
+ ̅
| + | ,
sehingga =
− | + | ,
dan
= −
| + | = − | + | .
Persamaan 3.2 dan 3.3 sama maka Teorema 3.12 terbukti. QED.
Teorema 3.13
Transformasi M ̈bius pada setengah bidang atas ℍ konformal.
63
Bukti: Berdasarkan Teorema 3.12, serta sudut hiperbolik adalah sudut antara dua
lingkaran di ℂ̅, dan transformasi M ̈bius di ℂ̅, maka Transformasi M ̈bius pada
setengah bidang atas ℍ juga konformal.
QED. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
BAB IV LUAS PADA GEOMETRI HIPERBOLIK
