26
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Contoh 1.6
Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan berikut dalam bentuk yang sederhana
1. 3 5
4 5 3
4 5
7 5 +
= +
= 2.
5 3
+ tidak dapat disederhanakan
karena akarnya tidak senama 3.
2 4 3 4
2 3
4 4
3 3
3 3
− =
− = −
4. 3
3 1 2
3 3
3 3
x x
x x
− =
− =
b. Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar
Pada pangkat pecahan telah dinyatakan bahwa a
a
p q
p q
= . Sifat perkalian dan pembagian bentuk akar
dapat dicermati pada beberapa contoh berikut.
Contoh 1.7
1 8
2 2
2 2
3 3
3 3
3 1
= =
= =
2 64
2 2
2 2
6 6
6 6
6 1
= =
= =
3
4 5 2 7
4 2
5 7
8 35
3 3
3 3
× =
× ×
=
4 3 5 5 5 3 5
5 5
15 5 15
5
5 7
1 5
1 7
12 35
12 35
× =
× ×
=
=
5 3 4
4 5 3
4 4
5
3 3
3
=
6 2 3
3 5 2
3 3
5
4 4
4
= Ajak siswa mengerjakan
Latihan 1.4. Cek kebena- ran hasil kerja siswa,
dengan meminta beberapa siswa menyajikan hasil
kerja di depan kelas. Ha- sil kerja yang diharapkan
dari siswa adalah Jelaskan beberapa con-
toh berikut untuk me- latih siswa menerapkan
berbagai aturan terkait
operasi aljabar dalam bentuk akar. Ajukan ber-
bagai pertanyaan pada siswa untuk menguji
pemahaman mereka.
27
Matematika
Latihan 1.4
1 Buktikan bahwa jika a bilangan real dan a 0, maka
a
n n
= a. 2 Buktikan bahwa jika a, b, c, dan d bilangan real,
c 0 dan d 0, maka a c b d ab cd
n n
n
× =
. 3 Buktikan bahwa jika a, b, c, dan d bilangan real,
c 0 dan d 0, maka a c
b d
a b
c d
n n
n
= .
c. Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar Kita tahu bahwa bentuk-bentuk akar seperti
2 5
3 7
2 6
, ,
, +
− , dan seterusnya merupakan
bilangan irasional. Jika bentuk akar tersebut menjadi penyebut pada suatu pecahan, maka dikatakan sebagai
penyebut irasional. Penyebut dalam bentuk akar dapat diubah menjadi
bentuk pangkat rasional. Cara merasionalkan penyebut bentuk akar tergantung pada bentuk akar itu sendiri.
Akan tetapi, prinsip dasarnya sama; yaitu mengalikan dengan bentuk akar sekawannya. Proses ini dinamakan
merasionalkan penyebut.
1 Merasionalkan bentuk
p q
Bentuk p
q dirasionalkan dengan cara mengalikannya
dengan q
q .
p q
p q
q q
p q
q =
= .
1 a 0 a
a a
a
n n
n n
= =
=
1
terbukti 2 a, b, c, dan d bilangan
real, c 0 dan d 0
c d
a c b d
ab c d
ab cd
n n
n n
n n
× =
×
= ×
=
1 1
1
terbukti 3 a, b, c, dan d bilangan
real, c 0 dan d 0 a c
b d
a c b d
a b
c d
a b
c d
n n
n n
n
n
=
= ×
=
1 1
1
terbukti Latih siswa merasion-
alkan berbagai bentuk akar mengalikan dengan
bentuk akar sekawannya melalui berbagai contoh
yang bervariasi, antara lain bentuk
28
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Diskusi
Menurutmu mengapa penyebut bilangan pecahan berbentuk akar harus dirasionalkan?
Mengapa kita harus mengalikan p
q dengan
q q
? Karena
q selalu positif, maka q q
= 1. Jadi perkalian
p q
dengan q
q tidak akan mengubah
nilai p
q namun menyebabkan penyebut menjadi
bilangan rasional.
