Bilangan Irrasional Uraian Materi

21 Modul Matematika SMA Misalkan dan merupakan sebarang bilangan bulat genap. Akan dibuktikan bahwa merupakan bilangan bulat genap. Menurut definisi bilangan genap, dan untuk dan sebarang anggota bilangan bulat. Maka Misalkan . Perhatikan bahwa jelas merupakan bilangan bulat karena adalah hasil penjumlahan bilangan-bilangan bulat. Sehingga bentuk dapat dituliskan sebagai , dengan merupakan bilangan bulat. Karena , maka sesuai dengan definisi bilangan genap hasil penjumlahan juga bilangan genap. Dengan demikian terbukti bahwa hasil penjumlahan dua bilangan bulat genap merupakan bilangan bulat genap. b. Buktikan bahwa hasil perkalian dua bilangan bulat ganjil juga merupakan bilangan bulat ganjil. Coba Anda buktikan, sebagai acuan bahwa m suatu bilangan ganjil jika , untuk suatu bilangan bulat. c. Buktikan bahwa hasil penjumlahan bilangan rasional dan bilangan irrasional merupakan bilangan irrasional. Bukti: Dibuktikan dengan metode kontradiksi. Andaikan hasil penjumlahan bilangan rasional dan bilangan irrasional bukan merupakan bilangan irrasional. Dengan kata lain, hasil penjumlahannya merupakan bilangan rasional. Misalkan terdapat bilangan rasional dan bilangan irrasional sedemikian hingga merupakan bilangan rasional. Menurut definisi bilangan rasional, dan , untuk suatu bilangan bulat dan , dengan dan . Menggunakan substitusi diperoleh 22 sehingga Perhatikan bahwa bentuk dan , keduanya merupakan bilangan bulat. Mengapa, jelaskan pendapat Anda. Akibatnya merupakan hasil pembagian dua bilangan bulat, dan , dengan . Sehingga menurut definisi bilangan rasional, merupakan bilangan rasional. Hal ini menyebabkan kontradiksi dengan pemisalan awal bahwa merupakan bilangan irrasional. Pengandaian salah. Dengan demikian terbukti bahwa hasil penjumlahan bilangan rasional dan bilangan irrasional merupakan bilangan irrasional.

D. Aktivitas Belajar

Kegiatan 1 1. Suatu bilangan dilambangkan dengan sedangkan lawannya dilambangkan dengan . Jika , manakah di antara dan yang merupakan bilangan positif dan manakah di antara dan yang merupakan bilangan negatif? 2. Pak Aan tahu bahwa jumlah dari dua bilangan rasional selalu merupakan bilangan rasional. Selanjutnya dia menyimpulkan bahwa jumlah dari dua bilangan irrasional juga selalu merupakan bilangan irrasional. Berikan beberapa contoh yang menunjukkan bahwa kesimpulan Pak Aan salah. 3. Bu Ira berpendapat bahwa adalah bilangan irrasional karena merupakan rasio dari yang merupakan bilangan irrasional dan yang juga merupakan bilangan irrasional. Apakah pendapat Bu Ira dapat dibenarkan? Berikan alasannya. 4. Apakah 0 merupakan bilangan rasional? Dapatkah Anda menuliskannya dalam bentuk , dengan dan adalah bilangan bulat dan ? Jelaskan alasannya. 5. Nyatakan apakah pernyataan berikut benar atau salah. Berikan alasannya. a. Setiap bilangan rasional merupakan bilangan cacah.