14
a.
Langkah pertama tentukan faktor persekutuan terbesar dari pembilang dan penyebut.
Selanjutnya gunakan sifat dasar pecahan untuk menyederhanakan pecahan.
b.
Anda coba dengan langkah yang sama dengan langkah a. Perhatikan bahwa pecahan
sudah dalam bentuk paling sederhana karena FPB dari pembilang dan penyebut adalah
.
Operasi hitung bilangan rasional
Jika dan
adalah bilangan-bilangan rasional, maka:
Penjumlahan:
Pengurangan:
Perkalian:
Pembagian: , dengan
Himpunan bilangan rasional bersifat tertutup terhadap operasi penjumlahan,
pengurangan, perkalian, dan pembagian dengan bilangan bulat bukan .
Akan ditunjukkan bahwa himpunan bilangan rasional bersifat tertutup terhadap operasi penjumlahan. Untuk sifat-sifat yang lain, sebagai latihan. Misalkan
dan adalah sebarang dua bilangan rasional. Menurut definisi penjumlahan,
Sekarang akan ditunjukkan bahwa juga merupakan bilangan rasional.
Sifat tertutup operasi penjumlahan bilangan rasional
Untuk , maka
.
15
Modul Matematika SMA
Sifat tertutup operasi perkalian bilangan rasional
Untuk , maka
.
Sifat asosiatif
Untuk , maka berlaku
.
.
Sifat komutatif
Untuk , maka berlaku
.
.
Sifat distributif
Untuk , maka berlaku
.
Elemen identitas
Terdapat dengan tunggal elemen
sedemikian hingga untuk setiap berlaku
.
Terdapat dengan tunggal elemen sedemikian hingga untuk setiap
berlaku .
Invers penjumlahan
Untuk setiap terdapat dengan tunggal elemen
sedemikian hingga , dengan
merupakan identitas penjumlahan.
16
Invers perkalian
Untuk setiap , dengan
, terdapat dengan tunggal elemen sedemikian hingga
, dengan merupakan identitas
perkalian.
4. Bilangan Irrasional
Yoga mempunyai sebidang kebun berbentuk persegi dengan luas 1600 m
2
. Dia merencanakan untuk membuat pagar di sekeliling kebun tersebut. Berapa panjang
pagar yang diperlukan oleh Yoga? Supaya dapat membantu Yoga, kita terlebih dahulu harus mengetahui panjang sisi kebun agar dapat menghitung keliling kebun
tersebut. Misal panjang sisi kebun adalah meter. Berarti Yoga harus menyusun
persamaan . Dalam hal ini karena atau
. Dengan demikian Yoga harus membangun pagar sepanjang meter. Proses menentukan nilai ini disebut proses melakukan
penarikan akar kuadrat atau akar pangkat dua dari 1600 dan ditulis sebagai . Bentuk dibaca akar kuadrat dari
” atau akar pangkat dua dari
”. Penting untuk dicermati bahwa walaupun
, akan tetapi dalam situasi ini panjang sisi tidak mungkin negatif sehingga kita hanya
menggunakan nilai .
Secara umum, jika tidak negatif maka adalah suatu bilangan tidak
negatif yang hasil kuadratnya sama dengan .
Akar kuadrat dari suatu bilangan nonnegatif adalah suatu bilangan yang jika
dikuadratkan hasilnya adalah . Secara notasi, akar kuadrat positif dari ,
dinyatakan dengan , didefinisikan sebagai suatu bilangan sedemikian hingga
. Secara umum kita dapat menyimpulkan:
Jika , maka
jika dan hanya jika dan .
Jika dan bilangan ganjil, maka
jika dan hanya jika .
17
Modul Matematika SMA
Bagaimana dengan situasi mencari penyelesaian ? Karena kita tidak dapat
mencari bilangan rasional sedemikian hingga
, maka disebut bilangan irrasional. Himpunan bilangan irrasional adalah himpunan bilangan yang
representasi desimalnya tidak berhenti nonterminating atau tidak berulang nonrepeating. Beberapa contoh bilangan irrasional selain
misalnya . Contoh bilangan irrasional yang lain adalah bilangan yang
merupakan rasio keliling lingkaran terhadap diameternya dan bilangan yang
merupakan bilangan yang digunakan sebagai bilangan dasar dalam pertumbuhan dan peluruhan. Nilai
sebesar dan adalah adalah yang diperoleh dengan menggunakan kalkulator hanya berupa nilai pendekatan,
bukan nilai eksak.
Operasi dengan bentuk akar
Beberapa syarat yang perlu dipenuhi dalah menyederhanakan suatu bentuk akar yang merupakan bilangan irasional.
Suatu bentuk akar dapat disederhanakan simplified jika:
Bilangan di bawah tanda akar radicand tidak mempunyai faktor dengan pangkat lebih besar dari
Bilangan di bawah tanda akar tidak dituliskan dalam bentuk pecahan atau
menggunakan pangkat negatif
Tidak ada notasi akar pada penyebut dari pecahan
Aturan bentuk akar
Misal dan adalah bilangan-bilangan positif, maka
a.
c.
b.
d.
5. Bilangan Real
Himpunan bilangan real merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional dan dinotasikan dengan
.
