466
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
2. Sifat-Sifat Limit Fungsi
Berdasarkan Contoh 10.1, Contoh 10.2 dan Contoh 10.3 di atas, secara induktif di peroleh sifat berikut
Sifat-10.1
Misalkan f suatu fungsi dengan f : R
→
R dan L, c bilangan real.
lim
x c
→
f x = L jika dan hanya jika lim
x c
→
−
f x = L = lim
x c
→
+
f x. Kita akan merumuskan sifat – sifat limit fungsi aljabar
melalui pengamatan pada beberapa contoh berikut. Kamu diminta untuk memperhatikan, mengamati dan menemukan
sifat – sifat limit fungsi.
Contoh 10.4
a Jika fx = 2 maka nilai pendekatan fx pada saat x mendekati 1 dapat ditunjukkan pada tabel berikut.
Diberikan beberapa nilai-nilai x yang mendekati 1.
Tabel 10.6 Nilai pendekatan fx = 2, pada saat x mendekati 1
x 0,2
0,5 0,9
0,99 0,999
… y
2 2
2 2
2 2
… 1
… 1,001
1,01 1,1
1,5 1,8
2 ?
… 2
2 2
2 2
2
Apa yang kamu peroleh dari Tabel 10.6? Kita dapat amati, jika x mendekati 1 dari kiri dan kanan
maka nilai y akan mendekati 2. Secara matematika ditulis lim
lim
x x
→ →
− +
= =
1 1
2 2
2 atau lim
x →1
2 = 2 berdasarkan Sifat 10.1
b Jika fx = 4 maka nilai pendekatan fx pada saat x mendekati 1 ditunjukkan pada tabel berikut. Diberikan
Arahkan siswa untuk menggambar fungsi
tersebut Berikan wak- tu kepada siswa untuk
menjelaskan pendapatnya kemudian guru mengajak
siswa mengambil kesim- pulan.
Minta siswa mengamati Tabel 10.6, 10.7, 10.8 dan
menentukan limit masing – masing fungsi.
Tanya siswa, kenapa limit kiri sama dengan limit
kanan pada lim
x →1
2 = 2, lim
x →1
4 = 4, lim
x →1
k = k
467
Matematika
beberapa nilai x yang mendekati 1.
Tabel 10.7 Nilai pendekatan fx = 4, pada saat x mendekati 1
x 0,2
0,5 0,9
0,99 0,999
… y
4 4
4 4
4 4
… 1
… 1,001
1,01 1,1
1,5 1,8
? …
4 4
4 4
4
Kita dapat amati, lim lim
x x
→ →
− +
= =
1 1
4 4
4 atau lim
x→
=
1
4 4
berdasarkan Sifat 10.1. c Jika fx = k dengan k bilangan real maka nilai pendekatan
fx pada saat x mendekati 1 ditunjukkan pada tabel berikut. Diberikan beberapa nilai x yang mendekati 1.
Tabel 10.8 Nilai pendekatan, fx = k pada saat x mendekati 1
x 0,2
0,5 0,9
0,99 0,999
… y
k k
k k
k k
… 1
… 1,001
1,01 1,1
1,5 1,8
1,8 ?
… k
k k
k k
k
Kita dapat amati, jika x mendekati 1 dari kiri dan kanan maka nilai y akan mendekati k. Hal ini dapat kita
tuliskan secara matematika, lim
x→
−
1
k = k = lim
x→
+
1
k dengan lim
x →1
k = k atau berdasarkan Sifat 10.1. Secara umum, dapat disimpulkan sifat berikut:
Sifat-10.2
Misalkan f x = k adalah fungsi konstan dan c bilangan real, maka
lim
x c
→
k =k. Minta dan bantu siswa
menunjukkan limit pada contoh 10.4 dengan graik
Arahkan siswa memaha- mi Sifat 10.2 dari peng-
amatan pada Tabel 10.6, 10.7, 10.8
468
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Contoh 10.5
Perhatikan limit fungsi fx = x pada contoh 10.5a, 10.5b berikut dengan pendekatan x yang berbeda.
a. Jika fx = x maka nilai pendekatan fx ada saat x
mendekati 1 ditunjukkan pada tabel berikut.
