Graik Fungsi Kuadrat FUNGSI KUADRAT a. Menemukan Konsep Fungsi Kuadrat

332 Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi Projek Rancanglah permasalahan terkait gerakan peluru dan ekonomi yang menerap-kan konsep dan aturan fungsi kuadrat. Buatlah pemecahan masalah tersebut dalam sebuah laporan serta sajikan di depan kelas.

b. Graik Fungsi Kuadrat

Dari hasil pemecahan Masalah 7.8, kita telah memperoleh persamaan fungsi kuadrat yang menyatakan debit air yang mengalir dari sebuah pipa adalah qd = ANGA         =  4 20 x                d 2 , d ∈ R, d ≥ 0. Misalkan diameter pipa adalah x dan debit air yang mengalir adalah y. Berarti y dapat dinyatakan dalam x, yaitu y = fx = ANGA         =  4 20 x                x 2 , x ∈ R, x ≥ 0. Temukan graik fungsi kuadrat y = fx = ANGA         =  4 20 x                x 2 , x ∈ R dari graik fungsi kuadrat y = fx = ANGA         =  4 20 x                x 2 , x ∈ R, x ≥ 0. Beberapa pertanyaan arahan yang perlu kamu cermati untuk memperoleh graik fungsi N SISW            y = fx = -  4 20 x 2 , x  R da            dari graik fungsi kuadrat fx =              =  4 20 x           255             20   20 x 2 , x  R, x  0.         Siswa diingatkan kembali, bagaimana menggam- barkan graik persamaan fungsi kuadrat dan me- manfaatkan sifat pencer- minan untuk memperoleh graik persamaan fungsi kuadrat yang baru. 333 Matematika 1 Pikirkan apa saja yang kamu butuhkan untuk menggambar grafik fungsi fx =        =  4 20 x           255       20   20 x 2 , x  R, x  0.         dan ingat kembali bagaimana menggambar graik fungsi kuadrat di SMP. 2 Apa perbedaan fungsi kuadrat fx =             =  4 20 x           255          20   20 x 2 , x  R, x  0.         dan fungsi kuadrat graik fungsi kuadrat N SISW            y = fx = -  4 20 x 2 , x  R da            3 Apa kaitan konsep pencerminan dengan masalah ini? 4 Bagaimana komponen-komponen graik fungsi setelah dicerminkan? 5 Dapatkah kamu memberikan perbedaan kedua graik fungsi kuadrat tersebut? 6 Bilamana graik memotong sumbu x dan memotong sumbu y? ♦ Ingat kembali, bagaimana menggambarkan graik kuadrat dan memanfaatkan sifat pencerminan untuk memperoleh graik fungsi kuadrat yang baru. Perhatikan fungsi kuadrat y = fx = 20 4 ≠ x2, x ∈ R, x ≥ 0, yang menyatakan debit air yang mengalir dari pipa. Debit air yang mengalir dari pipa bergantung pada diameter x pipa. Jika x = 0, maka debit air adalah y = fx = f0 = 0. Untuk beberapa nilai x diberikan, diperoleh nilai y = fx seperti disajikan dalam tabel berikut. x 1 2 3 4 y = fx 3,51 14,04 31,6 56,17 Grafik persamaan fungsi kuadrat Arahkan siswa meng- gambar graik fungsi kuadrat dan menemukan sifat-sifat graik tersebut. Ingatkan siswa tentang materi transformasi ten- tang pencerminan terha- dap sumbu x dan sumbu y. Arahkan siswa menggam- bar graik fungsi kuadrat, dengan mengikuti lang- kah-langkah berikut. 334 Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi dapat digambarkan sebagai berikut. Gambar 7.12 Graik Fungsi Dengan mencerminkan grafik persamaan fungsi kuadrat terhadap sumbu-y, maka diperoleh sebuah parabola berikut. 10 -1 1 2 3 4 5 6 -2 -3 -4 -5 -6 20 30 40 50 60 70 D D y C C B B A A 256          –       fx =  4 20 x 2 , x  R 10 20 30 40 50 60 70 1 ’ ’ ’ ’ → x Gambar 7.13 Graik Fungsi fx Ciri-ciri fungsi kuadrat  drat y = fx =  4 20 x 2 , x  R da       –         ’ ’ ’ ’ yang berupa parabola di atas adalah sebagai berikut. a. Tentukan titik potong graik fungsi terhadap sumbu x. b. Buat tabel untuk mem- peroleh titik-titik yang dilalui graik. c. Gambarkan graik fungsi pada sistem koordinat. d. Tentukan nilai maksi- mum atau minimum e. Tentukan titik puncak. 