187
Garis Singgung Lingkaran
F. MELUKIS LINGKARAN DALAM DAN LINGKARAN LUAR SEGITIGA
1. Melukis Lingkaran Dalam Segitiga
Lingkaran dalam suatu segitiga adalah lingkaran yang terletak di dalam segitiga dan menyinggung ketiga sisinya.
Titik pusat lingkaran dalam segitiga merupakan titik potong ketiga garis bagi sudut suatu segitiga. Coba kalian ingat kembali
pengertian garis bagi suatu segitiga dan cara melukisnya. Langkah-langkah melukis lingkaran dalam segitiga sebagai berikut.
a Lukis ABC, kemudian lukis garis bagi
ABC.
b Lukis pula garis bagi
CAB sehingga kedua garis bagi berpotongan di titik P.
c Lukis garis PQ A AB sehingga memotong garis AB di titik Q.
Lukis lingkaran berpusat di titik P dengan jari-jari PQ. Lingkaran tersebut merupakan lingkaran dalam
ABC.
2. Menentukan Panjang Jari-jari Lingkaran Dalam Segitiga
Selanjutnya, mari kita temukan panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga. Namun, terlebih dahulu akan kita ingat kembali
rumus keliling dan luas segitiga. Perhatikan
ABC pada Gambar 7.29. Panjang sisi di hadapan
A dinyatakan dengan a.
Panjang sisi di hadapan B dinyatakan dengan
b. Panjang sisi di hadapan
C dinyatakan dengan c.
Keliling segitiga adalah jumlah seluruh panjang sisi segitiga.
A B
C
Gambar 7.26
x
A B
C
Q P
Gambar 7.28
A B
C
P
Gambar 7.27
A B
C a
b c
Gambar 7.29
Di unduh dari : Bukupaket.com
188
Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Jika keliling ABC dinyatakan dengan 2
s maka K
2 1
2 a b c
s a b c s
a b c Di kelas VII, kalian telah mempelajari rumus luas segitiga
yang diketahui panjang alas dan tingginya, yaitu 1
L = alas tinggi 2
1 =
2 a
t u
u u
u Kali ini, kita akan menentukan rumus luas segitiga yang
dinyatakan dengan keliling segitiga. Dalam hal ini, kita akan menentukan rumus luas segitiga yang diketahui panjang ketiga
sisinya dengan memanfaatkan rumus 1
keliling segitiga 2
s =
1 .
2 a b c
Sekarang, perhatikan ABC pada Gambar 7.30.
Pada gambar tersebut, garis tinggi CD dinyatakan dengan t
C
dan panjang AD dinyatakan dengan x. Karena diketahui panjang
AB = c, maka panjang DB = c – x.
Perhatikan bahwa ADC siku-siku di titik D, sehingga
diperoleh CD
2
= AC
2
– AD
2
t
C 2
= b
2
– x
2
......................................................... i Sekarang, perhatikan
BDC pada Gambar 7.30. BDC siku-siku di titik D, sehingga diperoleh
BC
2
= CD
2
+ BD
2
a
2
= t
C 2
+ c – x
2
a
2
= b
2
– x
2
+ c – x
2
o t
C 2
= b
2
– x
2
a
2
= b
2
– x
2
+ c
2
– 2 cx + x
2
a
2
= b
2
+ c
2
– 2 cx
2 cx = b
2
+ c
2
– a
2
x =
2 2
2
2 b
c a
c
........................................................ ii Jadi, panjang AD =
x =
2 2
2
2 b
c a
c
. Selanjutnya, dengan memanfaatkan rumus tersebut, kita akan menentukan rumus garis
tinggi t
C
.