Tabel 10.9 Nilai pendekatan fx = x, pada saat x mendekati 1
x 0,2
0,5 0,9
0,99 0,999
… y
0,2 0,5
0,9 0,99
0,999 …
1 …
1,001 1,01
1,1 1,5
1,8 2
? …
1,001 1,01
1,1 1,5
1,8 2
Kita amati pergerakan nilai - nilai x dan fx pada tabel. Perhatikan, jika x mendekati 1 dari kiri dan kanan maka nilai
y akan mendekati 2. Hal ini dapat ditulis secara matematika
dengan
lim lim
x x
x x
→ →
− +
= =
1 1
1
atau lim
x
x
→
=
1
1 berdasarkan Sifat 10.1.
Coba kamu tunjukkan kembali nilai limit fungsi tersebut dengan gambar?
b. Jika fx = x maka nilai pendekatan fx pada saat x
mendekati 2 dapat ditunjukkan pada tabel berikut.
Tabel 10.10 Nilai pendekatan fx, pada saat x mendekati 2
x 1
1,2 1,5
1,9 1,99
1,999 …
y 1
1,2 1,5
1,9 1,99
1,999 …
2 …
2,001 2,01
2,1 2,5
2,8 3
? …
2,001 2,01
2,1 2,5
2,8 3
Minta siswa mengamati Tabel 10.9, 10.10 dan me-
nentukan limit masing – masing fungsi.
Minta dan bantu siswa menunjukkan limit pada
Contoh 10.5 dengan graik.
469
Matematika
Kita dapat amati lim lim
x x
x x
→ →
− +
= =
2 2
2 atau lim
x
x
→
=
2
2 berdasarkan sifat 10.1.
▪ Dapatkah kamu menunjukkan kembali nilai limit fungsi tersebut dengan gambar?
Secara umum, dari contoh tersebut diperoleh sifat berikut:
Sifat-10.3
Misalkan fx = x, adalah adalah fungsi dan c bilangan real, maka lim
x c
→
x = c
Contoh 10.6
a. Jika fx = 2x maka nilai pendekatan fx pada saat x
mendekati 1 dapat ditunjukkan pada tabel berikut.
Tabel 10.11 Nilai pendekatan fx = 2x pada saat x mendekati 1
x 0,2
0,5 0,9
0,99 0,999
... y
0,4 1,0
1,8 1,98
1,998 ...
1 ...
1,001 1,01
1,1 1,5
1,8 2
? ...
2,001 2,02
2,2 2
2 2
Kita dapat amati lim lim
x x
x x
→ →
− +
= =
1 1
2 2
2 atau lim
x
x
→
=
1
2 2
Jika diuraikan maka:
lihat Contoh 10.5a: lim
x →1
x = 1 lim
lim
x x
x x
→ →
= =
=
1 1
2 2
2 1 2
b. Jika fx = 4x maka nilai pendekatan fx pada saat x
mendekati 1 dapat ditunjukkan pada tabel berikut. Minta siswa mengamati
Tabel 10.11, 10.12 dan menentukan limit masing
– masing fungsi.
Minta dan bantu siswa menunjukkan limit fungsi
pada Contoh 10.6 dengan graik
Arahkan siswa memaha- mi Sifat 10.3 dari peng-
amatan pada Tabel 10.9, dan 10.10
470
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Tabel 10.12 Nilai pendekatan fx = 4x pada saat x mendekati 1
x 0,2
0,5 0,9
0,99 0,999
… y
0,8 2,0
3,6 3,96
3,996 …
1 …
1,001 1,01
1,1 1,5
1,8 2
? …
4,004 4,04
4,4 6,0
7,2 8
Kita dapat amati lim lim
x x
x x
→ →
− +
= =
1 1
4 4
4 atau lim
x
x
→
=
1
4 4
Jika diuraikan proses dengan kaitannya dengan lim
x
x
→
=
1
1 maka:
lihat Contoh 10.5a: lim
x
x
→
=
1
1 lim
lim
x x
x x
→ →
= =
=
1 1
4 4
4 1 4
Secara umum, dari contoh tersebut diperolah sifat berikut:
Sifat-10.4
Misalkan f adalah fungsi yang mempunyai limit bila x mendekati c, dengan c adalah bilangan real,
lim [lim ]
x c
x c
kf x k
f x
→ →
[ ]
=
Contoh 10.7
a. Jika fx = x
2
maka nilai pendekatan fx pada saat x mendekati 1 dapat ditunjukkan pada tabel berikut.
