Saran Penggunaan Modul Modul A Matematika SMA Guru Pembelajar

10 menemukan suatu bilangan yang memenuhi hasil operasi . Oleh karena itu perlu dilakukan perluasan dengan menambah satu bilangan baru, yaitu yang merupakan hasil operasi . Himpunan bilangan asli yang sudah diperluas dengan menambah bilangan tersebut dinamakan himpunan bilangan cacah whole numbers, dinotasikan dengan . Dengan demikian . Himpunan bilangan cacah diperluas lagi dengan menambahkan lawan dari setiap bilangan asli. Sebagai contoh, lawan dari bilangan , yang dinotasikan dengan , adalah suatu bilangan yang jika ditambahkan dengan akan memberikan hasil . Jika lawan dari semua bilangan asli tersebut ditambahkan ke dalam himpunan bilangan cacah , maka akan diperoleh himpunan bilangan baru yang dinamakan himpunan bilangan bulat integers, dan dinotasikan dengan berasal dari bahasa Jerman Zahlen ” . Dengan demikian . Himpunan bilangan bulat dapat diklasifikasikan ke dalam tiga kelompok, yaitu:  Himpunan bilangan bulat positif:  Nol:  Himpunan bilangan bulat negatif: Pembagian bilangan bulat Pembagian didefinisikan sebagai lawan dari operasi perkalian. Jika dan masing-masing adalah bilangan bulat, dengan , maka pembagian , dinyatakan sebagai , dan didefinisikan sebagai Karena pembagian didefinisikan dalam bentuk perkalian, aturan-aturan pembagian bilangan bulat identik dengan aturan-aturan perkalian bilangan bulat. Hal yang perlu diperhatikan adalah pada pembagian , syarat harus dipenuhi karena pembagian dengan tidak didefinisikan. Mengapa? Perhatikan dua situasi berikut.  Pembagian bilangan bukan dengan . 11 Modul Matematika SMA Apa artinya? Apakah terdapat suatu bilangan yang menyebabkan menjadi bermakna? Menurut definisi pembagian, bilangan seharusnya adalah bilangan yang menyebabkan . Akan tetapi untuk setiap . Karena diketahui , maka situasi tersebut menjadi tidak mungkin. Dengan demikian tidak ada atau tidak didefinisikan.  Pembagian dengan . Apa artinya? Apakah terdapat suatu bilangan yang menyebabkan menjadi bermakna? Menurut definisi pembagian, jelas bahwa setiap nilai dapat memenuhi karena untuk setiap . Akan tetapi hal ini akan mengakibatkan terjadi keabsurdan. Perhatikan contoh berikut: Jika maka dan jika maka . Karena perkalian masing-masing dengan dan menghasilkan bilangan yang sama, yaitu , maka dapat kita simpulkan bahwa . Hal ini jelas salah sehingga dinyatakan sebagai tidak tentu indeterminate. Himpunan tidak tertutup terhadap operasi pembagian. Untuk membuktikan, pilih 4, 5  dan , dengan . Sifat tertutup operasi penjumlahan bilangan bulat Untuk , maka . Sifat tertutup operasi perkalian bilangan bulat Untuk , maka . Sifat asosiatif bilangan bulat Untuk berlaku  .  . Sifat komutatif bilangan bulat Untuk berlaku 12  .  . Sifat distributif bilangan bulat Untuk berlaku  . Elemen identitas  Terdapat dengan tunggal elemen sedemikian hingga untuk setiap berlaku .  Terdapat dengan tunggal elemen sedemikian hingga untuk setiap berlaku . Invers penjumlahan Untuk setiap terdapat dengan tunggal elemen sedemikian hingga , dengan merupakan identitas penjumlahan. Aturan kanselasi penjumlahan Jika maka . Bukti: Akan dibuktikan bahwa maka . Aturan kanselasi perkalian Jika dan maka Coba Anda buktikan aturan kanselasi perkalian.

3. Bilangan Rasional

Kebutuhan manusia yang semakin berkembang, khususnya terkait dengan keakuratan dalam perhitungan dan pengukuran menyebabkan perlunya perluasan