10
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
2. Pangkat Bulat Negatif
Deinisi 1.2
Untuk a bilangan real dan a ≠ 0, m bilangan bulat positif,
dideinisikan a
a
m m
−
=
1
Deinisi di atas dijelaskan sebagai berikut: a
a a
a a
a
m m
−
=
=
×
×
× ×
1
1 1
1 1
...
sebany yak
faktor
faktor m
m m
a a a a
a =
× × × × =
1
1 ...
Contoh 1.1
Jika x = –2 dan y = 2, tentukan nilai x
-3
y
4
Alternatif Penyelesaian x
y y
x
−
= =
− =
− = −
3 4
4 3
4 3
2 2
16 8
2
3. Pangkat Nol
Deinisi 1.3
Untuk a bilangan real dan a ≠ 0, maka a
= 1.
6. Untuk x ∝ menuju ∝,
diperoleh y menuju ∝.
Untuk x menuju - ∝, di-
peroleh y menuju 0. Ajukan beberapa con-
toh yang dipahami siswa tentang perpangkatan di
SMP, dalam membangun pemahaman terhadap
Deinisi 1.2 di samping. Misalnya
3 1
3 1
3
3 3
3 −
= =
=
×
×
1
3 1
3 1
3 =
1 3
3 3
1 9
× × =
Selanjutnya menga- jak siswa mencermati
penjelasan Deinisi 1.2 secara deduktif, seperti
disajikan disamping.
Untuk lebih memahami Deinisi 1.2, minta siswa
mencermati Contoh 1.1 di samping. Cek kebenaran
hasil kerja siswa mener-
apkan Deinisi 1.2, dalam menyelesaikan soal pada
Contoh 1.1.
Arahkan siswa memahami Deinisi 1.4 di samping,
dengan mengajukan be- berapa pertanyaan, sep-
erti:
11
Matematika
Untuk lebih memahami deinisi di atas, perhatikan pola hasil pemangkatan bilangan-bilangan berikut.
2
3
= 8 3
3
= 27 2
2
= 4 3
2
= 9 2
1
= 2 3
1
= 3 2
= 1 3
= 1 Perhatikan hasil pemangkatan 2 dengan 0, dan hasil
pemangkatan 3 dengan 0, hasil perpangkatannya adalah 1.
4. Sifat-sifat Pangkat Bulat Positif
Coba cermati bukti sifat-sifat bilangan berpangkat bulat positif menggunakan deinisi bilangan berpangkat
yang kamu telah pelajari sebelumnya.
Sifat-1
Jika a bilangan real, m dan n bilangan bulat positif maka a
m
× a
n
= a
m+n
Bukti:
a a
a a a a a a a
a
m n
m faktor n faktor
× = × × × × × × × × ×
... ...
= ×
= × × × × ×
+
a a
a a a a a a
m n
m n
= a
m+n
• Perhatikan a a a a
a
m m faktor
= × × × × ...
. Diskusikan dalam kelompokmu,
apakah benar perpangkatan adalah perkalian berulang?
• Bagaimana jika m dan n bukan bilangan bulat positif?
Mengapa batasan bilan- gan real dan . Bagaimana
hasil a0, ketika a = 0. Beri penjelasan bahwa ketika
a = 0 maka a
= 0 , hasil-
nya taktentu. Selanjutnya ajak siswa mengamat pola
hasil perpangkatan bilan- gan 2 dan 3 di samping.
Untuk meyakinkan siswa bahwa a
= 1, a ≠ 0
Minta siswa untuk dapat membuktikan Sifat-1 se-
hingga siswa dapat me- nyimpulkan bahwa sifat
tersebut benar untuk m dan n bilangan bulat posi-
tif.
Jelaskan pada siswa bah- wa perpangkatan adalah
perkalian berulang. Si- fat-1, hanya berlaku a
bilangan real, m dan n bi- langan bulat positif. Jika
m dan n bukan bilangan bulat positif, Sifat-1 tidak
berlaku, misalnya a = 0 dan m = n = 0, tidak ber-
laku
12
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Sifat-2
Jika a bilangan real dan a ≠ 0, m dan n bilangan bulat
positif, maka
a a
a
m n
m n
=
−
. Bukti:
a a
a a a a
a a a a
m n
m n
= × × × ×
× × × × ...
