523
Matematika
C. MATERI PEMBELAJARAN
Pada bab ini, kita akan mempelajari konsep peluang yang sangat banyak diimplementasikan dalam
kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh, kasus memprediksi kejadian yang mungkin terjadi, kasus
memilih di antara beberapa pilihan. Hal ini berkaitan erat dengan proses pengambilan suatu keputusan, kasus
perkiraan cuaca, hipotesis terhadap suatu penyakit, dan lain-lain. Walaupun semua membicarakan kejadian
yang mungkin akan terjadi, tetapi kita juga harus tahu ukuran kejadian tersebut, mungkin terjadi atau tidak
terjadi sehingga kita dapat menerka atau menebak apa yang mungkin terjadi pada kasus tersebut.
Semua kasus ini, mengantar kita ke konsep peluang. Berikut, akan kita pelajari konsep peluang dengan
mengamati beberapa kasus, masalah atau percobaan. Kita akan memulai pelajaran ini dengan mempelajari
kejadian, frekuensi relatif dan konsep peluang.
1. Kemungkinan suatu kejadian.
Dalam melakukan percobaan sederhana, kita tentu harus menduga hasil yang mungkin terjadi, atau apa
saja yang mungkin terjadi dari percobaan tersebut. Ingat, konsep ini akan mengantarmu ke kajian konsep
peluang yang lebih dalam yaitu kaidah pencacahan tetapi materi kaidah pencacahan akan kamu pelajari di
kelas XI. Jadi, kita hanya membahas sekilas masalah hasil kemungkinan yang dapat terjadi pada suatu
percobaan pada sub-bab ini. Perhatikan masalah berikut.
Perkenalkan kepada siswa topik kajian pada
bab ini. Ingatkan bahwa siswa akan aktif dalam
mengamati, mencoba, dis- kusi, presentasi dan tanya
jawab pada proses bela- jar. Beri semangat atau
motivasi kepada siswa dengan memberikan ke-
gunaan materi ini dipela- jari lewat contoh – contoh
aplikasi. Dengan demiki- an, minta siswa me-
nemukan contoh aplikasi lainnya dan mendiskusi-
kannya bersama.
Dalam percobaan, boleh saja banyak kemungki-
nan yang terjadi. Beri contoh, misalnya, jika
cuaca mendung, apakah yang mungkin terjadi?
Tentu, boleh hujan, boleh saja tidak hujan. Arahkan
siswa ke konsep logika matematika implikasi
Minta siswa membuat contoh kemungkinan
suatu hal terjadi. Pandu siswa mendapatkan con-
toh.
524
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Masalah-12.1
Berikut beberapa kasus yang memunculkan suatu kejadian yang mungkin terjadi. Dapatkah kamu
memberikan dugaan apa saja yang mungkin terjadi pada masing – masing kasus berikut?
a. Jika cuaca berubah – ubah, terkadang hujan,
terkadang cuaca panas silih berganti maka duga- an apa yang anda miliki pada seorang anak yang
bermain – main di lapangan pada cuaca ekstrim tersebut?
b. Sebuah dadu setimbang sisi 6 dengan penomoran 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 ditoss, dugaan apa yang
mungkin terjadi? c. Dua buah dadu setimbang sisi 6 dengan
penomoran 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 ditoss, dugaan apa yang mungkin terjadi?
d. Di dalam sebuah kotak terdapat beberapa manik – manik dengan berwarna berbeda, yaitu merah,
putih, kuning, hijau dan biru. Tidak ada manik – manik berjumlah tunggal untuk masing - masing
warna. Seorang anak diminta mengambil 2 buah manik – manik sekaligus dengan acak. Dapatkah
kamu tentukan pasangan warna manik – manik yang mungkin terjadi?
e. Di dalam sebuah kotak terdapat beberapa manik – manik dengan berwarna berbeda, yaitu merah,
putih, kuning, hijau, dan biru. Tidak ada manik – manik berjumlah tunggal untuk masing - masing
warna. Seorang anak diminta mengambil sebuah manik – manik sebanyak dua kali. Dapatkah
kamu tentukan pasangan warna manik – manik yang mungkin terjadi?