2 Merasionalkan bentuk
r p
q r
p q
r p
q r
p q
+ −
+ −
, ,
, dan
Sebelum kita merasionalkan bentuk-bentuk akar di atas, perlu kita pahami bentuk-bentuk campuran
bilangan rasional dan bilangan irasional. a Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan
bilangan irasional maka hasilnya bilangan irasional. Contoh 2 + 7 = 2 + 2,645751.... = 4,
645751... bilangan irasional. b Jika bilangan irasional dijumlahkan dengan
bilangan irasional maka hasilnya bilangan irasional atau rasional, Contoh 1 5 + 7 =
2,236068.... + 2,645575... = 4,881643... bilangan irasional, 2 2 5 + -2 5 = 0 bilangan
rasional. Jika dua bilangan irasional dikurangkan, bagaimana hasilnya?
c Jika bilangan rasional dikalikan dengan bilangan irrasional, maka hasilnya bilangan rasional atau
irasional. Contoh. 0 2
× = 0 0 adalah bilangan
p q
r p
q r
p q
r p
q dan
r p
q ,
, ,
+ −
+ −
Selanjutnya jelaskan Con- toh 1.8 dan Contoh 1.9
yang tersedia pada buku siswa.
29
Matematika
rasional atau 2 5
2 5 ×
= adalah bilangan
irasional d Jika bilangan irasional dikalikan dengan bilangan
irasional, maka hasilnya dapat bilangan rasional atau bilangan irasional.
Contoh: • 5 × 125 = 5 × 5 5 = 25
25 adalah bilangan rasional •
3 5
15 ×
= 15 adalah bilangan
irasional e
a
n
disebut bentuk akar apabila hasil akar pangkat
n dari a adalah bilangan irasional. Untuk merasionalkan bentuk
r p
q r
p q
+ −
, ,
r p
q +
, dan r
p q
− .
dapat dilakukan dengan memperhatikan sifat perkalian a + b a – b = a
2
– b
2
, sehingga p
q p
q p
q p
q p
q p
q p
q p
q +
− =
− = −
+ −
= −
= −
2 2
2 2
2
Bentuk p q
+ dan bentuk p
q −
saling sekawan, bentuk
p q
+ dan
p q
− juga saling sekawan.
Jika perkalian bentuk sekawan tersebut dilakukan maka dapat merasionalkan bentuk akar. Untuk p, q dan r bilangan
real.
r p
q r
p q
p q
p q
r p q
p q
+ =
+ −
− =
− −
.
2
dimana q ≥
0 dan p
2
≠ q.
30
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
r p
q r
p q
p q
p q
r p q
p q
− =
− +
+ =
+ −
.
2
dimana q ≥
0 dan p
2
≠ q. r
p q
r p
q p
q p
q r
p q
p q
+ =
+ −
− =
− −
. dimana p
≥ 0, q ≥ 0 dan p ≠ q
r p
q r
p q
p q
p q
r p
q p
q −
= −
+ +
= +
− .
dimana p ≥ 0, q ≥ 0 dan p
≠ q
Contoh 1.8
Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut. a.
2 3
2 2
3 2
3 2
3 2
− =
− × +
+ =
+ −
+ 2 3
2 3
2 3
2 =
+ −
= +
= +
2 3 2
9 2
6 2
2 7
6 7
2 7
7
b. 3
6 3
3 6
3 6
3 6
3 3 6
3 6
3 6 3
+ =
+ × −
− =
− +
−
31
Matematika
= −
− =
−
= −
18 3 3
36 3
18 3 3
33 6
11 3
11 c.
4 7
5 4
7 5
7 5
7 5
4 7
5 7
5 7
5 4
7 5
7 5
4 7 4 5
2 2 7
2 5 −
= −
× +
+ =
+ −
+ =
+ −
= +
= +
Contoh 1.9
Pikirkan cara termudah untuk menghitung jumlah bilangan- bilangan berikut
1 1
2 1
2 3
1 3
4 1
4 5
1 99
100 +
+ +
+ +
+
+ +
+ =
... ...?
Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan cara merasionalkan penyebut tiap suku; yaitu,
= 1
1 2
1 2
1 2
+ ×
− −
+ 1
2 3
2 3
2 3
+ ×
− −
+ 1
3 4
3 4
3 4
+ ×
− −
+ Jelaskan cara mera-
sionalkan bentuk akar dengan mengalikan ben-
tuk sekawan sesuai penye- but dari bentuk rasional
seperti pada Contoh 1.9. Beri kesempatan pada
siswa untuk mencoba menguji penyelesaian soal
pada contoh-contoh yang diberikan.
32
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
1 4
5 4
5 4
5 +
× −
− + ... +
1 99
100 99
100 99
100 +
× −
−
= 1
2 1
2 3
1 3
4 1
4 5
1 99
100 1
− −
+ −
− +
− −
+ −
− +
+ −
− ...
= – 1 2
2 3
3 4
4 5
99 100
+ −
+ −
+ −
+ − −
+ ...
= −
+ = − +
= 1
100 1
10 9
.
Contoh 1.10
Tentukan nilai dari 1
3 1
3 1
3 +
+ + ...
Alternatif Penyelesaian
Perhatikan pola bilangan berikut. Misalkan, P = +
+ +
3 1
3 1
3 ...
atau P P
= + 3
1
⇔ P
2
– 3P – 1 = 0 Dengan mengubah ke bentuk kuadrat sempurna diperoleh:
⇔ P −
− =
3 2
13 4
2
⇔ P = +
6 2 13
4 Minta siswa mengamati
Contoh 1.10 dan memberi kebebasan berpikir dalam
menganalisis permasala- han yang diberikan. Uji
pemahaman dengan men- gajukan berbagai per-
tanyaan serta ingatkan kembali materi prasyarat
yang dibutuhkan dalam pentelesaian soal terse-
but. Bantu siswa memanfaat-
kan pemisalan dan ingat- kan kembali materi persa-
maan kuadrat yang telah dipelajari di SMP, tentang
bentuk kuadrat sempurna, agar siswa dapat melan-
jutkan tugas memahami langkah penyelesaian
Contoh 1.10
33
Matematika
Jadi, nilai 1
3 1
3 1
3 1
6 2 13
4 4
6 2 13
+ +
+ =
+ =
+ ...
Dengan merasionalkan bentuk tersebut, maka 4
6 2 13
4 6
2 13 6
2 13 6
2 13 4 6
2 13 16
+ =
+ −
− =
− −
. =
− 2 13
6 2
Jadi, 1
3 1
3 1
3 2 13
6 2
+ +
+ =
−
...
3 Menyederhanakan bentuk p
q pq
+ ± 2
Sekarang kita akan menyederhanakan bentuk akar yang mempunyai bentuk khusus; yaitu, bentuk
p q
pq +
± 2 . Perhatikan proses berikut ini
Diskusikanlah masalah berikut dengan temanmu a.
p q
p q
+ +
b. p
q p
q −
− Dari hasil kegiatan yang kamu lakukan, kamu
akan memperoleh bentuk sederhananya menjadi p
q pq
+ ± 2
. Selanjutnya, perhatikan contoh berikut Arahkan siswa mema-
hami cara penyederha- naan bentuk akar dengan
menjelaskan penyelesaian Contoh 1.11.
34
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Uji Kompetensi 1.2
1. Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut ini a.
5 15
d. 6
24 b.
2 20
e. 2 2
48 c. 3
18 f.
2 3
a a
2. Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut ini a.
1 5
3 −
d. 3
5 10
− b.
4 2
4 2
− +
e. xy
x y
+ c.
2 3
5 a
a +
f. 24
54 150
96 +
−
Contoh 1.11
Sederhanakan bentuk akar berikut ini a.
