22
sehingga
Perhatikan bahwa bentuk dan , keduanya merupakan bilangan bulat.
Mengapa, jelaskan pendapat Anda. Akibatnya
merupakan hasil pembagian dua bilangan bulat, dan , dengan
. Sehingga menurut definisi bilangan rasional, merupakan bilangan rasional. Hal ini menyebabkan kontradiksi dengan pemisalan awal
bahwa merupakan bilangan irrasional. Pengandaian salah. Dengan demikian
terbukti bahwa hasil penjumlahan bilangan rasional dan bilangan irrasional merupakan bilangan irrasional.
D. Aktivitas Belajar
Kegiatan 1
1.
Suatu bilangan dilambangkan dengan sedangkan lawannya dilambangkan
dengan . Jika , manakah di antara dan yang merupakan bilangan
positif dan manakah di antara dan yang merupakan bilangan negatif?
2.
Pak Aan tahu bahwa jumlah dari dua bilangan rasional selalu merupakan bilangan rasional. Selanjutnya dia menyimpulkan bahwa jumlah dari dua
bilangan irrasional juga selalu merupakan bilangan irrasional. Berikan beberapa contoh yang menunjukkan bahwa kesimpulan Pak Aan salah.
3.
Bu Ira berpendapat bahwa adalah bilangan irrasional karena merupakan
rasio dari yang merupakan bilangan irrasional dan yang juga
merupakan bilangan irrasional. Apakah pendapat Bu Ira dapat dibenarkan? Berikan alasannya.
4.
Apakah 0 merupakan bilangan rasional? Dapatkah Anda menuliskannya dalam bentuk
, dengan dan adalah bilangan bulat dan ? Jelaskan alasannya.
5.
Nyatakan apakah pernyataan berikut benar atau salah. Berikan alasannya.
a.
Setiap bilangan rasional merupakan bilangan cacah.
23
Modul Matematika SMA
b.
Setiap bilangan cacah merupakan bilangan rasional. Diskusikan permasalahan tersebut dan presentasikan hasil kerja Anda.
Kegiatan 2
1.
Tunjukkan bahwa himpunan bilangan rasional bersifat tertutup terhadap
operasi pengurangan.
2.
Tunjukkan bahwa himpunan bilangan rasional Q bersifat tertutup terhadap operasi pembagian dengan bilangan bulat bukan
.
3.
Jelaskan apakah himpunan bilangan bulat bersifat tertutup terhadap operasi
penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dengan bilangan bulat bukan
.
4.
Diberikan himpunan dan operasi yang didefinisikan sebagai
. Buatlah sebuah tabel perkalian yang menunjukkan seluruh hasil yang mungkin dari operasi bilangan-bilangan pada himpunan tersebut.
Diskusikan permasalahan tersebut dan presentasikan hasil kerja Anda.
E. LatihanKasusTugas
1. Tentukan
a. Enam bilangan rasional di antara
dan . b.
Lima bilangan rasional di antara dan
. 2.
Tunjukkan bahwa merupakan bilangan rasional.
3. Tunjukkan bahwa bilangan-bilangan berikut dapat dinyatakan dalam bentuk
dengan dan merupakan bilangan bulat dan .
a. b.
c. 4.
Tuliskan sebuah bilangan irrasional di antara dan
. 5.
Buktikan bahwa merupakan bilangan irrasional.
24
F. Rangkuman
Himpunan bilangan asli counting numbers atau natural numbers digunakan untuk mencacah atau membilang banyak objek. Notasi atau lambang untuk himpunan
bilangan asli menurut standar internasional adalah atau untuk notasi umum di
Indonesia adalah . Dengan demikian
Himpunan bilangan asli yang diperluas dengan menambah bilangan dinamakan
himpunan bilangan cacah whole numbers, dinotasikan dengan . Dengan
demikian .
Jika lawan dari semua bilangan asli ditambahkan ke dalam himpunan bilangan cacah , maka akan diperoleh himpunan bilangan bulat integers, dan dinotasikan
dengan berasal dari bahasa Jerman
Zahlen ” . Dengan demikian
. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk
perbandingan dua bilangan bulat , dengan bilangan bulat
disebut sebagai pembilang dan bilangan bulat
disebut sebagai penyebut. Himpunan bilangan irrasional adalah himpunan bilangan yang representasi
desimalnya tidak berhenti nonterminating atau tidak berulang nonrepeating. Himpunan bilangan real
merupakan gabungan himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional.
G. Umpan Balik dan Tindak Lanjut
Evaluasi Diri
Setelah Anda mempelajari materi dalam kegiatan belajar ini maka lakukan beberapa hal berikut :
1. Tuliskan manfaat yang Anda dapatkan dalam mempelajari materi atau
permasalahan konteks yang berkaitan dengan topik di atas 2.
Tuliskan beberapa materi yang tidak mudah sulit untuk difahami 3.
Tuliskan beberapa materi yang menantang untuk dipelajari sehingga memotivasi Anda untuk lebih giat dan serius belajar materi tersebut
25
Modul Matematika SMA
4. Tuliskan beberapa materi lain yang dapat ditambahkan sehingga dapat
melengkapi materi yang disajikan 5.
Lakukan evaluasi diri secara jujur dari lima soal tersebut. Pada masing- masing soal, pengerjaan yang benar mendapatkan skor maksimal 20. Jadi
skor total 50. Capaian kompetensi dirumuskan sebagai
Setelah mengerjakan semua soal evaluasi cocokkan jawaban Anda dengan jawaban evaluasi pada lampiran untuk mengukur capaian kompetensi
. Jika Anda mendapat kesulitan untuk memahami suatu materi pada kegiatan belajar
ini maka berusahalah untuk menyelesaikan dan jangan berputus asa. Penyelesaian dapat Anda lakukan melalui diskusi dengan teman atau bertanya kepada
pembimbing atau mencari sumber lain internet yang dapat membantu Anda.
Tindak Lanjut
Seperti telah dijelaskan pada bagian sebelumnya bahwa evaluasi yang dilakukan oleh diri sendiri secara jujur adalah kunci keberhasilan mengukur capaian
kompetensi . Berkaitan dengan itu, pertimbangkan hal berikut.
Perolehan dalam
Deskripsi dan tindak lanjut Sangat Baik, berarti Anda benar-benar memahami
pengertian bilangan.
Selanjutnya kembangkan
pengetahuan dan tuangkan dalam pembelajaran. Baik, berarti Anda cukup memahami pengertian bilangan
walaupun ada beberapa bagian yang perlu dipelajari lagi. Selanjutnya pelajari lagi beberapa bagian yang dirasakan
belum begitu dipahami. Cukup, berarti Anda belum cukup memahami pengertian
bilangan. Oleh karena itu Anda perlu mempelajari lagi bagian yang belum dikuasai dan menambah referensi