Tabel 10.13 Nilai pendekatan fx = x
2
pada saat x mendekati 1
x 0,2
0,5 0,9
0,99 0,999
… y
0,04 0,25
0,81 0,98
0,99 …
1 …
1,001 1,01
1,1 1,5
1,8 3
? …
1,00 1,02
2,21 2,25
2,50 3
Arahkan siswa memaha- mi Sifat 10.4 dari peng-
amatan pada Tabel 10.11, dan 10.12
Minta siswa mengamati Tabel 10.13, 10.14 dan
menentukan limit masing – masing fungsi.
471
Matematika
Kita dapat amati lim lim
x x
x x
→ →
− +
= =
1 2
1 2
1 atau lim
x
x
→
=
1 2
1 Jika di uraikan maka:
lihat Contoh 10.5a: lim
x
x
→
=
1
1 lim
lim lim lim
x x
x x
x x x
x x
→ →
→ →
= =
= =
1 2
1 1
1
1 1 1
b. Jika fx = 2x
2
maka nilai pendekatan fx pada saat x mendekati 1 dapat ditunjukkan pada tabel berikut.
Tabel 10.14 Nilai pendekatan fx = 2 x
2
pada saat x mendekati 1
x 0,2
0,5 0,9
0,99 0,999
… y
0,08 0,5
1,62 1,96
2,00 …
1 …
1,001 1,01
1,1 1,5
1,8 3
? …
2,00 2,04
2,42 2
2,50 3
Kita dapat amati lim lim
x x
x x
→ →
− +
= =
1 2
1 2
2 2
2 atau lim
x
x
→
=
1 2
2 2
. Bila diuraikan prosesnya dengan kaitannya terhadap lim
x →1
2 = 2 dan lim
x →1
x = 1. Perhatikan ke 3 uraian berikut.
Uraian 1 Uraian 2
lim
x →1
2x x = lim
x →1
2 lim
x →1
x lim
x →1
x = 2
× 1 × 1 = 2
karena: lim
x →1
2 = 2 Contoh 10.4a
dan lim
x →1
x = 1 Contoh 10.5a
lim
x →1
2x
2
= lim
x →1
2 lim
x →1
x = 2
× 1 = 2
karena: lim
x →1
2 = 2 Contoh 10.4a
dan lim
x →1
x
2
= 1 Contoh 10.7a
Minta dan bantu siswa menunjukkan limit fungsi
pada Contoh 10.6 dengan graik
472
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Uraian 3
lim
x →1
2xx = lim
x →1
2x lim
x →1
x = 2
× 1 = 2
karena: lim
x →1
2x = 2 contoh 10.6a
dan lim
x →1
x = 1 contoh 10.5a
Berdasarkan contoh di atas, maka dapat diperoleh sifat berikut:
Sifat-10.5
Misalkan f, g adalah dua fungsi yang mempunyai limit bila x mendekati c.
lim [lim ][lim ]
x c
x c
x c
f x g x f x
g x
→ →
→
[ ]
=
Contoh 10.8
a. Jika fx = 2x
2
– x maka nilai pendekatan fx pada saat x mendekati 1 dapat ditunjukkan pada tabel berikut.
Tabel 10.15 Nilai pendekatan
fx = 2x
2
– x
pada saat x mendekati 1
x
0,5 0,9
0,99 0,999
…
y
0,72 0,97
0,99 …
1 …
1,001 1,01
1,1 1,5
2 ?
