Definisi Konvek pada Geometri Hiperbolik

64

BAB IV LUAS PADA GEOMETRI HIPERBOLIK

MENGGUNAKAN MODEL SETENGAH BIDANG ATAS ℍ

A. Definisi Konvek pada Geometri Hiperbolik

Suatu daerah geometri Euclides diartikan sebagai daerah konvek jika untuk setiap segmen garis yang menghubungkan sembarang titik pada area tersebut tidak memuat titik lain di luar area tersebut. Pada bidang kompleks ℂ, kekonvekan dapat disajikan sebagai berikut. Z adalah suatu daerah konvek jika untuk setiap pasang titik berbeda dan pada Z, maka titik = − + untuk juga pada Z Anderson, 2005: 146. Namun, untuk poligon Euclides konvek memiliki besar sudut dalam tidak lebih dari . Pada geometri hiperbolik di setengah bidang atas ℍ juga mencoba memuat ide tersebut namun dengan penyesuaian. Kekonvekan pada geometri hiperbolik di setengah bidang atas ℍ menggunakan pendekatan ruas garis dalam suatu wilayah yang didefinisikan sebagai berikut. Definisi 4.1 Anderson, 2005: 146 Suatu himpunan X pada bidang hiperbolik adalah konvek jika untuk setiap pasang titik berbeda x dan y dalam X, maka segmen garis hiperbolik ℓ yang menghubungkan x dan y juga termuat dalam X Gambar 4.1 65 Gambar 4.1 Segmen-segmen Garis pada X di ℍ Titik-titik pada segmen garis dalam geometri Euclides dapat ditentukan oleh suatu parameter seperti yang telah disajikan sebelumnya, namun hal tersebut sukar dilakukan pada model geometri hiperbolik. Pada setengah bidang atas ℍ menemukan parameter yang bagus dari segmen garis hiperbolik yang menghubungkan sembarang dua titik amat sulit dilakukan. Berdasarkan definisi 4.1 kekonvekan dapat ditentukan berdasarkan segmen garis hiperbolik, hal ini berakibat kekonvekan dipertahankan oleh suatu transformasi yang mempertahankan panjang garis dan sudut; sehingga, jika X adalah himpunan konvek dalam bidang hiperbolik dan jika adalah sebuah suatu transformasi yang mempertahankan panjang garis dan sudut di bidang hiperbolik, maka � juga konvek. Berikut akan diberikan suatu postulat yang menyatakan bahwa garis- garis hiperbolik adalah konvek. Kekonvekan terjadi baik untuk segmen garis, sinar garis, dan garis hiperbolik di bidang hiperbolik termasuk juga di setengah bidang atas ℍ. Proposisi tersebut disajikan sebagai berikut. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 66 Proposisi 4.2 Anderson, 2005: 146 Garis hiperbolik, sinar garis hiperbolik, dan segmen garis hiperbolik adalah konvek. Gambar 4.2 : a garis hiperbolik di ℍ, b sinar garis hiperbolik di ℍ, c segmen garis hiperbolik di ℍ Bukti: Misalkan ℓ adalah garis hiperbolik dan misalkan x dan y adalah dua titik pada ℓ Gambar 4.2a. Berdasarkan Proposisi sebelumnya yang menyatakan bahwa untuk setiap dua titik berbeda di ℍ terdapat garis hiperbolik tertentu yang melalui dua titik tersebut, x dan y dilalui suatu garis hiperbolik, yaitu ℓ , dan sehingga segmen garis ℓ menghubungkan x ke y termuat dalam ℓ. Oleh karena itu ℓ konvek. a b c PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 67 Misalkan ℓ adalah sinar garis hiperbolik dengan pangkal di a, dan x dan y adalah dua titik pada ℓ Gambar 4.2b. Sesuai dengan alasan sebelumnya, maka terdapat segmen garis ℓ yang menghubungkan x ke y termuat dalam ℓ. Oleh karena itu k konvek Misalkan ℓ adalah segmen garis hiperbolik yang menghubungkan titik a ke titik b dan misalkan titik c dan d terdapat pada segmen garis ℓ Gambar 4.2c. Sesuai dengan alasan sebelumnya, maka terdapat segmen garis ℓ yang menghubungkan titik c ke d termuat dalam ℓ . Oleh karena itu ℓ konvek. QED. Selanjutnya, bila dilihat dari definisi kekonvekan pada geometri hiperbolik, cukup sukar untuk menentukan suatu bangun datar tersebut konvek atau tidak. Hal ini juga berlaku pada geometri Euclides. Pada geometri Euclides, poligon konvek memiliki besar sudut interior tidak lebih dari . Hal tersebut juga dipakai pada poligon hiperbolik, sehingga poligon hiperbolik konvek memiliki besar sudut interior tidak lebih dari . Berikut diberikan beberapa contoh poligon hiperbolik konvek dan poligon hiperbolik konkaf. Gambar 4.3 a Contoh Poligon Hiperbolik Konkaf, dan b Contoh Poligon Hiperbolik Konvek. a b PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 68

B. Segitiga Hiperbolik dan Poligon Hiperbolik