65
Persamaan Garis Lurus
B. GRADIEN
Coba kalian perhatikan orang yang sedang naik tangga. Dapatkah kalian menentukan nilai kemiringannya? Jika tangga
dianggap sebagai garis lurus maka nilai kemiringan tangga dapat ditentukan dengan cara membandingkan tinggi tembok yang dapat
dicapai ujung tangga dengan jarak kaki tangga dari tembok. Nilai kemiringan tangga tersebut disebut
gradien. Pada pembahasan ini kita akan membahas cara menentukan gradien dari suatu garis
lurus.
1. Gradien Suatu Garis yang Melalui Titik Pusat O0, 0 dan Titik x, y
Agar kalian memahami pengertian dan cara menentukan gradien suatu garis yang melalui titik O0, 0 dan titik
x, y, perhatikan Gambar 3.8.
Pada Gambar 3.8 tersebut tampak garis y = 1
2 x dengan titik
O0, 0, A2, 1, dan B6, 3 terletak pada garis tersebut. Bagaimanakah perbandingan antara komponen
y dan komponen x dari masing-masing ruas garis pada garis
y = 1 2
x tersebut?
1 2
3
x
A
X Y
y
A
A2, 1 B6, 3
y
B
C A’
x
B
B’ y
x =
2 1
4
O
Gambar 3.8
Perhatikan ruas garis OA pada segitiga OAA c.
A A
AA 1
OA 2
c c
y x
Perhatikan ruas garis OB pada segitiga OBB c.
B B
BB 3
1 OB
6 2
c c
y x
Gambar 3.7 Sumber:
Dok. Penerbit
Di unduh dari : Bukupaket.com
66
Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Perhatikan juga ruas garis AB pada segitiga ABC.
AB AB
BC 3 1
2 1
AC 6
2 4
2 y
x
Dari uraian di atas ternyata perbandingan antara komponen y dan komponen x pada masing-masing ruas garis menunjukkan
bilangan yang sama. Bilangan yang sama tersebut disebut gradien.
Jadi, gradien dari garis 1
2 y
x adalah
1 2
. Bandingkan dengan koefisien
x pada persamaan garis y = 1 2
x. Apakah kalian menyimpulkan berikut ini?
Gradien suatu garis adalah bilangan yang menyatakan kecondongan suatu garis yang merupakan perbandingan
antara komponen y dan komponen x.
Besar gradien garis yang persamaannya y = mx adalah
besarnya koefisien x, sehingga dapat disimpulkan sebagai berikut.
Garis dengan persamaan y = mx memiliki gradien m.
Bagaimana cara menentukan gradien garis yang persamaannya
y = mx + c? Agar kalian mudah memahaminya, perhatikan Gambar 3.9.
y x
= 2 + 3 S2, 7
R1, 5
Q P
P
Y
X
1 1
2 2
3
3 4
4 5
5 6
7
Q 1, 1 3
2 1 P 2, 1
Gambar 3.9
Pada gambar tersebut tampak bahwa garis yang memiliki persamaan
y = 2x + 3 melalui titik-titik P–2, –1, Q–1, 1, R1, 5, dan S2, 7.
Sekarang perhatikan perbandingan antara komponen y dan
komponen x dari beberapa ruas garis y = 2x + 3.
Di unduh dari : Bukupaket.com
67
Persamaan Garis Lurus
Perhatikan ruas garis PQ pada segitiga
PP Q c
. 2
2 1
c c
p p
y QP
x PP
Perhatikan ruas garis QR pada segitiga
QQ R c
. 4
2 2
c c
Q Q
y RQ
x QQ
Perhatikan ruas garis PS pada segitiga PP S
cc .
8 2
4 cc
cc
S S
y SP
x PP
Berdasarkan uraian di atas ternyata perbandingan antara komponen
y dan komponen x pada masing-masing ruas garis menunjukkan bilangan yang selalu sama. Bilangan yang selalu sama
tersebut disebut gradien. Jadi, garis dengan persamaan y = 2x + 3
memiliki gradien 2. Garis dengan persamaan
y = mx + c memiliki gradien m. Selanjutnya, bagaimana menentukan gradien garis yang
berbentuk ax + by = c?
Sebelumnya ubahlah bentuk ax + by = c ke bentuk y = mx + c
dengan cara seperti berikut.
ax + by = c
b y = –ax + c y =
a c
x b
b p
koefisien x menunjukkan gradien
Gradien garis ax + by = c adalah
. a
b Gradien garis dengan persamaan
ax + by = c adalah a
b .
Berpikir kritis Kalian telah
mempelajari bahwa gradien garis dengan
persamaan ax + by = c adalah
a b
. a. Bagaimana jika
a = 0? Berapakah gradiennya?
b. Bagaimana pula jika b = 0? Berapakah
gradiennya? Diskusikan d engan
temanmu. Ujilah jawab- anmu dengan uraian
materi selanjutnya.
Di unduh dari : Bukupaket.com
68
Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Tentukan gradien dari per- samaan garis berikut.
a. 2 y = 5x – 1
b. 3 x – 4y = 10
Penyelesaian:
a. Ubah persamaan garis 2 y = 5x – 1 ke bentuk
y = mx + c. y = 5
2 x – 1
2 m= 5
2 Atau dengan cara lain, ubah persamaan garis
2 y = 5x – 1 ke bentuk ax + by = c.
2 y = 5x – 1
5
x – 1 = 2y
5 x – 2y = 1
Gradien garis 5 x – 2y = 1 adalah
5 5
. 2
2 §
· ¨
¸ ©
¹ a
m b
b. 3
x – 4y = 10 a
m b
= 3
4 §
· ¨ ¸
© ¹
= 3 4
Jadi, gradien garis 3 x – 4y = 10 adalah
3 .
4 m
2. Gradien Garis yang Melalui Dua Titik x