… 1,00
1,03 1,32
3 6
Kita dapat amati lim lim
x x
x x
x x
→ →
− +
−
= = −
1 2
1 2
2 1
2 atau
lim
x
x x
→
−
=
1 2
2 1
. Bila diuraikan proses dengan kaitannya pada lim
x →1
2x
2
= 2 dan lim
x →1
x = 1 maka, Arahkan siswa memaha-
mi Sifat 10.5 dari peng- amatan pada Tabel 10.13,
dan 10.14
Minta siswa mengamati Tabel 10.15, 10.16, 10.17,
10.18 dan menentukan limit masing – masing
fungsi.
473
Matematika
lihat Contoh 10.7b:
lim
x →1
2x
2
= 1 dan
Contoh 10.5a: lim
x →1
x = 2
lim lim
lim lim
x x
x x
x x
x x
x x
→ →
→ →
−
= −
= −
=
1 2
1 2
1 2
1
2 2
2 2
1 1
− =
b. Jika fx = x
2
– 4x maka nilai pendekatan fx pada saat x mendekati 1 dapat ditunjukkan pada tabel berikut.
Tabel 10.16 Nilai pendekatan
fx = x
2
– 4x
pada saat x mendekati 1
x
0,5 0,9
0,99 0,999
…
y
-1,7 -2,79
-2,79 -3,00
… 1
… 1,001
1,01 1,1
1,5 2
? …
-3,00 -3,00
-3,01 -3,19
-3,75
Kita dapat amati lim lim
x x
x x
x x
→ →
− +
−
= − = −
1 2
1 2
4 3
4 atau
lim
x
x x
→
−
= −
1 2
4 3 .
Bila diuraikan proses dengan kaitannya pada lim
x →1
x
2
= 1 dan lim
x →1
4x = 4 maka,
lihat Contoh 10.7a:
lim
x →1
x
2
= 1 dan
Contoh 10.5b: lim
x →1
4x = 4
lim lim
lim lim
x x
x x
x x
x x
x x
→ →
→ →
−
= −
= −
=
1 2
1 2
1 2
1
4 4
4 1
4 3
− = −
c. Jika fx = 2x
2
+ x maka nilai pendekatan fx pada saat x mendekati 1 dapat ditunjukkan pada tabel berikut.
Tabel 10.17 Nilai pendekatan
fx = 2x
2
+ x
pada saat x mendekati 1
x
0,5 0,9
0,99 0,999
…
y
1 2,52
2,95
3
…
474
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
1 …
1,001 1,01
1,1 1,5
2
? …
3,01 3,05
3,52 6
10
Kita dapat amati lim
x→
−
1
[2x
2
+ x] = 3 = lim
x→
+
1
[2x
2
+ x] atau lim
x →1
[2x
2
+ x] = 3. Bila diuraikan proses dengan kaitannya pada lim
x →1
2x
2
= 2 dan lim
x →1
x = 1 maka,
lihat Contoh 10.7b:
lim
x →1
2x
2
= 2 dan
Contoh 10.5b:
lim
x →1
4x = 4
lim lim
lim lim
x x
x x
x x
x x
x x
→ →
→ →
+
= +
= +
=
1 2
1 2
1 2
1
2 2
2 2
1 3
+ =
d. Jika fx = x
2
+ 4x maka nilai pendekatan fx pada saat x mendekati 1 dapat ditunjukkan pada tabel berikut.
Tabel 10.18 Nilai pendekatan
fx = x
2
+ 4x
pada saat x mendekati 1
x
0,5 0,9
0,99 0,999
…
y
2,25 4,41
4,94 4,99
… 1
…
1,001 1,01
1,1 1,5
2
? …
5,01 5,06
5,61 8,25
12
Kita dapat amati lim
x→
−
1
[x
2
+ 4x] = 5 = lim
x→
+
1
[x
2
+ 4x] atau lim
x →1
[x
2
+ 4x] = 5. Bila diuraikan proses dengan kaitannya pada lim
x →1
x
2
= 1 dan lim
x →1
4x = 4 maka,
lihat Contoh 10.7a:
lim
x →1
x
2
= 1 dan
Contoh 10.6b:
lim
x →1
4x = 4
lim lim
lim lim
x x
x x
x x
x x
x x
→ →
→ →
+
= +
= +
=
1 2
1 2
1 2
1
4 4
4 1
4 5
+ =
Minta dan bantu siswa menunjukkan limit pada
Contoh 10.6 dengan graik
475
Matematika
Berdasarkan contoh di atas maka dapat diperoleh sifat berikut:
Sifat-10.6
Misalkan f, g adalah dua fungsi yang mempunyai limit bila x mendekati c, dengan c adalah bilangan
real,
lim [lim ] [lim ]
x c
x c
x c
f x g x
f x g x
→ →
→
±
[ ]
= ±
Contoh 10.9
a. Jika fx =
2 2
2
x x
− maka nilai pendekatan fx pada
saat x mendekati 1 dapat ditunjukkan pada tabel berikut.
