40
Matematika Konsep dan Aplikasinya 3
4. Diketahui daerah asal suatu fungsi P = {1, 3, 7, 8} ke himpunan bilangan
asli Q dengan relasi “setengah dari”. a. Tulislah notasi fungsi untuk relasi ter-
sebut. b. Tentukan rangenya.
c. Tentukan bayangan 3 oleh fungsi f.
5. Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B himpunan bilangan bulat, relasi berikut ini manakah
yang merupakan pemetaan dari A ke B? Berikan alasannya.
a. Kurang dari. b. Faktor dari.
c. Akar kuadrat dari. d. Dua kurangnya dari.
6. Diketahui fungsi f : x o 4x – 1. Tentukan
nilai fungsi f untuk x = –5, –3, –1, 0, 2, 4,
dan 10. 7. Fungsi
f didefinisikan sebagai fx = –2x + 3.
a. Tentukan bayangan x = –1 oleh
fungsi tersebut. b. Tentukan nilai
x jika fx = 1. 2. Diketahui relasi dari himpunan P = {
a, b, c, d} ke himpunan Q = {e, f, g}
dengan ketentuan a o e, b o e, c o e,
dan c o f. Apakah relasi tersebut
merupakan suatu fungsi? Mengapa? Jelaskan jawabanmu.
3. Di antara relasi dalam himpunan pa- sangan berurutan berikut, tentukan
manakah yang merupakan suatu fungsi dari himpunan A = {
a, b, c, d} ke himpunan B = {1, 2, 3, 4}. Tentukan pula
daerah hasil masing-masing fungsi. a. {
a, 1, b, 1, c, 1, d, 1} b. {
a, 2, b, 4, c, 4} c. {
a, 1, a, 2, a, 3, a, 4} d. {
a, 1, b, 4, c, 1, d, 4} e. {
d, 1, d, 2, b, 2, c, 3, d, 4}
A B
iii 1
1 3
3 5
6 A
B
iv 2
6 3
8 4
12
3. Menyatakan Fungsi dalam Diagram Panah, Diagram Cartesius, dan Himpunan Pasangan Berurutan
Kalian telah mempelajari bahwa suatu relasi dapat dinyatakan dalam diagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasangan
berurutan. Karena fungsi merupakan bentuk khusus dari relasi, maka fungsi juga dapat dinyatakan dalam diagram panah, diagram
Cartesius, dan himpunan pasangan berurutan.
Misalkan A = {1, 3, 5} dan B = {–2, –1, 0, 1, 2, 3}. Jika fungsi f: A
o B ditentukan dengan
fx = x – 2 maka f1 = 1 – 2 = –1
f3 = 3 – 2 = 1 f5 = 5 – 2 = 3
Di unduh dari : Bukupaket.com
41
Fungsi
a. Diagram panah yang menggambarkan fungsi f tersebut sebagai
berikut.
A B
1 3
5 2
1 1
2 3
f
Gambar 2.10
b. Diagram Cartesius dari fungsi f sebagai berikut.
1 1
2 2
3
3 4
5
A B
2 1
Gambar 2.11
c. Himpunan pasangan berurutan dari fungsi f tersebut adalah
{1, –1, 3, 1, 5, 3}. Perhatikan bahwa setiap anggota A muncul tepat satu kali pada komponen pertama pada pasangan
berurutan.
4. Menentukan Banyaknya Pemetaan yang Mungkin dari Dua Himpunan
Untuk menentukan banyaknya pemetaan yang mungkin dari dua himpunan, perhatikan uraian berikut.
a. Jika A = {1} dan B = { a} maka nA = 1 dan nB = 1.
Satu-satunya pemetaan yang mungkin dari A ke B mempunyai diagram panah seperti tampak pada Gambar 2.12.
b. Jika A = {1, 2} dan B = { a} maka nA = 2 dan nB = 1.
Pemetaan yang mungkin dari himpunan A ke B tampak seperti diagram panah pada Gambar 2.13.
c. Jika A = {1} dan B = { a, b} maka nA = 1 dan nB = 2.
Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada dua, seperti tampak pada diagram panah pada Gambar 2.14.
A B
1 a
Gambar 2.12
A B
1 2
a
Gambar 2.13
Di unduh dari : Bukupaket.com
42
Matematika Konsep dan Aplikasinya 3
A B
1 a
b A
B 1
a b
Gambar 2.14
d. Jika A = {1, 2, 3} dan B = { a} maka nA = 3 dan nB = 1.
Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada satu, seperti tampak pada diagram panah pada Gambar 2.15.
e. Jika A = {1} dan B { a, b, c} maka nA = 1 dan nB = 3.
Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada tiga, seperti tampak pada diagram panah berikut ini.
f. Jika A = {1, 2} dan B = {
a, b} maka nA = 2 dan nB = 2. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada empat,
seperti tampak pada diagram panah pada Gambar 2.17.
Gambar 2.17
g. Jika A = {1, 2, 3} dan B= { a, b} maka nA = 3 dan nB = 2.
Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada 8, seperti tampak pada diagram panah pada Gambar 2.18.
Gambar 2.18
A B
1 2
3
x x
x x
x
a b
A B
1 2
3
x x
x x
x
a b
A B
1 2
3
x x
x x
x
a b
A B
1 2
3
x x
x x
x
a b
A B
1 2
3
x x
x x
x
a b
A B
1
x x
x
2 3
x x
a b
A A
B B
1 2
3
x x
x
1 2
3
x x
x x
x
a b
x x
a
b A
B 1
2 3
x x
x x
a
Gambar 2.15
1
x x
x x
a b
c
A B
1
x x
x x
a b
c
A B
1
x x
x x
a b
c
A B
Gambar 2.16
1 2
x x
x x
a b
A B
1 2
x x
x x
a b
A B
1 2
x x
x x
a b
A B
1 2
x x
x x
a b
A B
Di unduh dari : Bukupaket.com
43
Fungsi
Dengan mengamati uraian tersebut, untuk menentukan banyaknya pemetaan dari suatu himpunan A ke himpunan B dapat
dilihat pada tabel berikut.
Berdasarkan pengamatan pada tabel di atas, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut.
Jika banyaknya anggota himpunan A adalah nA = a
dan banyaknya anggota himpunan B adalah nB = b maka
1. banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalah b
a
; 2. banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A adalah
a
b
.
Banyaknya Anggota Himpunan A
Himpunan B Banyaknya Pemetaan
yang Mungkin dari A ke B
Banyaknya Pemetaan yang Mungkin dari
B ke A
1 1
1 = 1
1
1 = 1
1
2 1
1 = 1
2
2 = 2
1
1 2
2 = 2
1
1 = 1
2
3 1
1 = 1
3
3 = 3
1
1 3
3 = 3
1
1 = 1
3
2 2
4 = 2
2
4 = 2
2
3 2
8 = 2
3
9 = 3
2
Jika A = {bilangan prima kurang dari 5} dan
B = {huruf vokal}, hitung- lah banyaknya pemetaan
a. dari A ke B; b. dari B ke A, tanpa
menggambar diagram panahnya.
Penyelesaian:
a. A = {2, 3}, nA = 2
B = { a, e, i, o, u}, nB = 5
Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B = b
a
= 5
2
= 25 b. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A =
a
b
= 2
5
= 32
Di unduh dari : Bukupaket.com
44
Matematika Konsep dan Aplikasinya 3
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Diketahui P adalah himpunan bilangan
cacah kurang dari 6 dan Q adalah himpunan bilangan real . Relasi dari P
ke Q ditentukan oleh f : x
o 3
x – 5. a. Apakah relasi itu merupakan suatu
pemetaan? Jelaskan. b. Sebutkan daerah asalnya.
c. Sebutkan daerah kawannya. d. Sebutkan daerah hasilnya.
e. Tentukan f0, f2, dan f4.
f. Tentukan nilai
x yang memenuhi fx = 25.
2. Gambarlah diagram panah yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B dari
setiap pemetaan berikut. a. A = {
p, q}, B = {1, 2, 3} b. A = {
p, q, r}, B = {1, 2} 3. Jika A = {
x|–2 x 2, x
B} dan B = {
x | x bilangan prima 8}, tentukan a. banyaknya pemetaan dari A ke B;
b. banyaknya pemetaan dari B ke A. 4. Suatu fungsi dari A ke B didefinisikan
sebagai fx = –2x + 7. Jika A = {x | –1
x d
5} dan B adalah himpunan bilangan bulat maka
a. tentukan fx untuk setiap x
A;
b. gambarlah fungsi fx dalam diagram
panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasangan berurutan.
C. MENENTUKAN RUMUS FUNGSI JIKA NILAINYA DIKETAHUI
