Pangkat Bulat Negatif Pangkat Nol Sifat-sifat Pangkat Bulat Positif

10 Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi

2. Pangkat Bulat Negatif

Deinisi 1.2 Untuk a bilangan real dan a ≠ 0, m bilangan bulat positif, dideinisikan a a m m − =       1 Deinisi di atas dijelaskan sebagai berikut: a a a a a a m m − =       =       ×       ×       × ×       1 1 1 1 1 ... sebany yak faktor faktor m m m a a a a a = × × × × = 1 1 ... Contoh 1.1 Jika x = –2 dan y = 2, tentukan nilai x -3 y 4 Alternatif Penyelesaian x y y x − = = − = − = − 3 4 4 3 4 3 2 2 16 8 2

3. Pangkat Nol

Deinisi 1.3 Untuk a bilangan real dan a ≠ 0, maka a = 1. 6. Untuk x ∝ menuju ∝, diperoleh y menuju ∝. Untuk x menuju - ∝, di- peroleh y menuju 0. Ajukan beberapa con- toh yang dipahami siswa tentang perpangkatan di SMP, dalam membangun pemahaman terhadap Deinisi 1.2 di samping. Misalnya 3 1 3 1 3 3 3 3 − = =       =       ×       ×       1 3 1 3 1 3 = 1 3 3 3 1 9 × × = Selanjutnya menga- jak siswa mencermati penjelasan Deinisi 1.2 secara deduktif, seperti disajikan disamping. Untuk lebih memahami Deinisi 1.2, minta siswa mencermati Contoh 1.1 di samping. Cek kebenaran hasil kerja siswa mener- apkan Deinisi 1.2, dalam menyelesaikan soal pada Contoh 1.1. Arahkan siswa memahami Deinisi 1.4 di samping, dengan mengajukan be- berapa pertanyaan, sep- erti: 11 Matematika Untuk lebih memahami deinisi di atas, perhatikan pola hasil pemangkatan bilangan-bilangan berikut. 2 3 = 8 3 3 = 27 2 2 = 4 3 2 = 9 2 1 = 2 3 1 = 3 2 = 1 3 = 1 Perhatikan hasil pemangkatan 2 dengan 0, dan hasil pemangkatan 3 dengan 0, hasil perpangkatannya adalah 1.