Tabel 10.19 Nilai pendekatan
fx = 2
2
2
x x
−
pada saat x mendekati 1
x
0,1 0,7
0,9 0,99
0,999
…
y
–25 7,14
2,78 2,06
2,01 …
1 …
1,001 1,01
1,1 1,5
1,7 ?
… 1,99
1,94 1,52
0,67 0,49
Kita dapat amati lim lim
x x
x x
x x
→ →
− +
− =
= −
1 2
1 2
2 2
2 2
2 atau
lim
x
x x
→
− =
1 2
2 2
2 Bila diuraikan proses dengan kaitannya dengan lim
x →1
2 = 2 dan lim
x →1
[2x
2
– x] maka, Minta siswa mengamati
Tabel 10.19, 10.20 dan menentukan limit masing
– masing fungsi. Arahkan siswa memaha-
mi Sifat 10.6 dari peng- amatan pada Tabel 10.15,
10.16, 10.17, 10.18
476
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
lihat Contoh 10.4a:
lim
x →1
2 = 2 dan
Contoh 10.8a:
lim
x →1
[2x
2
– x] = 1 lim
x
x x
→
−
1 2
2 2
= lim
lim
x x
x x
→ →
−
1 1
2
2 2
= lim
lim
x x
x x
→ →
−
1 1
2
2 2
= 2
1 =
2 b. Jika
fx = x
x x
x
2 2
4 2
+ +
maka nilai pendekatan fx pada saat x mendekati 1 dapat ditunjukkan pada tabel
berikut.
Tabel 10.20 Nilai pendekatan
fx = x
x x
x
2 2
4 2
+ +
pada saat x mendekati 1
x
0,1 0,7
0,9 0,99
0,999
…
y
3,42 1,96
1,75 1,67
1,67
… 1
…
1,001 1,01
1,1 1,5
1,7 ?
…
1,67 1,66
1,59
1,38 1,30
Kita dapat amati lim ,
lim
x x
x x
x x
x x
x x
→ →
− +
+ +
= =
+ +
1 2
2 1
2 2
4 2
1 67 4
2 atau
lim ,
x
x x
x x
→
+ +
=
1 2
2
4 2
1 67 Bila diuraikan proses dengan kaitannya dengan lim
x →1
[x
2
+ 4x] = 5 dan lim
x →1
[2x
2
+ x] = 3 maka, lim
lim lim
,
x x
x
x x
x x
x x
x x
→ →
→
+ +
= +
+ =
=
1 2
2 1
2 1
2
4 2
4 2
5 3
1 67
lihat Contoh 10.8c:
lim
x →1
[x
2
+ 4x] = 5 dan
Contoh 10.8d: lim
x →1
[2x
2
+ x] = 3
477
Matematika
Latihan 10.1
Tunjukkan dengan pendekatan numerik, lim
lim lim
lim lim
x x
x x
x
x x
x x
→ →
→ →
→
+ =
+
2 2
2 2
2 2
2
4 2
4 2
Alternatif Penyelesaian Perhatikan tabel berikut.