Alternatif Penyelesaian
a. Hasil yang mungkin terjadi adalah bahwa anak tersebut akan sakit kesehatan menurun atau
anak tersebut sehat – sehat saja. Pada kasus ini, kita memiliki 2 hasil yang terjadi.
Minta siswa untuk mema- hami masalah 12.1 dan
menduga-duga kemungki- nan jawaban dari kasus-
kasus yang diberikan. Buat contoh lain dan min-
ta siswa yang mendapat- kan hasil yang mungkin
terjadi. Diskusikan ber- sama – sama tentang hal
yang mungkin terjadi pada kasus di Masalah
12.1
Minta siswa berdiskusi tentang alternatif pe-
nyelesaian. Minta siswa memberikan komentar.
525
Matematika
b. Bila dadu tersebut setimbang, maka kejadian yang mungkin terjadi adalah munculnya sisi
dadu dengan nomor 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. Dengan demikian, terdapat 6 hasil yang terjadi.
c. Jika dibuat sebuah tabel, maka diperoleh pasangan angka berikut:
Tabel 12.1 Pasangan mata dadu I dan mata dadu II
Dadu I
Dadu II 1
2 3
4 5
6 1
1,1 1,2
1,3 1,4
1,5 1,6
2 2,1
2,2 2,3
2,4 2,5
2,6 3
3,1 3,2
3,3 3,4
3,5 3,6
4 4,1
4,2 4,3
4,4 4,5
4,6 5
5,1 5,2
5,3 5,4
5,5 5,6
6 6,1
6,2 6,3
6,4 6,5
6,6
Dari banyak pasangan angka pada setiap sel dalam tabel maka terdapat 36 hasil yang mungkin terjadi.
d. Perhatikan pohon faktor berikut
Kuning Hijau
Biru Kuning
Hijau Biru
Hijau
Biru Biru
Putih Kuning
Hijau Biru
Merah Merah
Putih Kuning
Hijau Biru
Putih
Gambar 12.1 Pasangan warna pengambilan sekaligus 2 manik – manik
Minta siswa mempelajari sketsa di samping. Minta
siswa menyampaikan pendapatnya tentang sket-
sa tersebut. Beri kesem- patan kepada siswa yang
lain untuk membanding- kan pendapat siswa yang
pertama. Arahkan proses tanya jawab.
526
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Misalkan M = merah, P = putih, K = kuning, H = hijau dan B = biru. Pasangan warna yang mungkin terjadi adalah
MM, MP, MK, MH, MB, PP, PK, PH, PB, KK, KH, KB, HH, HB, BB. Terdapat 15 hasil yang mungkin terjadi.
e. Jika kita buat pohon faktor dari pengambilan manik – manik tersebut maka diperoleh:
Putih Kuning
Hijau Biru
Merah
Kuning Putih
Kuning Hijau
Biru Merah
Merah Putih
Kuning Hijau
Biru Merah
Putih
Putih Kuning
Hijau Biru
Merah
Hijau
Putih Kuning
Hijau Biru
Merah
Biru
Gambar 12.2 Pasangan warna dua manik-manik
Minta siswa mempelajari lagi sketsa di samping.
Minta siswa menyampai- kan pendapatnya tentang
sketsa tersebut. Minta siswa membandingkan
sketsa e dengan d, apa bedanya? Kenapa ber-
beda? Apa maksudnya? Minta siswa berkomentar
dan berdiskusi pada se- tiap komentar yang mun-
cul. Arahkan siswa ke masalah awal untuk me-
lihat penyebab perbedaan sketsa.
527
Matematika
Misalkan M = merah, P = putih, K = kuning, H = hijau dan B = biru. Dari pohon faktor tersebut, dapat kita lihat segala
kemungkinan pasangan warna manik - manik yang akan terjadi yaitu MM, MP, MK, MH, MB, PM, PP, PK, PH,
PB, KM, KP, KK, KH, KB, HM, HP, HK, HH, HB, BM, BP, BK, BH, BB. Terdapat 25 hasil yang mungkin terjadi.