4. Sifat-sifat Pangkat Bulat Positif

Coba cermati bukti sifat-sifat bilangan berpangkat bulat positif menggunakan deinisi bilangan berpangkat yang kamu telah pelajari sebelumnya. Sifat-1 Jika a bilangan real, m dan n bilangan bulat positif maka a m × a n = a m+n Bukti: a a a a a a a a a a m n m faktor n faktor × = × × × × × × × × × ... ... = × = × × × × × + a a a a a a a a m n m n = a m+n • Perhatikan a a a a a m m faktor = × × × × ... . Diskusikan dalam kelompokmu, apakah benar perpangkatan adalah perkalian berulang? • Bagaimana jika m dan n bukan bilangan bulat positif? Mengapa batasan bilan- gan real dan . Bagaimana hasil a0, ketika a = 0. Beri penjelasan bahwa ketika a = 0 maka a = 0 , hasil- nya taktentu. Selanjutnya ajak siswa mengamat pola hasil perpangkatan bilan- gan 2 dan 3 di samping. Untuk meyakinkan siswa bahwa a = 1, a ≠ 0 Minta siswa untuk dapat membuktikan Sifat-1 se- hingga siswa dapat me- nyimpulkan bahwa sifat tersebut benar untuk m dan n bilangan bulat posi- tif. Jelaskan pada siswa bah- wa perpangkatan adalah perkalian berulang. Si- fat-1, hanya berlaku a bilangan real, m dan n bi- langan bulat positif. Jika m dan n bukan bilangan bulat positif, Sifat-1 tidak berlaku, misalnya a = 0 dan m = n = 0, tidak ber- laku 12 Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi Sifat-2 Jika a bilangan real dan a ≠ 0, m dan n bilangan bulat positif, maka a a a m n m n = − . Bukti: a a a a a a a a a a m n m n = × × × × × × × × ... ... faktor faktor sesuai Deinisi 1.1 • Pada persyaratan Sifat-2, mengapa a ≠ 0 dipersyaratkan? • Bagaimana jika a = 0? Apa dampaknya pada hasil pembagian a a m n ? Jika kamu tidak tahu bertanya ke guru Sifat-1 di atas hanya berkaitan dengan bilangan bulat positif m dan n. Ada 3 tiga kemungkinan, yaitu a m n, b m = n, dan c m n. a Kasus m n Jika m dan n bilangan bulat positif dan m n maka m – n 0. Dengan demikian a a a a a a a a a a a m n m n = × × × × × × × × = × ... ... faktor faktor a a a a a a a a a a a n n × × × × × × × × × × × ... ... .. faktor faktor .. ... × = × × × × = − − − a a a a a a m n m n m n faktor faktor Jadi a a m n = a m-n , dengan m, n bilangan bulat positif dan m n Selanjutnya bimbing siswa agar memaha- mi tentang Sifat-2 dan data menunjukkan bukti dari sifat tersebut. Beri penjelasan pada siswa dalam Sifat-2, tidak diiz- inkan a = 0, sebab ben- tuk perpangkatan pada Sifat-2 adalah bentuk ra- sional. Dalam pecahan penyebutnya tidak lazim nol.Ketika a = 0 dan m, n bilangan bulat positif, maka a m atau a n dimung- kinkan hasilnya 0.Jika hasil a m dan a n keduanya nol, maka hasil baginya tak tentu. Jika a m = 0 dan a n ≠ 0, maka hasil baginya 0. Tetapi jika a m ≠ 0 dan a n = 0, maka hasil baginya tak ter- deinisi. 13 Matematika b Kasus m = n Jika m = n, maka a a m n = 1 = a = a m–n . Bukti: a a a a m n m m = , sebab m = n = a a a a a a a a m m × × × × × × × × ... ... faktor faktor = 1 = a Latihan 1.2 Buktikan sendiri untuk kasus m n. Jelaskan perbedaan hasilnya dengan kasus a. Buktikan Jika a bilangan real dan a ≠ 0, m dan n bilangan bulat positif, m n, maka a a a m n m n = − . Bukti: Ambil sebarang m dan n bilangan bulat positif, m n. m n ⇒ m – n 0. a a a a a a a a a a m n m faktor n m faktor = × × × × × × × × − ... ... = × × × × × × × ×  − a a a a a a a a m faktor n m faktor ... ...          × × × × ×           = × × × 1 1 a a a a a a a m faktor ... ... × ×           =       = = − − − − − a a a a n m faktor n m n m m n 1 karena m n, maka m – n 0 Agar siswa benar-benar dapat menguasai kon- sep tentang Sifat-2 un- tuk kasus m n, sesuai Latihan 1.2. Alternatif jawaban yang diharap- kan dari siswa sebagai bukti Sifat-1.2 untuk kasus m n, dapat dicermati di samping. 14 Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi Sifat-3 Jika a bilangan real dan a ≠ 0, m dan n bilangan bulat positif, maka a m n = a mn Bukti: a a a a a a a a a m n m m m m n m = × × × × = × × × × ... ... faktor faktor       × × × ×       × × × × a a a a a a a a m ... ... faktor m m m a a a a faktor faktor       × × × ×       ... ...  = × × × ×    × n m n a a a a faktor faktor ...    = × a a m n m n terbukti Diskusi Diskusikan dengan temanmu, apakah syarat bahwa m dan n bilangan positif diperlukan untuk Sifat-3 dan Sifat-4. Bagaimana jika m dan n adalah negatif atau kedua-duanya bilangan negatif. Catatan Dalam beberapa deinisi, sifat, dan proses pembuktian sering kita menggunakan simbol logika. Beberapa simbol yang sering kita gunakan dijelaskan sebagai berikut. a. Simbol ∀ dibaca untuk setiap atau untuk semua. Misalnya, ∀ x∈R, berlaku x 2 ≥ 0 dibaca, untuk setiap x bilangan real, maka x kuadrat lebih dari atau sama dengan nol. b. Simbol p ⇒ q dibaca jika p, maka q. Misalnya x = 2 ⇒ x 2 = 4 Ajak siswa berdiskusi dalam kelompok belajar, untuk menganalisis pent- ingnya syarat m dan n bilangan bulat positif un- tuk Sifat-3. Jika m dan n adalah salah satu negatif dan ketika a = 0, misalnya 1 2 3 2 3 6 6 = = = − − × − Tentu 0 6 = 0. Dengan demikian 1 1 6 = hasil- nya tak terdeinisi. Jelaskan pada siswa catatan penting di sam- ping, tentang pemanfaatan dan makna simbol logika matematika yang sering digunakan dalam deinisi, sifat, dan proses pembuk- tian. Selanjutnya minta siswa untuk mencoba mema- hami bukti Sifat-3 dengan memberi bantuan sebagai berikut. 3 2 3 = 3 × 3 3 = 9 3 = 9 × 9 × 9 = 729 = 3 6 = 3 2×3 Selanjutnya mengarahkan siswa membuktikan Si- fat-3 secara umum, seper- ti yang tertera pada buku siswa di samping 15 Matematika c. Simbol p ⇔ q dibaca p jika dan hanya jika q atau p bila dan hanya bila q. Misalnya x 2 = 4 ⇔ x = 2 atau x = -2 Contoh 1.2 a Buktikan jika a ∈ R, a 1 dan n m, maka a n a m Bukti: Karena a 1 dan n m maka n – m 0 dan a n 0, a m 0. Akibatnya, berlaku ⇔ = ⇔ − a a a a a a a n m n m n m n m Lihat sifat-1di atas Mengapa ?Beri al 1 1 aasamu Karena terbukti ⇔ × × ⇔ a a a a a a a n m m m m m n 1 b Perlukah syarat a 1? Misalkan kita ambil a bilangan real yang memenuhi a 1 dan n m. Apakah yang terjadi? Pilih a = –2, dengan n m, pilih n = 3 dan m = 2. Apakah yang terjadi? –2 3 = –2 × –2 × –2 = –8 –2 2 = –2 × –2 = 4 Dengan demikian, a n = –8 4 = a m atau a n a m . Jadi, tidak benar bahwa a n a m bila a 1 dan n m. Jadi, syarat a adalah bilangan real, dengan a 1 dan n m merupakan syarat cukup untuk membuktikan a n a m . Latih siswa berpikir anal- itis dengan mengajukan Contoh 1.2 di samping. Minta siswa membuktikan masalah yang diberikan dan beri bantuan, jika siswa mengalami kesuli- tan. Ajukan berbagai per- tanyaan untuk menguji pemahaman siswa, dalam pemanfaatan kosep dan sifat yang sudah dipela- jari sebelumnya, untuk proses pembuktian. Minta siswa memberi con- toh yang lain dengan me- milih nilai a tertentu, agar pernyataan pada Contoh 1.2 tidak berlaku, apabila a 1. Seperti halnya con- toh penyangkal pada buku siswa di samping. 