D A
B C
a b
c c – x
t
C
x
Gambar 7.30
Di unduh dari : Bukupaket.com
189
Garis Singgung Lingkaran
Berdasarkan persamaan i dan ii diperoleh
2 2
2 C
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 Ingat bahwa
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 t
b x
b c
a b
c b
c a
b c
a b
b a
b a b a b
c c
bc b c
a bc b
c a
c c
bc b c
a bc b
c a
c c
b c a
a c
§ ·
¨ ¸
© ¹
§ ·§
· o
¨ ¸¨
¸ ©
¹© ¹
§ ·§
· ¨
¸¨ ¸
© ¹©
¹ §
·§ ·
¨ ¸¨
¸ ©
¹© ¹
§ ·
¨ ¸
© ¹
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
2
2 2
2 2
4 2
2 2
4 2 2
2 2 2 2
2 Ingat
4 b
bc c b c
a a
b c c
c b c a b c a
a b c a b c c
c b c a b c a a b c a b c
c a b c a b c
a a b c c a b c
b c
s s a s
c s b
c §
·§ ·
¨ ¸¨
¸ ©
¹© ¹
§ ·§
· ¨
¸¨ ¸
© ¹©
¹
o
2 2
2 C
2 C
2
bahwa 2 .
2 2
2 2
4 16
4 4
4 2
s a
b c
s s a
s c s b
c s s a s c s b
c s s a s b s c
t c
s s a s b s c t
c s s a s b s c
c u
u u
Berdasarkan uraian di atas, diperoleh rumus garis tinggi t
C
adalah t
C
= 2
. s s a s b s c
c
Di unduh dari : Bukupaket.com
190
Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Dengan demikian, rumus luas ABC adalah
C
1 L
alas tinggi 2
1 =
AB 2
1 2
2 t
c s s a s b s c
c s s a s b s c
u u
u u
u u
Jadi, luas segitiga yang diketahui panjang ketiga sisinya dapat ditentukan dengan rumus
L s s a s b s c
dengan L = luas segitiga s =
1 2
keliling segitiga; dan a, b, c adalah panjang sisi-sisi segitiga.
Selanjutnya, rumus luas segitiga tersebut digunakan untuk menentukan rumus panjang jari-jari lingkaran dalam dan lingkaran
luar segitiga. Pelajari uraian berikut. Perhatikan Gambar 7.31.
Pada gambar tersebut lingkaran dengan pusat di titik O adalah lingkaran dalam dari
ABC. Perhatikan bahwa ABC terbentuk
dari AOC,
AOB, dan BOC.
Misalkan panjang sisi BC = a, AC = b, AB = c, jari-jari
lingkaran = OD = OE = OF = r, keliling
ABC = AB + BC + AC = 2
s, dan luas ABC = L.
Dengan demikian, luas ABC
luas AOC luas AOB luas BOC
1 1
1 L
AC OE AB OF
BC OD 2
2 2
1 1
1 =
AC AB
BC 2
2 2
1 AC
AB BC
2 1
2 1
2 §
· § · §
· u
u u
u u
u ¨
¸ ¨ ¸ ¨
¸ ©
¹ © ¹ ©
¹ §
· § · §
· u
u u
u u
u ¨
¸ ¨ ¸ ¨
¸ ©
¹ © ¹ ©
¹ u
u u
r r
r r
r b c a r a b c
rs
A B
C D
E F
b c
O a
r
Gambar 7.31
Di unduh dari : Bukupaket.com
191
Garis Singgung Lingkaran
L atau
r s
s s a s b s c r
s
Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa rumus panjang jari- jari lingkaran dalam segitiga adalah
L atau
s s a s b s c r
r s
s
dengan r = panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga
s = 1
2 keliling segitiga
L = luas segitiga
a, b, c adalah panjang sisi-sisi segitiga
A B
C
O
Gambar 7.32
Pada gambar di atas, lingkaran yang berpusat di
O merupakan lingkaran dalam
ABC. Jika pan- jang AB = 3 cm, AC =
4 cm, dan ABC siku-siku
di A, tentukan panjang jari- jari lingkaran dalam
ABC.
Penyelesaian: AB = 3 cm, maka
c = 3. AC = 4 cm, maka
b = 4.
2 2
2 2
BC AB
AC 3
4 9 16
25 5
Jadi, panjang BC = a = 5 cm.
1 2
1 5 4 3
2 1
12 6
2 s
a b c
u Karena
ABC siku-siku di titik A, maka luas ABC
adalah luas segitiga =
2
1 L
AB AC 2
1 3 4
6 cm 2
u u
u u
Di unduh dari : Bukupaket.com
192
Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Panjang jari-jari lingkaran dalam ABC adalah
L 6
1cm 6
r s
3. Melukis Lingkaran Luar Segitiga
Kategori