x 1,99
1,999 …
2 …
2,001 2,01
2 2
2 …
4 …
2 2
4 4
4 …
2 …
4 4
x x
2
4 2
+
2 2
… 2
… 2
2
Dari tabel, diperoleh: lim
x
x x
→
+ =
2 2
4 2
2 , lim
x
x
→
=
2
2 , lim
x→
=
2
2 2 , lim
x→
=
2
4 4 dan
lim lim
lim lim lim
x x
x x
x
x x
x x
→ →
→ →
→
+ =
+ =
+
2 2
2 2
2 2
2 2
4 2
4 2
2 4
4 2 2
2 =
Berdasarkan contoh di atas maka dapat diperoleh sifat berikut:
Sifat-10.7
Misalkan f, g adalah dua fungsi yang mempunyai limit bila x mendekati c, dengan c adalah bilangan real dan
lim
x c
g x
→
≠ , maka
lim lim
lim
x c
x c
x c
f x f x
g x g x
→ →
→
=
Arahkan siswa memaha-
mi Sifat 10.7 dari peng- amatan pada Tabel 10.19,
dan 10.20 Latihan 10.1 telah di se-
lesaikan. Arahkan siswa untuk mengerjakan lati-
han 10.1 dan pandu me- reka menentukan nilai
limit dengan memanfaat- kan sifat.
478
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Contoh 10.10
a. Jika f x = 8x
3
maka nilai pendekatan f x pada saat x mendekati 1 dapat ditunjukkan pada tabel berikut.
Tabel 10.21 Nilai pendekatan
f x = 8x
3
pada saat x mendekati 1
x
0,1 0,7
0,9 0,99
0,999
…
y
0,01 2,74
5,83 7,76
7,98
… 1
…
1,001 1,01
1,1 1,5
1,7 ?
…
8,02 8,24
10,65 27
39,30
Kita dapat amati lim
x→
−
1
8x
3
= 8 = lim
x→
+
1
8x
3
atau lim
x →1
8x
3
= 8. Bila diuraikan proses dengan kaitannya dengan lim
x →1
2x = 2 maka,
lim lim
lim lim
lim
x x
x x
x
x x
x x
x x
→ →
→ →
→
= =
=
1 3
1 3
1 1
1
8 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 8
1 1
3 3
x x
x
x x
lim lim
→ →
= =
=
b. Jika f x =
4
2
x maka nilai pendekatan f x pada saat
x mendekati 1 dapat ditunjukkan pada tabel berikut.
Tabel 10.22 Nilai pendekatan
f x = 4
2
x
pada saat x mendekati 1
x
0,1 0,7
0,9 0,99
0,999
…
y
400 8,16
4,94 4,08
4,01
…
Minta siswa mengamati Tabel 10.21, 10.22 dan
menentukan limit masing – masing fungsi.
479
Matematika
1 …
1,001 1,01
1,1 1,5
1,7 ?
…
3,99 3,92
3,31 1,78
1,38
Kita dapat amati lim
x→
−
1
4
2
x = 4 = lim
x→
+
1
4
2
x atau lim
x →1
4
2
x = 4.
Bila diuraikan proses dengan kaitannya dengan lim
x →1
4 = 4 dan lim
x →1
x
2
= 1
maka,
lim lim
lim
x x
x
x x
x x
→ →
→
=
=
1 2
1 2
1
4 2
2 2
=
=
→ →
→
lim lim
lim
x x
x
x x
x
1 1
1 2
2 2
2 = 2
2
= 4
Latihan 10.2
Tunjukkan dengan pendekatan numerik, lim lim
x x
x x
→ →
=
2 2
3 3
x 1,5
1,9 1,99
1,999 ...
x 3
1,14 1,24
1,26 1,26
... x
3 3
1,5 1,9
1,99 2
... 2
... 2,001
2,01 2,1
2,5 1,26
... 1,26
2,01 1,28
1,36 2
... 2
2,01 2,1
2,5
Dari tabel, dapat dilihat pendekatan kiri dan kanan pada fungsi y = x dan y
x =
3 3
sehingga lim lim
x x
x x
→ →
=
2 2
3 3
Minta dan bantu siswa menunjukkan limit pada
Contoh 10.10 dengan graik
Siswa diminta melakukan beberapa percobaan me-
lalui pengamatan proses numerik y = x dan x
3
. Gunakan Sifat 10.5
Minta siswa untuk melaku- kan percobaan dengan me-
ngambil pendekatan bilang- an negatif. Contoh apakah
lim lim
x x
x x
→− →−
=
2 2
4 4
Berikan kesempatan ke- pada siswa untuk mem-
berikan komentar, apa yang terjadi?
