Setengah Bidang Atas ℍ MODEL BIDANG HIPERBOLIK

42

BAB III MODEL BIDANG HIPERBOLIK

Berdasarkan yang telah dibahas sebelumnya bahwa bidang lengkung seperti permukaan bola dapat diproyeksikan pada bidang datar, maka memungkinkan untuk membentuk suatu model bidang datar, sehingga objek-objek geometri hiperbolik dapat direpresentasikan pada bidang tersebut. Berikut akan dibahas mengenai model bidang hiperbolik, objek-objek geometri pada model tersebut, serta transformasi yang berlaku pada model tersebut.

A. Setengah Bidang Atas ℍ

Pada bagian ini akan dibahas mengenai model bidang datar dari geometri hiperbolik. Berbeda dengan geometri Euclides yang pada umumnya menggunakan bidang kartesius sebagai model bidang datar, geometri hiperbolik memiliki banyak model yang digunakan dalam merepresentasikan bidang datarnya. Klein disk Poincare disk Setengah bidang atas Gambar 3.1 Model Bidang pada Geometri Hiperbolik 43 Pada gambar 3.1, salah satu model yang sering digunakan adalah Poincare disk yaitu suatu bidang datar yang dibatasi lingkaran dengan garis-garis pada bidang tersebut adalah busur lingkaran. Garis lurus dapat terbentuk jika garis tersebut melalui titik pusat dari lingkaran batas. Model kedua adalah Klein disk, serupa dengan model Poincare disk, Klein disk juga dibatasi oleh lingkaran, namun terdapat perbedaan yaitu garis-garis pada model ini adalah garis lurus bukan lagi busur lingkaran. Model terakhir adalah setengah bidang atas atau disebut juga setengah bidang Poincare, model ini berbeda dengan kedua model sebelumnya karena hanya memuat setengah bidang kompleks ℂ. Pada skripsi ini, model bidang yang digunakan untuk menyajikan objek- objek bidang datar adalah model setengah bidang atas. Model ini adalah bagian dari bidang kompleks ℂ dengan sumbu x disebut sumbu real , dan sumbu y disebut sumbu imajiner . Seperti namanya, model setengah bidang atas terbentuk dari setengah bidang kompleks bagian atas yaitu di atas sumbu real atau tak memuat sumbu imajiner negatif. Model setengah bidang atas ℍ pada bidang kompleks ℂ, didefinisikan sebagai berikut Anderson, 2005: 2 ℍ = { ∈ ℂ| }. Lingkaran pada Riemann sphere ℂ̅ mempunyai dua komponen, contohnya adalah lingkaran satuan � = { ∈ ℂ|| | = } memiliki komponen disk � = { ∈ ℂ|| | } dan � = { ∈ ℂ|| | } {∞}, sedangkan untuk lingkaran ℝ ̅ di ℂ̅ memiliki komponen setengah bidang atas ℍ dan setengah PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 44 bidang bawah { ∈ ℂ| }. Lingkaran pada Riemann sphere ℂ̅ dan dua komponennya didefinisikan sebagai berikut. Definisi 3.1 Anderson, 2005: 18 Suatu disk D di ℂ̅ merupakan salah satu komplemen dari komponen lingkaran A di ℂ̅. Pada disk D dan lingkaran A, terlihat bahwa A adalah lingkaran yang menentukan disk D. Berdasarkan definisi tersebut, untuk setiap disk di ℂ̅ ditentukan oleh lingkaran di ℂ̅ dan setiap lingkaran di ℂ̅ ditentukan oleh disk di ℂ̅. Model setengah bidang atas ℍ adalah disk di ℂ̅ yang ditentukan oleh lingkaran ℝ ̅. Model setengah bidang atas ℍ memiliki batas di tak hingga yaitu ℝ ̅. Titik-titik pada ℝ̅ disebut titik di tak hingga atau titik ideal pada model setengah bidang atas ℍ. Hal ini mengakibatkan jarak hiperbolik sembarang titik ke titik pada ℝ ̅ adalah tak hingga, dasar untuk argumen ini akan dibahas dalam subbab D. Sebelum membahas mengenai jarak hiperbolik, akan terlebih dahulu dibahas mengenai hubungan objek-objek geometri Euclides dan geometri hiperbolik.

B. Hubungan Geometri Euclides dan Geometri Hiperbolik