...
faktor faktor
sesuai Deinisi 1.1
• Pada persyaratan Sifat-2, mengapa a ≠ 0 dipersyaratkan?
• Bagaimana jika a = 0? Apa dampaknya pada hasil pembagian
a a
m n
? Jika kamu tidak tahu bertanya ke guru
Sifat-1 di atas hanya berkaitan dengan bilangan bulat positif m dan n. Ada 3 tiga kemungkinan, yaitu a m n,
b m = n, dan c m n.
a Kasus m n
Jika m dan n bilangan bulat positif dan m n maka m
– n 0. Dengan demikian
a a
a a a a
a a a a
a
m n
m n
= × × × ×
× × × × =
× ...
...
faktor faktor
a a a
a a a a
a a a a
n n
× × × × × × ×
× × × × ...
... ..
faktor faktor
.. ...
× = × × × ×
=
− −
−
a a a a
a a
m n m n
m n faktor
faktor
Jadi
a a
m n
= a
m-n
, dengan m, n bilangan bulat positif dan m n
Selanjutnya bimbing siswa agar memaha-
mi tentang Sifat-2 dan data menunjukkan bukti
dari sifat tersebut. Beri penjelasan pada siswa
dalam Sifat-2, tidak diiz- inkan a = 0, sebab ben-
tuk perpangkatan pada Sifat-2 adalah bentuk ra-
sional. Dalam pecahan penyebutnya tidak lazim
nol.Ketika a = 0 dan m, n bilangan bulat positif,
maka a
m
atau a
n
dimung- kinkan hasilnya 0.Jika
hasil a
m
dan a
n
keduanya nol, maka hasil baginya
tak tentu. Jika a
m
= 0 dan a
n
≠ 0, maka hasil baginya 0. Tetapi jika
a
m
≠ 0 dan a
n
= 0, maka hasil baginya tak ter-
deinisi.
13
Matematika
b Kasus m = n
Jika m = n, maka
a a
m n
= 1 = a =
a
m–n
. Bukti:
a a
a a
m n
m m
= , sebab m = n
= a a a
a a a a
a
m m
× × × × × × × ×
... ...
faktor faktor
= 1
= a
Latihan 1.2
Buktikan sendiri untuk kasus m n. Jelaskan perbedaan hasilnya dengan kasus a.
Buktikan Jika a bilangan real dan a
≠ 0, m dan n bilangan bulat positif, m n, maka
a a
a
m n
m n
=
−
. Bukti:
Ambil sebarang m dan n bilangan bulat positif, m n. m n
⇒ m – n 0.
a a
a a a a
a a a a
m n
m faktor n m faktor
= × × × ×
× × × ×
−
... ...
= × × × ×
× × × ×
−
a a a a
a a a a
m faktor n m faktor
... ...
×
× × × ×
=
× × × 1
1 a a a
a
a a a
m faktor
...
... ×
×
=
=
=
− −
− −
−
a
a a
a
n m faktor n m
n m m n
1
karena m n, maka m – n 0 Agar siswa benar-benar
dapat menguasai kon- sep tentang Sifat-2 un-
tuk kasus m n, sesuai Latihan 1.2. Alternatif
jawaban yang diharap- kan dari siswa sebagai
bukti Sifat-1.2 untuk kasus m n, dapat dicermati di
samping.
14
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Sifat-3
Jika a bilangan real dan a ≠ 0, m dan n bilangan bulat
positif, maka a
m n
= a
mn
Bukti: a
a a
a a
a a a a
m n
m m
m m
n m
= ×
× × ×
= × × × ×
... ...
faktor faktor
× × × ×
× × × × a a a
a a a a
a
m
... ...
faktor m
m m
a a a a
faktor faktor
× × × ×
...
...
= × × × ×
× n
m n
a a a a
faktor faktor
...
=
×
a a
m n
m n
terbukti
Diskusi
Diskusikan dengan temanmu, apakah syarat bahwa m dan n bilangan positif diperlukan untuk Sifat-3 dan
Sifat-4. Bagaimana jika m dan n adalah negatif atau
kedua-duanya bilangan negatif.