.
Contoh 12.1
a. Sebuah koin sama dan setimbang bersisi Gambar G dan Angka A ditoss 120 kali. Tentukanlah segala
kemungkinan terjadi. b. Dua buah koin sama dan setimbang bersisi Gambar
G dan Angka A ditoss 120 kali. Tentukanlah segala kemungkinan terjadi.
c. Tiga buah koin sama dan setimbang bersisi Gambar G dan Angka A ditoss 120 kali. Tentukanlah segala
kemungkinan terjadi.
Alternatif Penyelesaian a. Ada 2 hasil yang mungkin terjadi.
Tabel 12.2 Hasil yang mungkin terjadi pada pelemparan 1 koin
Koin A
G
b. Ada 4 hasil yang mungkin terjadi.
Tabel 12.3 Hasil yang mungkin terjadi pada pelemparan 2 koin
Koin 1 A
A G
G Koin 2
A G
A G
Untuk melatih siswa dalam memahami ke-
mungkinan sesuatu hasil dari percobaan, mintalah
siswa untuk memahami contoh berikut. Sediakan
3 koin rupiah Rp500,- Rp1000,-. Minta siswa
melakukan percobaan melambungkan koin dan
mengamati hasil – hasil apa saja yang mungkin
terjadi. Arahkan hasil ke- nyataan yang diperoleh
dengan alternatif penyele- saian di samping.
Minta siswa untuk melihat pola penyusunan A dan
G pada Tabel 12.2, 12.3, 12,4. Bagaimana pola su-
sunan A dan G? Dengan ini, mereka belajar me-
nyusun hasil kemungki- nan dengan teratur, bukan
dengan sembarangan me- nyusun.
528
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
c. Ada 8 hasil yang mungkin terjadi.
Tabel 12.4 Hasil yang mungkin terjadi pada pelemparan 3 koin
Koin 1
A A
A A
G G
G G
Koin 2
A A
G G
A A
G G
Koin 3
A G
A G
A G
A G
Koin 1 Koin 2
Koin 3 Koin 4
A A
A A
A A
A G
A A
G A
A A
G G
A G
A A
A G
A G
A G
G A
A G
G G
G A
A A
G A
A G
G A
G A
G A
G G
G G
A A
G G
A G
G G
G A
G G
G G
Terdapat 16 hasil yang mungkin terjadi. Berdasarkan masalah dan contoh di atas, dapat kita tentukan
bahwa banyak hasil yang mungkin yang terjadi. Kumpulan semua hasil yang mungkin terjadi disebut dengan ruang
Uji kemampuan siswa dalam menyusun
dengan memberikan ma- salah pelemparan 4 koin
setimbang. Arahkan me- reka membentuk tabel di
samping. Minta siswa mengamati
pola hasil untuk se- tiap koin pada masing –
masing kolom.
Ingatkan kembali siswa tentang pelajaran himpu-
nan. Minta siswa mem- berikan deinisi himpunan
dan memberikan contoh
529
Matematika
sampel disimbolkan S dan himpunan bagian S disebut dengan hasil yang diharapkan muncul atau kumpulan
dari hasil yang diharapkan muncul dari sebuah percobaan disimbolkan E. Jadi, ingat, ruang sampel adalah sebuah
himpunan. Banyaknya anggota dalam himpunan S disebut dengan kardinal S disimbolkan nS.
Contoh himpunan: Pada Masalah 12.1e terdapat 25 hasil yang mungkin terjadi, yaitu H = { MM, MP, MK, MH, MB,
PM, PP, PK, PH, PB, KM, KP, KK, KH, KB, HM, HP, HK, HH, HB, BM, BP, BK, BH, BB }. Jika dikumpulkan
semua hasil yang membuat warna merah M selalu ada maka terdapat 9 hasil yang mungkin terjadi, yaitu
K = { MM, MP, MK, MH, MB, PM, KM, HM, BM }. Dengan deinisi himpunan, maka K adalah himpunan
bagian dari H dengan kardinal nH = 25 dan nK = 9.
2. Frekuensi relatif suatu hasil percobaan.
Kategori