16 Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi Diskusi Berdiskusilah dengan temanmu satu kelompok. Analisis pernyataan pada Contoh 1.2 • Apa akibatnya bila syarat a 1 tidak dipenuhi? • Perlukah diperkuat dengan syarat n m 0? Jelaskan • Bolehkah syarat a 1 di atas diganti a ≥ 1? Jelaskan • Bagaimanakah bila 0 a 1 dan a 0? • Buat aturan hubungan antara a n dan a m untuk bermacam-macam nilai a di atas • Buat laporan hasil diskusi kelompokmu. Contoh 1.3 Terapkan berbagai sifat bilangan berpangkat untuk menentukan hasil operasi bilangan pada soal yang disajikan pada contoh. Ujilah kebenaran hasilnya 1. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 5 7 × = × × × × × × = × × × × faktor faktor faktor = = + 2 2 7 2 5 dengan menggunakan Sifat-1 2. dengan menggunakan Sifat-2 kasus b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 5 = × × × × × × × × = = 2 5–5 = 2 5–5 Arahkan siswa diskusi dengan temannya satu kelompok. Minta siswa menganalisis beberapa pernyataan pada tabel di samping. Jika syarat a 1 tidak dipenuhi, maka per- nyataan jika a ϵ R , a 1 dan n m, maka an am, belum tentu benar. Tidak perlu diperkuat syarat n m menjadi n m 0, sebab per- nyataan pada Contoh 1.4 berlaku untuk n dan m yang negatif. Syarat a 1 tidak boleh diganti dengan a ≥ 1, se- bab untuk a = 1, a n = a m . Arahkan siswa mencer- mati beberapa contoh yang disajikan, agar lebih mema-hami penggunaan sifat-sifat bilangan ber- pangkat dalam penyele- saian berbagai soal.Cek pemahaman siswa dengan mengajukan pertanyaan- pertanyaan terkait peman- faatan sifat tersebut 17 Matematika 3. dengan menggunakan Sifat-3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 3 3 3 = × = × × × × × = × f f aktor aktor 2 2 2 2 2 2 2 2 6 3 3 6 × × × × = = + faktor 4. 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 3 3 3 3 3 3 × = × × × × × = × × × × × faktor faktor = × 2 3 3 3 dengan menggunakan Deinisi 1.1 5. 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 3 3 3 3       =       ×       ×       = × × × × faktor 3 3 2 3 3 3 3 faktor = dengan menggunakan Deinisi 1.1 Contoh 1.4 Buktikan bahwa jika a 1 dan n m dengan n dan m bilangan bulat negatif, maka a n a m . Bukti: Karena n m dengan n dan m bilangan bulat negatif, maka –n dan –m adalah bilangan bulat positif dan –m –n. Karena a 1 maka a a a a m n n m − − = 1 Gunakan sifat a –m = 1 a m . a a n m 1 ⇒ a n a m terbukti Latih siswa berpikir kri- tis, analitis, dan kreatif dengan mengajukan Con- toh 1.4 di samping. Minta siswa membuktikan per- nyataan yang diberikan dan beri bantuan, jika siswa mengalami kesuli- tan. Ajukan berbagai per- tanyaan untuk menguji pemahaman siswa, dalam pemanfaatan konsep dan sifat yang sudah dipelajari sebelumnya, untuk proses pembuktian. Pernyataan pada Contoh 1.4, tidak berlaku untuk a 1, misalnya pilih a = –3, n = –2, dan m = –3. a a n m = − − = − − − − 3 3 3 3 2 3 3 2 = − = − 27 9 3 1 a a a a n m n m ⇒ 1 . 18 Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi Contoh 1.5 Berdasarkan sifat perkalian dengan bilangan 7, tentukan angka satuan dari 7 1234 tanpa menghitung tuntas. Perhatikan angka satuan dari perpangkatan dari 7 berikut? Perpangkatan 7 Nilai Angka Satuan 7 1 7 7 7 2 49 9 7 3 343 3 7 4 2401 1 7 5 16807 7 7 6 117649 9 7 7 823543 3 7 8 5764801 1 Coba lanjutkan langkah berikutnya untuk menemukan angka satuan 7 1234 . Cermati sifat satuan pada tabel di atas. Saat periode ke berapakah berulang? Selanjutnya manfaatkan sifat-sifat perpangkatan dan perkalian bilangan berpangkat.

5. Pangkat Pecahan