Catatan Dalam beberapa deinisi, sifat, dan proses pembuktian
sering kita menggunakan simbol logika. Beberapa simbol yang sering kita gunakan dijelaskan sebagai berikut.
a. Simbol ∀ dibaca untuk setiap atau untuk semua.
Misalnya, ∀ x∈R, berlaku x
2
≥ 0 dibaca, untuk setiap x bilangan real, maka x kuadrat lebih dari atau sama
dengan nol. b. Simbol
p ⇒ q dibaca jika p, maka q. Misalnya
x = 2 ⇒ x
2
= 4 Ajak siswa berdiskusi
dalam kelompok belajar, untuk menganalisis pent-
ingnya syarat m dan n bilangan bulat positif un-
tuk Sifat-3. Jika m dan n adalah salah satu negatif
dan ketika a = 0, misalnya
1
2 3
2 3 6
6
= =
=
− − ×
−
Tentu 0
6
= 0. Dengan demikian
1 1
6
= hasil- nya tak
terdeinisi. Jelaskan pada siswa
catatan penting di sam- ping, tentang pemanfaatan
dan makna simbol logika matematika yang sering
digunakan dalam deinisi, sifat, dan proses pembuk-
tian. Selanjutnya minta siswa
untuk mencoba mema- hami bukti Sifat-3 dengan
memberi bantuan sebagai berikut.
3
2 3
= 3 × 3
3
= 9
3
= 9 × 9 × 9 = 729 = 3
6
= 3
2×3
Selanjutnya mengarahkan siswa membuktikan Si-
fat-3 secara umum, seper- ti yang tertera pada buku
siswa di samping
15
Matematika
c. Simbol p
⇔ q dibaca p jika dan hanya jika q atau p bila dan hanya bila q. Misalnya x
2
= 4 ⇔ x = 2 atau x = -2
Contoh 1.2
a Buktikan jika a ∈ R, a 1 dan n m, maka a
n
a
m
Bukti: Karena
a 1 dan n m maka n – m 0 dan a
n
0, a
m
0. Akibatnya, berlaku
⇔ =
⇔
−
a a
a a
a a
a
n m
n m
n m
n m
Lihat sifat-1di atas Mengapa
?Beri al 1
1 aasamu
Karena terbukti
⇔ ×
× ⇔
a a
a a
a a
a
n m
m m
m m
n
1
b Perlukah syarat a 1? Misalkan kita ambil a bilangan real yang memenuhi a
1 dan n m. Apakah yang terjadi? Pilih
a = –2, dengan n m, pilih n = 3 dan m = 2. Apakah yang terjadi?
–2
3
= –2 × –2 × –2 = –8 –2
2
= –2 × –2 = 4 Dengan demikian, a
n
= –8 4 = a
m
atau a
n
a
m
. Jadi, tidak benar bahwa a
n
a
m
bila a 1 dan n m. Jadi, syarat a adalah bilangan real, dengan a 1 dan n m
merupakan syarat cukup untuk membuktikan a
n
a
m
. Latih siswa berpikir anal-
itis dengan mengajukan Contoh 1.2 di samping.
Minta siswa membuktikan masalah yang diberikan
dan beri bantuan, jika siswa mengalami kesuli-
tan. Ajukan berbagai per- tanyaan untuk menguji
pemahaman siswa, dalam pemanfaatan kosep dan
sifat yang sudah dipela- jari sebelumnya, untuk
proses pembuktian.
Minta siswa memberi con- toh yang lain dengan me-
milih nilai a tertentu, agar pernyataan pada Contoh
1.2 tidak berlaku, apabila a 1. Seperti halnya con-
toh penyangkal pada buku siswa di samping.
16
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Diskusi
Berdiskusilah dengan temanmu satu kelompok. Analisis pernyataan pada Contoh 1.2
• Apa akibatnya bila syarat a 1 tidak dipenuhi? • Perlukah diperkuat dengan syarat n m 0?
Jelaskan • Bolehkah syarat a 1 di atas diganti a ≥ 1? Jelaskan
• Bagaimanakah bila 0
a
1 dan a 0? • Buat aturan hubungan antara a
n
dan a
m
untuk bermacam-macam nilai a di atas
• Buat laporan hasil diskusi kelompokmu.
Contoh 1.3
Terapkan berbagai sifat bilangan berpangkat untuk menentukan hasil operasi bilangan pada soal yang disajikan
pada contoh. Ujilah kebenaran hasilnya
1. 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 5
2 5
7
× = × × × × × ×
= × × × ×
faktor faktor
faktor
= =
+
2 2
7 2 5
dengan menggunakan Sifat-1
2. dengan menggunakan
Sifat-2 kasus b 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
5 5
= × × × ×
× × × × =
= 2
5–5
= 2
5–5
Arahkan siswa diskusi dengan temannya satu
kelompok. Minta siswa menganalisis beberapa
pernyataan pada tabel di samping.
Jika syarat a 1 tidak dipenuhi, maka per-
nyataan jika a ϵ R , a 1 dan n m, maka an
am, belum tentu benar.
Tidak perlu diperkuat syarat n m menjadi
n m 0, sebab per- nyataan pada Contoh
1.4 berlaku untuk n dan m yang negatif.
Syarat a 1 tidak boleh
diganti dengan a ≥ 1, se- bab untuk a = 1, a
n
= a
m
. Arahkan siswa mencer-
mati beberapa contoh yang disajikan, agar lebih
mema-hami penggunaan sifat-sifat bilangan ber-
pangkat dalam penyele- saian berbagai soal.Cek
pemahaman siswa dengan mengajukan pertanyaan-
pertanyaan terkait peman- faatan sifat tersebut
17
Matematika
3. dengan menggunakan
Sifat-3 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
3 2
3 3
3 3
= ×
= × ×
× × ×
= ×
f f
aktor aktor
2 2
2 2
2 2
2 2
6 3 3
6
× × × × =
=
+ faktor
4. 2
3 2
3 2
3 2
3 2
2 2
3 3
3
3 3
3
× =
× ×
× ×
× = × × × × ×
faktor faktor
= ×
2 3
3 3
dengan menggunakan Deinisi 1.1
5. 2
3 2
3 2
3 2
3 2
2 2
3 3
3 3
=
×
×
= × ×
× ×
faktor
3 3
2 3
3 3
3 faktor
= dengan menggunakan
Deinisi 1.1
Contoh 1.4
Buktikan bahwa jika a 1 dan n m dengan n dan m bilangan bulat negatif, maka a
n
a
m
. Bukti:
Karena n m dengan n dan m bilangan bulat negatif, maka –n dan –m adalah bilangan bulat positif dan –m –n.
Karena a 1 maka a
a a
a
m n
n m
− −
= 1 Gunakan sifat a
–m
= 1
a
m
. a
a
n m
1 ⇒ a
n
a
m
terbukti Latih siswa berpikir kri-
tis, analitis, dan kreatif dengan mengajukan Con-
toh 1.4 di samping. Minta siswa membuktikan per-
nyataan yang diberikan dan beri bantuan, jika
siswa mengalami kesuli- tan. Ajukan berbagai per-
tanyaan untuk menguji pemahaman siswa, dalam
pemanfaatan konsep dan sifat yang sudah dipelajari
sebelumnya, untuk proses pembuktian.
Pernyataan pada Contoh 1.4, tidak berlaku untuk a
1, misalnya pilih a = –3, n = –2, dan m = –3.
a a
n m
= −
− =
− −
− −
3 3
3 3
2 3
3 2
= −
= − 27
9 3
1 a
a a
a
n m
n m
⇒ 1
.
18
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Contoh 1.5
Berdasarkan sifat perkalian dengan bilangan 7, tentukan angka satuan dari 7
1234
tanpa menghitung tuntas. Perhatikan angka satuan dari perpangkatan dari 7 berikut?
Perpangkatan 7
Nilai Angka Satuan
7
1
7 7
7
2
49 9
7
3
343 3
7
4
2401 1
7
5
16807 7
7
6
117649 9
7
7
823543 3
7
8
5764801 1
Coba lanjutkan langkah berikutnya untuk menemukan angka satuan 7
1234
. Cermati sifat satuan pada tabel di atas. Saat periode ke berapakah berulang? Selanjutnya
manfaatkan sifat-sifat perpangkatan dan perkalian bilangan berpangkat.
5. Pangkat Pecahan