Gradien Suatu Garis yang Melalui Titik Pusat O0, 0 dan Titik x, y

65 Persamaan Garis Lurus

B. GRADIEN

Coba kalian perhatikan orang yang sedang naik tangga. Dapatkah kalian menentukan nilai kemiringannya? Jika tangga dianggap sebagai garis lurus maka nilai kemiringan tangga dapat ditentukan dengan cara membandingkan tinggi tembok yang dapat dicapai ujung tangga dengan jarak kaki tangga dari tembok. Nilai kemiringan tangga tersebut disebut gradien. Pada pembahasan ini kita akan membahas cara menentukan gradien dari suatu garis lurus.

1. Gradien Suatu Garis yang Melalui Titik Pusat O0, 0 dan Titik x, y

Agar kalian memahami pengertian dan cara menentukan gradien suatu garis yang melalui titik O0, 0 dan titik x, y, perhatikan Gambar 3.8. Pada Gambar 3.8 tersebut tampak garis y = 1 2 x dengan titik O0, 0, A2, 1, dan B6, 3 terletak pada garis tersebut. Bagaimanakah perbandingan antara komponen y dan komponen x dari masing-masing ruas garis pada garis y = 1 2 x tersebut? 1 2 3 x A X Y y A A2, 1 B6, 3 y B C A’ x B B’ y x = 2 1 4 O Gambar 3.8 Perhatikan ruas garis OA pada segitiga OAA c. A A AA 1 OA 2 c c y x Perhatikan ruas garis OB pada segitiga OBB c. B B BB 3 1 OB 6 2 c c y x Gambar 3.7 Sumber: Dok. Penerbit Di unduh dari : Bukupaket.com 66 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2 Perhatikan juga ruas garis AB pada segitiga ABC. AB AB BC 3 1 2 1 AC 6 2 4 2 y x Dari uraian di atas ternyata perbandingan antara komponen y dan komponen x pada masing-masing ruas garis menunjukkan bilangan yang sama. Bilangan yang sama tersebut disebut gradien. Jadi, gradien dari garis 1 2 y x adalah 1 2 . Bandingkan dengan koefisien x pada persamaan garis y = 1 2 x. Apakah kalian menyimpulkan berikut ini? Gradien suatu garis adalah bilangan yang menyatakan kecondongan suatu garis yang merupakan perbandingan antara komponen y dan komponen x. Besar gradien garis yang persamaannya y = mx adalah besarnya koefisien x, sehingga dapat disimpulkan sebagai berikut. Garis dengan persamaan y = mx memiliki gradien m. Bagaimana cara menentukan gradien garis yang persamaannya y = mx + c? Agar kalian mudah memahaminya, perhatikan Gambar 3.9. y x = 2 + 3 S2, 7 R1, 5 Q P P Y X 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 7 Q 1, 1 3 2 1 P 2, 1 Gambar 3.9 Pada gambar tersebut tampak bahwa garis yang memiliki persamaan y = 2x + 3 melalui titik-titik P–2, –1, Q–1, 1, R1, 5, dan S2, 7. Sekarang perhatikan perbandingan antara komponen y dan komponen x dari beberapa ruas garis y = 2x + 3. Di unduh dari : Bukupaket.com 67 Persamaan Garis Lurus Perhatikan ruas garis PQ pada segitiga PP Q c . 2 2 1 c c p p y QP x PP Perhatikan ruas garis QR pada segitiga QQ R c . 4 2 2 c c Q Q y RQ x QQ Perhatikan ruas garis PS pada segitiga PP S cc . 8 2 4 cc cc S S y SP x PP Berdasarkan uraian di atas ternyata perbandingan antara komponen y dan komponen x pada masing-masing ruas garis menunjukkan bilangan yang selalu sama. Bilangan yang selalu sama tersebut disebut gradien. Jadi, garis dengan persamaan y = 2x + 3 memiliki gradien 2. Garis dengan persamaan y = mx + c memiliki gradien m. Selanjutnya, bagaimana menentukan gradien garis yang berbentuk ax + by = c? Sebelumnya ubahlah bentuk ax + by = c ke bentuk y = mx + c dengan cara seperti berikut. œ ax + by = c œ b y = –ax + c y = a c x b b p koefisien x menunjukkan gradien Gradien garis ax + by = c adalah . a b Gradien garis dengan persamaan ax + by = c adalah a b . Berpikir kritis Kalian telah mempelajari bahwa gradien garis dengan persamaan ax + by = c adalah a b . a. Bagaimana jika a = 0? Berapakah gradiennya? b. Bagaimana pula jika b = 0? Berapakah gradiennya? Diskusikan d engan temanmu. Ujilah jawab- anmu dengan uraian materi selanjutnya. Di unduh dari : Bukupaket.com 68 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2 Tentukan gradien dari per- samaan garis berikut. a. 2 y = 5x – 1 b. 3 x – 4y = 10 Penyelesaian: a. Ubah persamaan garis 2 y = 5x – 1 ke bentuk y = mx + c. y = 5 2 x – 1 2 m= 5 2 Atau dengan cara lain, ubah persamaan garis 2 y = 5x – 1 ke bentuk ax + by = c. 2 y = 5x – 1 œ 5 x – 1 = 2y œ 5 x – 2y = 1 Gradien garis 5 x – 2y = 1 adalah 5 5 . 2 2 § · ¨ ¸ © ¹ a m b b. 3 x – 4y = 10 a m b = 3 4 § · ¨ ¸ © ¹ = 3 4 Jadi, gradien garis 3 x – 4y = 10 adalah 3 . 4 m

2. Gradien Garis yang Melalui Dua Titik x