480
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Sifat-10.8
Misalkan f adalah fungsi yang mempunyai limit bila x mendekati c, dengan c adalah bilangan real dan n adalah
bilangan positif.
lim lim
x c
n x
c n
f x f x
→ →
[ ]
=
Latihan 10.3
Coba kamu lakukan percobaan untuk menunjukkan sifat lim
lim
x c
n x
c n
f x f x
→ →
=
Sifat-10.9
Misalkan f adalah fungsi yang mempunyai limit bila x mendekati c, dengan c adalah bilangan real, dan n
adalah bilangan bulat positif dan lim
x c
f x
→
≥ 0 lim
lim
x c
n x
c n
f x f x
→ →
=
Latihan 10.4
a. Tunjukkan dengan menggunakan pendekatan numerik nilai pendekatan
f x x
x x
x x
x .
= −
− +
− +
+ 8
3 4
2 3
6 3
2
2 2
2 3
3
pada saat x mendekati 2 dengan melengkapi tabel di bawah
ini. Arahkan siswa memaha-
mi Sifat 10.8 dari peng- amatan pada Tabel 10.21,
dan 10.22.
Siswa diminta melakukan beberapa percobaan me-
lalui pengamatan bebe- rapa contoh dengan pro-
ses numerik
Arahkan dan pandu siswa menemukan Sifat 10.9
berdasarkan Latihan 10.3 yang mereka kerjakan.
Arahkan kembali siswa untuk menyelesaikan
soal di samping dengan melengkapi tabel.Soal
di samping telah disele- saikan
481
Matematika
Lengkapi tabel berikut
Tabel 10.23: Nilai pendekatan
f x x
x x
x x
x .
= −
− +
− +
+ 8
3 4
2 3
6 3
2
2 2
2 3
3
pada saat x mendekati 2
x 1,9
1,99 1,999
1,9999 ...
2 ...
2,0001 2,001
2,01
8
2
− x
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
3 4
2
x x
−
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
2 3
6
2 3
x x
+ −
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
3 2
3
x +
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
8 3
4
2 2
− −
x x
x .
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
x 1,9
1,99 1,999
1,9999 ...
2 ...
2,0001 2,001
2,01
2 3
6 3
2
2 3
3
x x
x +
− +
+
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
8 3
4 2
3 6
3 2
2 2
2 3
3
− −
+ − +
+ x
x x
x x
x .
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
b. Tunjukkan dengan menggunakan sifat – sifat limit fungsi di atas, nilai pendekatan lim
.
x
x x
x x
x x
→
− −
+ −
+ +
2 2
2 2
3 3
8 3
4 2
3 6
3 2
pada saat x mendekati 2 dengan melengkapi tabel berikut dan memanfaatkan nilai pendekatannya.
Arahkan siswa menyele- saikan soal di samping
dengan memanfaatkan nilai limit fungsi y = x,
y = 2 dan y = 3. Soal terse- but telah diselesaikan.
Arahkan siswa meleng- kapi tabel di bawah dan
mendapatkan nilai limit masing – masing fungsi
untuk menyelesaikan Latihan 10.4 Soal telah
diselesaikan
482
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Tabel 10.24: Nilai pendekatan fungsi y = x, y = 2, dan y = 3 pada saat x mendekati 1
x 1,9
1,99 1,999
1,9999 ... 2
... 2,0001
2,001 2,01 2,1
y = x 1,9
1,99 1,999
1,9999 ... 2
... 2,0001
2,001 2,01 2,1
y = 2 2
2 2
2 ...
2 ...
2 2
2 2
y = 3 3
3 3
3 ...
3 ...