8 2 15
+ =
5 3
2 5 3 5
2 5 3 3
+ +
× = +
× + =
5 3
5 3
2
+ =
+ b.
9 4
5 −
= 5 4 5 4 5
2 5
2
2
− +
= −
= −
Berikan soal-soal pada Uji Kompetensi 1.2 se-
bagai pekerjaan rumah sesuaikan dengan materi
yang telah dipelajari. Hal ini berguna untuk mengu-
kur penguasaan siswa ter- hadap konsep dan prinsip
matematika yang telah di- pelajari.
35
Matematika
3. Sederhanakanlah bentuk berikut ini a.
15 75
1 2
3 −
− b.
7 2
8 11
2 8
+ +
− c.
4 3
2 3
2 1 5
3 2
+ −
− +
− d
. 10
5 6
12 6
7 14
7 8
+ +
+ +
+ 4. Jika
2 3
2 3
6 −
+ =
+ a
b , tentukan
nilai a + b
5. Sederhanakan bentuk akar berikut ini
a. 19 8 3 +
b. 5 2 6
+ c. 43 12 7
+ d. 21 4 5
− e.
18 8 2
11 6
2 +
+ −
f. 3 14
6 5 21
12 3 −
+ +
SOAL TANTANGAN
1. Tentukanlah nilai dari: a. 2 3 2 3 2 3 ...
3 3
3 3
b. 2 2
2 2
2 +
+ +
+ + ...
c. 1
1 1
1 1
1 +
+ +
... 2. Jika a,b bilangan asli dengan
a ≤ b dan 3
4 +
+ a
b adalah
bilangan rasional, tentukan pasangan a,b. OSN 20052006
3. Nyatakan b dalam a dan c dari persamaan
b c
c a
3 3
= abc. 4. Sederhanakan bentuk 49
20 6
4
− .
5. Tentukan nilai a dan b dari
1 2
3 1
3 4
1 4
5 1
1 000 000
1 000 001 +
+ +
+ +
+ + +
= −
... .
. .
. a
b
6. Hitunglah
54 14 5 12
2 35 32
10 7 +
+ −
+ −
=
7. Jika3+43
2
+4
2
3
4
+4
4
3
8
+4
8
3
16
+4
16
3
32
+4
32
= 4
x
–3
y
, tentukan nilai x–y .
36
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Projek
Tidak semua bilangan pecahan desimal tak hingga adalah bilangan irasional. Sebagai contoh
0,333... bukanlah bilangan irasional, karena dapat dinyatakan
sebagai pecahan 1
3 . Kenyataannya, bilangan pecahan
desimal tak hingga dengan desimal berulang seperti 0,333... dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan.
a. Rancang sebuah prosedur untuk mengkonversi bilangan pecahan desimal tak hingga dengan
desimal berulang menjadi bilangan pecahan. Beri contoh penerapan prosedur yang kamu
rancang.
b. Berdasarkan penjelasan di atas, karena bilangan irasional
π tidak mungkin sama dengan
22 7
, karena 22
7 hanyalah pendekatan
untuk nilai π sebenarnya.
1 Berapakah kesalahan 22
7 terhadap nilai
π? 2 Dengan menggunakan prosedur yang
kamu rancang di atas tentukan pecahan yang lebih mendekati nilai
π daripada 22
7 kesalahannya lebih kecil.
3 Apakah lebih baik menggunakan angka yang kamu peroleh daripada menggunakan
22 7
4 Buat laporan projek ini dan paparkan di depan kelas.
Tugas proyek ini sebagai merupakan tugas indi-
vidu ataupun kelompok. Setelah tugas ini sele-
saikan dikerjakan dalam waktu tertentu minta
siswa untuk menyajikan laporannya di depan ke-
las.Gunakan rubrik pe- nilaian tugas dan projek
yang telah disajikan di bagain akhir buku ini
37
Matematika
9. Menemukan Konsep Logaritma