335 Matematika • Koeisien x 2 adalah     dalah a =  4 20     –        • Kurva terbuka ke atas • Memiliki titik puncak titik balik minimum di titik O 0, 0 • Memiliki sumbu simetri yang membagi dua kurva sama besar, yaitu garis x = 0 dan nilai minimum y = f0 = 0 • Nilai diskriminan, D = b 2 – 4ac = 0 • Kurva menyinggung sumbu x di titik O0, 0 • Cerminkan grafik fungsi kuadrat  drat y = fx =  4 20 x 2 , x  R da       –         ’ ’ ’ ’ terhadap sumbu-x dan selidiki sifat-sifat graik fungsi kuadrat yang ditemukan. Kita cerminkan grafik fungsi kuadrat  drat y = fx =  4 20 x 2 , x  R da       –         ’ ’ ’ ’ terhadap sumbu-x atau garis y = 0. Dengan mengingat kembali sifat-sifat pencerminan bahwa arah benda dengan bayangannya selalu berlawanan arah. Sehingga nilai fungsi kuadrat y = fx = ANGA , 4 20 2 x        x  R b             –  ’ ’ ’ ’     berubah dari bernilai positif menjadi negatif. Perubahan tersebut diikuti perubahan fungsinya dari y = fx =         =  4 20 x            –  1 2 3 4 5 6 10 20 30 40 50 60 70 2 -1 A ’ ’ ’ ’     x 2 , x ∈ R menjadi 258           njadi y = fx = -  4 20 x 2 , x          –  1 2 3 4 5 6 10 20 30 40 50 60 70 2 -1 ’ ’ ’ ’     R. Secara lengkap bayangan graik persamaan fungsi kuadrat y = fx setelah dicerminkan terhadap Sumbu-x adalah sebagai berikut. 336 Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi Gambar 7.14 Graik Fungsi x dan graik pencerminan fx Ciri-ciri fungsi kuadrat 258           njadi y = fx = -  4 20 x 2 , x          –  1 2 3 4 5 6 10 20 30 40 50 60 70 2 -1 ’ ’ ’ ’     R dan parabola hasil pencer-minan terhadap sumbu-x Gambar-7.14 adalah sebagai berikut. • Koeisien x 2 adalah a = –        lah a = -  4 20     –  ’ ’ ’ ’     • Kurva terbuka ke bawah • Memiliki titik puncak titik balik maksimum di titik O 0, 0 • Memiliki sumbu simetri yang membagi dua kurva sama besar, yaitu garis y = 0 dan nilai minimum f0 = 0 • Nilai diskriminan, D = b 2 – 4ac = 0 • Kurva menyinggung sumbu x di titik O0, 0 Apa kesimpulan dari hasil pencerminan tersebut? Meminta siswa mencer- minkan graik fungsi kuad- rat y = fx = 20 4 ≠ x 2 , x ∈ R terhadap Sumbu-x dan menyelidiki sifat-sifat graik fungsi kuadrat yang ditemukan. 337 Matematika Kesimpulan Misalkan gx = ax 2 , x ∈ R . Jika graik g dicerminkan terhadap sumbu-x maka diperoleh gx = -ax 2 , x ∈ R dengan sumbu simetri adalah sumbu-y dan memiliki titik puncak O 0, 0. Masalah-7.8 Diberikan fungsi kuadrat fx = ax 2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0. a. Temukan persamaan garis simetri sumbu simetri dan titik puncak graik fungsi kuadrat tersebut. b. Temukan graik fungsi kuadrat fx = ax 2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0 dari graik fungsi kuadrat gx = ax 2 , x ∈ R, a ≠ 0. c. Temukan titik potong graik dengan sumbu x dan sumbu y. d. Temukan sifat-sifat graik fungsi kuadrat fx = ax 2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0 terkait nilai koeisien a dan titik puncak parabola. Untuk memecahkan masalah di atas, cermati beberapa graik fungsi kuadrat yang telah digambar sebelumnya dan beberapa pertanyaan berikut: 1 Apa yang dimaksud dengan graik fungsi kuadrat? 2 Apa yang dimaksud dengan persamaan garis sumbu simetri graik fungsi kuadrat? 3 Apa yang dimaksud dengan titik puncak graik fungsi kuadrat? 4 Bagaimana menemukan aturan penentuan persamaan garis simetri dan titik puncak graik fungsi kuadrat? 5 Apa yang dimaksud dengan transformasi geser? Meminta siswa menyim- pulkan hasil pencerminan graik fungsi kuadrat Mengajak siswa men- emukan persamaan garis simetri dan titik puncak graik fungsi kuadrat den- gan mengajukan masalah berikut. 338 Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi 6 Apa kaitan transformasi geser dan sifat-sifatnya untuk memperoleh sebarang graik fungsi kuadrat dari graik fungsi kuadrat gx = ax 2 , x ∈ R, dan a ≠ 0? 