3 3
3 3
Dari tabel di atas diperoleh lim
x
x
→
=
2
2 , lim
x→
=
2
2 2 , lim
x→
=
2
3 3
sehingga dengan memanfaatkan sifat maka: lim
. lim
. lim
x x
x
x x
x x
x x
x x
x
→ →
→
− −
+ −
+ +
= −
−
2 2
2 2
3 3
2 2
2 2
8 3
4 2
3 6
3 2
8 3
4 2
3 6
3 2
2 3
3
x x
x +
− +
+
= −
− +
− +
+
→ →
→ →
lim .lim
lim lim
x x
x x
x x
x x
x x
2 2
2 2
2 2
3 2
3
8 3
4 2
3 6
3 2
= −
− +
→ →
→ →
→
lim lim .
lim lim
lim
x x
x x
x
x x
x x
2 3
2 2
2 2
2 2
2
2 3
4 2
3lim lim lim
lim lim
x x
x x
x
x x
→ →
→ →
→
− +
+
2 2
2 3
2 2
3
2 3
3 2
= −
− +
− +
+ .
2 2
3 2 2
2 2 2
3 2 2 3
3 2 2
3 2
2 2
2 3
3
= +
4 4
8 8
3 3
. = 1
483
Matematika
Contoh 10.11
Sebuah bidang logam dipanaskan di bagian tengah dan memuai sehingga mengalami pertambahan luas sebagai
fungsi waktu ft = 0,25t
2
+ 0,5t cm
2
. Tentukan kecepatan perubahan pertambahan luas bidang tersebut pada saat t =
5 menit.
Alternatif Penyelesaian Kecepatan perubahan pertambahan luas adalah besar
pertambahan luas dibandingkan dengan besar selisih waktu. Perhatikan tabel
Tabel 10.25: Nilai pendekatan fx = 0,25 t
2
+ 0,5t pada saat t mendekati 5
t ∆t = t – 5
∆f = ft – f5 ∆f∆t
1 –4
–8 2
2 –3
–6,75 2,25
3 –2
–5 2,5
4 –1
–2,75 2,75
4,5 –0,5
1,4375 2,875
4,9 –0,1
–0,2975 2,975
4,99 –0,01
–0,029975 2,9975
4,999 –0,001
–0,00299975 2,99975
4,9999 –0,0001
–0,000299997 2,999975
5
0,0000 ?
5,0001 0,0001
0,000300002 3,000025
5,001 0,001
0,00300025 3,00025
5,01 0,01
0,030025 3,0025
5,1 0,1
0,3025 3,025
5,5 0,5
1,5625 3,125
6 1
3,25 3,25 3,25
Dengan melihat tabel di atas, pada saat t mendekati 5 maka ∆t mendekati 0 dan ft akan mendekati 3 cm
2
menit. Minta siswa mengamati
Tabel 10.25 dan minta siswa mendapatkan limit
fungsi tersebut.
484
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Alternatif Penyelesaian lainnya ft = 0,25t
2
+ 0,5t f5 = 0,255
2
+ 0,55 = 8,75 lim
t
f t f
t
→
− −
5
5 5
= lim ,
,
t
t t
f t
→
+ −
−
5 2
0 25 0 5
5 5
= lim ,
, ,
t
t t
t
→
+ −
−
5 2
0 25 0 5
8 75 5
= lim , ,
,
t
t t
t
→
+ − −
5 2
0 5 0 5 17 5
5 =
, ,
lim , ,
,
t t
t t
t
→ →
+ −
−
5
5 0 5 0 5
3 5 5
5 karena
t ≠ 5
= l
5 iim , ,
,
t
t
→
+
5
0 5 0 5 3 5
= 0,50,5 × 5 + 3,5
= 3 Jika t – 5 diganti menjadi T, maka proses limit di atas
menjadi: Jika T = t – 5 atau t = T + 5 maka pada saat t menuju 5
maka T menuju 0 sehingga: lim
t
f t f
t
→
− −
5
5 5
=
lim
T
f T f
T
→
+ −
5 5
=
lim ,
, ,
T
T T
T
→
+ +
+ −
2
0 25 5
0 5 5
8 75
=
lim ,
T
T T
T
→
+
2
0 25 3
karena T ≠ 0 =
lim ,
T
T
→
+ 0 25
3
= 3
3. Menentukan Limit Fungsi
Kategori