7 Temukan arah pergeseran graik fungsi kuadrat gx = ax 2 , x ∈ R untuk mend apatkan graik fungsi  ungsi                        a D a b x g x f 4 2 da t apa saja yang kamu sim                        ≠ 0 berkaitan ≠ 0. ≠ 0  b c ≠ 0  b ≠ 0  b  ≠ 0  b  ≠ 0    ≠ 0    D  ≠ 0     dan syarat-syarat yang diperlukan 8 Sifat-sifat apa saja yang kamu simpulkan dari graik fungsi kuadrat A                                                a D a b x a x f 4 2 2 , de ≠ 0 berkaitan ≠ 0. ≠ 0  ≠ 0  ≠ 0   ≠ 0   ≠ 0    ≠ 0    D  ≠ 0     dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0 berkaitan dengan nilai koeisien a dan titik puncak graik fungsi? 9 Dapatkah kamu memberi beberapa kemungkinan gambaran graik fungsi kuadrat terkait nilai koeisien a, nilai diskriminan, titik potong terhadap sumbu-x, nilai fungsinya. Berdasarkan Deinisi 7.2, rumus umum fungsi kuadrat adalah fx = ax 2 + bx + c, dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0. fx 339 Matematika   ≠ 0    ≠ 0 Misalkan gx = ax 2 , x  R, a  0 fx = ax - 2 a b  2 + a D 4  , a ≠ 0 dan gx = ax 2 , x  R  fx = gx - 2 a b  + a D 4  , a ≠ 0 Graik fungsi fx = gx – - 2 a b  + a D 4  a      ≠ 0, dapat diturunkan beberapa sifat   b       ≠ 0. Misal – + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan riel dan a ≠ 0, b  b  D  adalah graik fungsi kuadrat gx = ax 2 , x ∈ R yang digeser sejauh satuan kearah Sumbu-x dan digeser sejauh satuan ke arah Sumbu- y. Sifat-4 Graik fungsi kuadrat fx = ax 2 + bx + c, dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0, memiliki a. Persamaan sumbu simetri x = 2 −b a dan b. Titik puncak , . 2 4 − − b D P a a Dari beberapa sajian graik fungsi kuadrat sebelumnya turunkan sifat-sifat graik fungsi kuadrat dan sajikan beberapa kemungkinan kondisi graik tersebut terkait dengan koeisien x 2 , nilai diskriminan dan nilai fungsi tersebut. Dari fungsi kuadrat      kuadrat fx = ax - 2 a b  2 + a D 4  , de ≠ 0, dapat diturunkan beberapa sifat   b  D    b   ≠ 0. Misal – + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan riel dan a ≠ 0,    dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0, dapat diturunkan beberapa sifat. Dari beberapa sajian graik persamaan fungsi kuadrat sebelumnya, guru meminta siswa menurun- kan sifat-sifat graik pers- amaan fungsi kuadrat dan menyajikan beberapa ke- mungkinan kondisi graik tersebut terkait dengan koeisien x 2 , nilai dis- kriminan dan nilai fungsi tersebut. 340 Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi Sifat-5 Jika a 0, maka graik fungsi kuadrat fx = ax 2 + bx + c, dengan a, b, dan c bilangan real a ≠ 0 terbuka ke atas dan memiliki titik balik minimum   ≠ 0, dapat diturunkan beberapa sifat   um P a b 2  , a D 4  .   b  D  ≠ 0. Misal – Sifat-6 Jika a 0, maka graik fungsi kuadrat fx = ax 2 + bx + c, dengan a, b, dan c bilangan real a ≠ 0 terbuka ke bawah dan memiliki titik puncak maksimum , . 2 4 − − b D P a a Sifat-7 Diberikan fungsi kuadrat fx = ax 2 + bx + c, dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0, misalkan D = b 2 – 4ac D adalah diskriminan a. Jika D 0, maka graik y = fx memotong sumbu-x di dua titik berbeda b. Jika D = 0, maka graik y = fx menyinggung sumbu-x di satu titik c. Jika D 0, maka graik y = fx tidak memotong sumbu-x Pada gambar berikut diperlihatkan berbagai kemung- kinan letak parabola terhadap sumbu-x y = fx x ∈ R y Graik tidak memotong Sb-x, a 0, D 0, dan fx 0, A x ∈R x 341 Matematika y = fx x ∈ R y Graik menyinggung Sb-x, a 0, D = 0, dan fx ≥ 0, A x ∈R x x 1 = x 2 y = fx x ∈ R y Graik tidak memotong Sb-x, a 0, D 0, dan fx 0, A x ∈ D f x y = fx x ∈ R y Graik menyinggung Sb-x pada dua titik, a 0, D = 0, dan fx ≤ 0, A x ∈ D f x x 1

c. Hubungan Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat